четыре точки (математическое)

[avva]

Можно ли поставить три точки на плоскости так, чтобы все расстояния между ними были нечетными целыми числами?

Да. Это тривиально, можно просто поставить их в вершины равностороннего треугольника с длиной стороны 1.

А как насчет четыре точки на плоскости, и все расстояния между ними нечетные числа?

А вот тут оказывается, что это невозможно. Есть красивое простое доказательство того, что это невозможно, причем оно пользуется довольно неожиданно аппаратом линейной алгебры. Я помещу его ниже под катом для всех, кому интересно.





Если вам понравилось это доказательство, возможно, стоит посмотреть на статью, где это впервые было доказано:

Are There n+2 Points in E^n with Odd Integral Distances? (Graham, Rothschild, Straus, 1974)

Там с помощью чуть более тщательного анализа доказывается следующий удивительный факт: не только 4 точки на плоскости, но и 5 точек в пространстве невозможно расположить с попарными нечетными расстояниями, и вообще в n-мерном эвклидовом пространстве можно расположить так n+2 точки тогда и только тогда, когда n при делении на 16 дает остаток 14. То есть наименьший пример такого - это 16 точек в 14-мерном пространстве, и в статье дается конкретное построение этих 16 точек!

Comments

[ivan-semushin.livejournal.com]

Похоже, это тот самый Graham, которого многие знают благодаря рекордному числу его имени.

[avva.livejournal.com]

Да, это он :)

[xaxam.livejournal.com]

Очень симпатично.

А также поучительно, чем занимались сотрудники Белл Лабс в далёком 74-м, когда ещё не было ни Майкрософт Ресёрч, ни АйБиЭм ресёрч ;-)

[criblycrablybum.livejournal.com]

Наверное кодами (исправлениями ошибок) занимались.

[mi-b.livejournal.com]

Да, нечетные расстояния как раз там интересны

[shultz-flory.livejournal.com]

>> 16 точек в 14-мерном пространстве, и в статье дается конкретное построение этих 16 точек!

На плоском листе бумаги? Вы все врёти!

[edo-rus.livejournal.com]

да ничего странного, если внимательно присмотреться, то он не идеально плоский.

[brandt1.livejournal.com]

Мне кажется, сказать, что решено "аппаратом линейной алгебры" - это несколько преувеличено. Используется векторная алгебра в 3-мерном пр-ве и чуть-чуть матричной алгебры.

[buddha239.livejournal.com]

Так это и есть линейная алгебра.:)

[akor168.livejournal.com]

Линейная алгебра это по видимому, когда у нас есть m-мерное пространство! Или нет, m это слишком мало, нужно n-мерное!

[primaler.livejournal.com]

Что из статьи остаётся совершенно неясным, так это как они до этого додумались %)

[buddha239.livejournal.com]

Ну, логично же рассматривать остатки по модулю степеней двойки. А определитель, возможно, кто-то раньше составил.

[micliva.livejournal.com]

Насчет определителя, это много где используемая идея, что через длины ребер можно посчитать объем k-мерного симплекса. А значит получить условие, когда k+2 точки с данными попарными расстояниями лежат в k-мерном пространстве.

[buddha239.livejournal.com]

Я тоже подумал об объемах симплексов - но рассмотреть остатки по модулю 8 не догадался (а если бы догадался, то все равно поленился бы:)).