числа на лбах

[avva]

Аня, Боря и Вася сидят за круглым столом. На лбу у каждого написано целое положительное число. Как водится, каждый из них видит числа остальных, но не знает, что написано у него самого. Известно также, что сумма двух написанных чисел равна третьему.

Они договорились играть так: по кругу каждый либо называет свое число, если уверен в ответе, либо говорит, что не знает. Как обычно в таких задачах, мы предполагаем, что у них идеальное логическое мышление.

Аня: "я не знаю свое число".
Боря: "я не знаю свое число".
Вася: "я не знаю свое число".
Аня: "у меня написано 25".

Какие числа написаны на лбах Бори и Васи? Если можете, докажите также единственность этого решения.

----
Я скрываю правильные ответы первые сутки, буду раскрывать только уточняющие вопросы итп. Я бы сказал, что это задача средней сложности. Найти решение в уме можно (но непросто), доказать единственность - не уверен.

Update: много правильных ответов! Первой правильно ответила sthinks, кроме того, правильные ответы у mudasobwa, object, e2pii1, type_o_graph, alexa_uk, butbka, gul_kiev, kray_zemli, emirr, ger04ka, utnapishti, ropher, gleb_a, hsft1mb0, sergeirash и huzhepidarasa на данный момент (18:00 по Москве). Где-то треть из этих также правильно мотивирует, почему это единственный ответ. Вы все молодцы :) Я дам шанс тем, кто сегодня прочитает задачу, еще решить самим, а ночью по Москве открою все комментарии.

Update: Еще правильные решения дали falcao, oblomov_jerusal, ztatyan, artem_sulzhenko, iordane, buddypis, mochalkina, zsd_rd, ext_2087110, veefore, alex_levit, neuraum, leonid_a, igmor, aerffadf, lazy_coconut, lnvp, assaron, aragaer и krolik_ya. Всем спасибо!

Раскрываю все комментарии. Если вы еще не решили и не хотите спойлеров, не заглядывайте в комментарии теперь.

Comments

[46bip.livejournal.com]

а им известно, что а + б = в?

[avva.livejournal.com]

Им известно, что сумма двух равна третьму, да (но необязательно а+б=в, может, а+в=б или б+в=а).

[topcoderer.livejournal.com]

А числа разные или некоторые могут совпадать?

[avva.livejournal.com]

Условие не накладывает никаких ограничений на то, чтобы числа были разные или одинаковые.

[for-news.livejournal.com]

Боря - 24, Вася - 1 :)

[avva.livejournal.com]

Нет.

[juic.livejournal.com]

Сумма каждых двух? Или есть такие два, для которых сумма равна третьему, но неизвестно, какие это числа?

[avva.livejournal.com]

Да, из трех данных чисел одно - сумма двух остальных, но неизвестно, какое именно из трех сумма, а какие - слагаемые.

[archaicos.livejournal.com]

Так что решать-то? Как каждому своё число найти? Или как из 25 вытащить два других числа?

[avva.livejournal.com]

Требуется найти и назвать конкретные числа. Например, "Боря - 24, Вася - 1. В этом случае последовательность ответов будет такой, как в условии, по таким-то причинам. (опционально:) Это единственное возможное решение по таким-то причинам."

24-1 неверное решение, это я для примера.

[sthinks.livejournal.com]

25, 10, 15

[object.livejournal.com]

25,75,50?

[avva.livejournal.com]

Нет.

[46bip.livejournal.com]

боря и вася - 12 и 13.

Доказательство:
т.к. ни Б ни В не знают, что у них за число, значит А > 1. Таким образом, нам надо найти вариант, когда у нас Б и В отличаются друг от друга на 1, чтобы исключить вариант, когда А=1.

[avva.livejournal.com]

Нет. Из предположения, что A=1, отнюдь не следует, что Б или В обязательно узнают свое число.

[sthinks.livejournal.com]

Я не обосновала... Подробно уже засыпаю (уж полночь близится). А в общих чертах:
- Очевидно, никто из них не видит двух одинаковых чисел.
= Ни у кого из них нет числа, которое бы равнялось удвоенному числу другого.
(В противном случае, с учетом п.1 ответ был бы дан в первом круге).
Значит,нет ситуации 1:2:3
- Аня дает ответ в начале второго круга, значит,
ситуация 2:3:5

[almagoz.livejournal.com]

Боря - 0, Вася - 25.
В противном случае Аня не сможет быть уверена в единственности варианта выполнения условия, что сумма двух чисел дает третье.
Боря не может сразу назвать решение, потому что у него 0.
Вася - потому что не хочет рушить отношения с Борей, которые только начали налаживаться после серьезной ссоры.
Анна не называет решение сразу потому что, во-первых, она женщина и в ней должна быть загадка, во-вторых - тогда игра сразу кончится.
А ей это не на руку, потому что именно она затеяла эту игру, поскольку небезразлична к Борису. Это, кстати, и было причиной их ссоры с Василием.
Как видите, всё сходится.

[novich-ok.livejournal.com]

Они знают, у кого какое имя? Например, Аня знает, где перед ней Боря, а где Вася?

[avva.livejournal.com]

Да, они знают друг друга по именам, и знают заранее, в каком порядке будут отвечать.

[e2pii1.livejournal.com]

Наверно уже решили, т.к. я поздно начал решать, но напишу решение, опуская легкие/очевидные шаги:

Обозначим числа: а,б,в

После
"
Аня: "я не знаю свое число".
Боря: "я не знаю свое число".
Вася: "я не знаю свое число".
"

Мы знаем что: б!=в, в!=25, б!=25, б!=50
Аня знает что (в скобках из чьих ходов), и это её вся информация:
а!=б (Вася), а!=в (Боря), а!=2в (Боря(Аня)), а!=2б, б!=2а, б!=а+-а/2 (Вася(Боря(Аня)))

Все возможные решения - это пары ниже такие что вторая опция для а(б,в) не удовлетворяет одному из условий выше (тогда Аня может догадаться что годится только первая опция а=25):

{ б, в = 25-б } - вторая опция а' = |25 - 2б|
{ б, в = б+-25 } - вторая опция а' = 2б +- 25

Проверяем, из первых пар подходят только б=10 (нарушено б != 2а' = 2*(25 - 2б)) и б=25 (нарушено б != а' = |25 - 2б|).
Из вторых пар ничего не подходит.
Но б=25 не годится т.к. мы знаем что б!=25 (иначе Вася бы свое число угадал).

Так что: а=25, б=10, в=15

(Аня знает, что если б у нее было 5 = 15-10, то Вася бы понял, что у него не может 5 = 10-5, и угадал бы свое 15 = 10+5)

[e2pii1.livejournal.com]

Подумал об обобщениях.
Повидимому про любых числах они играя достаточно долго смогут догадаться какое у них число (они должны рассматривать деревья условных вариантов в одном из которых у предполагающего разность, т.е. числа в одной из ветвей будут убывать и в конце концов два совпадут, и это позволяет угадать).
Единственность повидимому не всегда, но лень искать пример.

[type-o-graph.livejournal.com]

А=25, Б=10, В=15

В уме решить не получилось...

Каждый участник(-ца) знает, что его число равно либо сумме двух других, либо разности. Соответственно, быть уверенным в своём числе он может только в случае, если либо сумма, либо разность уже исключена.

В первом раунде Аня может назвать своё число только если Б == В (ноль у неё на лбу быть не может). Значит Б != В.
Боря может назвать своё число либо если А == В, либо если А == 2В (сумма Б = 3В, разность Б = В, но Б == В мы уже исключили). Значит, А != В и А != 2В.
Вася может назвать своё число либо если А == Б, либо если А == 2Б, либо если Б == 2А (А != 2В не даёт дополнительных исключений, так как В = А/2 это разность для Б == А/2, т.е. А == 2Б).

Итак, ко второму раунду Аня знает, что А != Б, Б != В, В != А, А != 2В, А != 2Б, Б != 2А. Один из этих случаев ей помогает, и она называет своё число. Какие числа возможны?

Б != В уже было в первом раунде.
А != Б исключает разность при В == 2Б, в этом случае А = 3Б, но 25 не делится на 3. Аналогично для А != В.
А != 2В исключает разность при Б == 3В, в этом случае А = 4В, но 25 не делится на 4. Аналогично для А != 2Б.
Б != 2А исключает разность при 2В == 3Б, в этом случае Б == 2А/5 == 10, В == 3А/5 == 15, и это единственный возможный случай.

[irhijeta.livejournal.com]

Почему Аня не сказала 75?
По идее 25, 50 и 75 подходят.

[alexa-uk.livejournal.com]

Пусть числа называются А, Б и В соответственно.
Ответ: Б=10, В=15

Доказательство единственности.

1. Алиса может назвать правильный ответ сразу, если:
Б=В

2. Боря может назвать правильный ответ, если:
А=В, либо
А=2В (в этом случае Б=3А, альтенатива - Б=В, что исключено первым ходом)

3. Вася может назвать правильный ответ, если
А=Б, или
А=2Б, или
Б=2А (рассуждения аналогичны предыдущему ходу), или
А = 2/3 * Б . (в этом случае В = А + Б, потому что иначе В = Б-А = Б/3 = А/2, что исключено предыдущим ходом)

Задача сводится к тому, чтоб найти два натуральных числа, сумма которых равна 25, а А, равное их разности приводит к тому, что выполняется одно из условий выше.
Или наоборот, разность 25, а сумма приводит к выполнению.

Перебором легко увидеть, что такая пара только одна.

Дальше нудное описание перебора.

Для каждого правила строим системы уравнений (4 штуки) и ищем решения.
Система с решением оказывается только одна.

Пример для одного правила:
Берем правило Б=2А

Системы:
Б + В = 25
Б - В = Б/2

Б + В = 25
В - Б = Б/2

Б - В = 25
Б + В = Б/2

В - Б = 25
Б + В = Б/2

Видно, что решение есть только у второй системы, и это {Б,В} = {10, 15}

[breton (from livejournal.com)]

А у Ани действительно написано на лбу 25 или она это в этому уверена, но это может быть и не так?

[avva.livejournal.com]

Аня говорит только то, что смогла безошибочно установить, и она не делает логических ошибок, так что у нее действительно написано на лбу 25.

[butbka.livejournal.com]

25,10,15

[gul-kiev.livejournal.com]

Аня не знает своё число первым ходом, значит, Б != В.
Это не даёт возможность Боре узнать своё число - значит, А != 2*В (и, кроме того, А != В).
Отсутствие ответа Васи добавляет условия: А != Б, Б != 2*А. Кроме того, условие "А != 2*В" не позволяет Васе исключить один из вариантов, значит, 3*А != 2*Б.
Обладая всеми этими условиями и видя числа Б и В, Аня получает единственное решение. То есть, одно из этих условий запрещает второе из решений для Ани.
Ещё раз выпишу их все:
А != Б, А != В, Б != В, А != 2*В, Б != 2*А, 3*А != 2*Б
Условие "Б != В" не может убирать вариант для Ани, потому что тогда она ответила бы первым ходом.
1. Сработало "А != Б", значит, А оказалось суммой, а не разностью Б и В, значит, В=2*Б. Но 25 не кратно трём - этот вариант отпадает.
2. Сработало "А != 2*В". Отпадает, потому что Б != В.
3. Сработало "Б != 2*А". Б=10, В=15. Решение.
4. Сработало 3*А != 2*Б. Тогда 5*Б = 3*В, А должно быть кратно восьми - не подходит.

Итого, единственное решение: у Бори 10, у Васи 15.
Аня первым ходом не знает, у неё 5 или 25.
Боря, видя 25 и 15, не знает, у него 10 или 40 - оба варианта не позволили бы Ане узнать своё число.
Вася, видя 25 и 10, не знает, у него 15 или 35 - в обоих вариантах ни Аня не смогла бы узнать, ни Боря (логику Бори для каждого из вариантов Васи выписывать лень).
Но вот на втором круге Аня понимает, что 5 у неё никак не может быть, потому что в варианте 5-10-15 Вася догадался бы, что у него 15, а не 5 (иначе бы Боря ответил). Значит, у неё 25, и это единственное решение.

Любопытно, что похожий вариант 25-15-10 решением не является.

Если бы Аня назвала не 25, а 24, было бы два варианта решения:
24-8-16 или 24-9-15, второй из них самый хитрый (даже жаль, что Аня не назвала кратное восьми число). Аня думает: если бы у меня было 6, Вася догадался бы что у него 15, а не 3, ведь если бы у него было 3, Боря бы догадался, что у него 9, а не 3, потому что он бы понимал, что если бы у него было бы 3, я бы первым ходом ответила "6".

Не уверен, что нигде не запутался.

[buddha239.livejournal.com]

0 положительный?:)

[avva.livejournal.com]

нет :)

[kray-zemli.livejournal.com]

Каждый несёт либо сумму, либо разность чисел соседей. Соответственно, будем записывать "палевные" соотношения чисел и следствия, которые может заключить из них отвечающий ИИ.

Первый ход:
1) -:1:1 => 2:1:1. (если видим одинаковые числа, то у нас сумма, потому что разость == это ноль, а он не положительный и отпадает).

Второй ход:
2) 1:-:1 => 1:2:1 (аналогично)
3) 2:-:1 => 2:3:1 (2:1:1 уже отсеялось, остаётся это)

Третий ход:
4) 1:1:- => 1:1:2
5) 1:2:- => 1:2:3
6) 2:1:- => 2:1:3
7) 2:3:- => 2:3:5

Четвёртый ход:

8) -:2:1 => 3:2:1
9) -:3:1 => 4:3:1
10) -:1:2 => 3:1:2
11) -:2:3 => 5:2:3
12) -:1:3 => 4:1:3
13) -:3:5 => 8:3:5

Итак, сработало одно из 6 последних соотношений, причём первое число 25. Ищем случаи, когда такое возможно.

Подходит только 11 случай, т.к. 25 делится только на 5.

Ответ: 25 10 15

[emirr.livejournal.com]

Боря - 10,
Вася - 15

[ger04ka.livejournal.com]

У Бори 10, у Васи 15.

Проверить, что решение подходит, просто:
- так как Б не равно В, то Аня не знает свое число. Она знает,
что оно либо 25, либо 5.
- Боря не знает в первом раунде, 10 у него или 40.
- Вася не знает в первом раунде, 15 у него или 35.

Далее, Аня рассуждает: если бы у меня было 5, то у Боря бы в первом раунде действительно не знал свое число, так как у него могло быть или 10 или 20. Однако, тогда варианты для Васи были бы или 5 или 15. Но 5 он бы отверг, так как в этом случае (если и у меня 5), Боря бы сразу сказал, что у него 10. Раз он не назвал свое 15, значит, 5 у меня быть не может. Только 25.

Для доказательства единственности нужно доказать, видимо, что при "втором" варианте для Ани, Вася мог бы сразу назвать свое число. Это возможно только в случае, если для него этот второй вариант - или число Ани "неправильное" или число Бори правильное. То есть, должно быть выполнено одно из равенств: |неправильное А +- Б|=неправильное А или Б.
При этом неправильное А равно или Б+В или |Б-В|.
Имеем следующие варианты:
1) Б>В:
|Б-В-Б|=Б или Б-В-Б=Б-В.
Первый вариант невозможен (Б не равно В по условию).
Во втором случае Б=0.
Б-В+Б=Б или Б-В+Б=Б-В.
Опять или Б=В или Б=0, что невозможно.
2) Б<В:
Тогда |В-Б-Б|=Б или |В-Б-Б|=В-Б.
Если В>2Б:
В-2Б=Б или В-2Б=В-Б.
Из первого В=3Б, что невозможно для Б+В=25. Из второго Б=0, что также невозможно.
Если В<2Б, то
2Б-В=Б или 2Б-В=В-Б.
Из первого Б=В, что невозможно, из второго - 3Б=2В. Откуда Б=10 и В=15.

[utnapishti.livejournal.com]

Мне кажется, решение таково: А=25, Б=10, В=15.
Когда очередь во второй раз доходит до А, он рассуждает так:
А: {У меня или 25, или 5. Допустим, что 5. Т.е. А=5, Б=10, В=15. Тогда при предыдущем ходе В угадал бы следующим образом:
В: {У меня или 5, или 15. Допустим, что 5. Т.е. А=5, Б=10, В=5. Тогда при предыдущем ходе Б сразу ответил бы, поскольку он видел бы у других 5 и 5, а 0 быть не может. Но он не ответил, поэтому у меня точно 15.}
[продолжение рассуждения А:] Но В не ответил, поэтому у меня точно 25.}


На самом деле, меня смущает то, что никак не используется первая реплика А. По сути дела, А сообщает другим, что их значения не равны, но они это знают и так. Но кажется, что для этих значений, А=25, Б=10, В=15, на первом круге никто не может дать ответ. Так что, наверное, первая реплика А нужна для единственности решения.

[alphyna.livejournal.com]

вы, математики/программисты/технари, наверное, не вполне ощущаете, какой магией это кажется нетехнарю (даже с зачатками логического мышления). ну правда. это МАГИЯ. Аня, Вася и Боря просыпаются с похмелья. «что вчера было?» — «не помню». — «не помню». — «ааа, мы напились и инсценировали „Евгения Онегина“!» что её навело на эту мысль? как так может быть? бездны человеческого сознания!

(простите за выплеск эмоций, просто эта задачка совершенно поражает моё профанное воображение.)

[asox.livejournal.com]

Не переживайте, я вот тоже совсем не вижу зацепок.

[ropher.livejournal.com]

Боря 10
Вася 15