четыре точки (математическое)
Sep. 11th, 2015 03:52 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaМожно ли поставить три точки на плоскости так, чтобы все расстояния между ними были нечетными целыми числами?
Да. Это тривиально, можно просто поставить их в вершины равностороннего треугольника с длиной стороны 1.
А как насчет четыре точки на плоскости, и все расстояния между ними нечетные числа?
А вот тут оказывается, что это невозможно. Есть красивое простое доказательство того, что это невозможно, причем оно пользуется довольно неожиданно аппаратом линейной алгебры. Я помещу его ниже под катом для всех, кому интересно.
Если вам понравилось это доказательство, возможно, стоит посмотреть на статью, где это впервые было доказано:
Are There n+2 Points in E^n with Odd Integral Distances? (Graham, Rothschild, Straus, 1974)
Там с помощью чуть более тщательного анализа доказывается следующий удивительный факт: не только 4 точки на плоскости, но и 5 точек в пространстве невозможно расположить с попарными нечетными расстояниями, и вообще в n-мерном эвклидовом пространстве можно расположить так n+2 точки тогда и только тогда, когда n при делении на 16 дает остаток 14. То есть наименьший пример такого - это 16 точек в 14-мерном пространстве, и в статье дается конкретное построение этих 16 точек!
Да. Это тривиально, можно просто поставить их в вершины равностороннего треугольника с длиной стороны 1.
А как насчет четыре точки на плоскости, и все расстояния между ними нечетные числа?
А вот тут оказывается, что это невозможно. Есть красивое простое доказательство того, что это невозможно, причем оно пользуется довольно неожиданно аппаратом линейной алгебры. Я помещу его ниже под катом для всех, кому интересно.
Если вам понравилось это доказательство, возможно, стоит посмотреть на статью, где это впервые было доказано:
Are There n+2 Points in E^n with Odd Integral Distances? (Graham, Rothschild, Straus, 1974)
Там с помощью чуть более тщательного анализа доказывается следующий удивительный факт: не только 4 точки на плоскости, но и 5 точек в пространстве невозможно расположить с попарными нечетными расстояниями, и вообще в n-мерном эвклидовом пространстве можно расположить так n+2 точки тогда и только тогда, когда n при делении на 16 дает остаток 14. То есть наименьший пример такого - это 16 точек в 14-мерном пространстве, и в статье дается конкретное построение этих 16 точек!
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2015-09-11 06:09 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-11 09:42 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-17 05:53 am (UTC)