загадочная сложность теории чисел
Oct. 7th, 2017 12:53 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaThe enigmatic complexity of number theory
Вопрос, который я сам себе не раз задавал, но насчет которого я тем не менее не уверен в том, насколько он осмыслен и интересен. Теория чисел - часть математики, которая изучает свойства целых чисел - вроде бы выделяется на фоне всех других математических дисциплин феноменальным количеством задач, которые просто сформулировать, но сложно решить. Сюда конечно относятся теорема Ферма и другие очень простые по формулировке и еще не решенные проблемы (гипотеза Гольдбаха: любое четное число можно представить в виде суммы двух простых; гипотеза о простых числах-близнецах, гипотеза Коллатца). Но по-моему дело не только в нерешенных или супер-тяжелых проблемах; теория чисел поражает также тем, как очень простые по формулировке утверждения требуют для своего доказательства "тяжелой артиллерии" из казалось бы, наивно говоря, более продвинутых областей математики.
В обсуждении по ссылке Скотт Ааронсон предлагает следующий ответ: арифметических действий с целыми числами достаточно, чтобы воплотить любой возможный алгоритм; отсюда следует, что уже даже относительно простые утверждения о целых числах могут упираться в фундаментальные ограничения типа "это невозможно доказать в принципе": теоремы Геделя о неполноте, неразрешимость проблемы остановки итп. Таким образом, в теории чисел неразрешимые задачи лежат буквально за углом, и расстояние о тривиальных фактов до них относительно невелико. Поэтому быстро приходят к сложным вопросам, которые еще разрешимы (скорее всего), но уже близки к неразрешимым.
Не уверен, что мне нравится этот ответ: то, что диофантовы уравнения упираются в неразрешимость в общем виде, это одно; а то, что мы не знаем, как решать даже очень просто выглядящие такие конкретные уравнения (пример из обсуждения: x^3+y^3 = z^3+33, неизвестно, есть ли решение у этого уравнения в целых числах) - другое, и мне не кажется очевидным, что эти две сложности друг с другом связаны. Но другого ответа у меня нет. Более того, нет даже уверенности, что этот вопрос осмыслен - возможно, это артефакт того, как мы определяем различные дисциплины в математике и то, что в них считается базисным-тривиальным?
Вопрос, который я сам себе не раз задавал, но насчет которого я тем не менее не уверен в том, насколько он осмыслен и интересен. Теория чисел - часть математики, которая изучает свойства целых чисел - вроде бы выделяется на фоне всех других математических дисциплин феноменальным количеством задач, которые просто сформулировать, но сложно решить. Сюда конечно относятся теорема Ферма и другие очень простые по формулировке и еще не решенные проблемы (гипотеза Гольдбаха: любое четное число можно представить в виде суммы двух простых; гипотеза о простых числах-близнецах, гипотеза Коллатца). Но по-моему дело не только в нерешенных или супер-тяжелых проблемах; теория чисел поражает также тем, как очень простые по формулировке утверждения требуют для своего доказательства "тяжелой артиллерии" из казалось бы, наивно говоря, более продвинутых областей математики.
В обсуждении по ссылке Скотт Ааронсон предлагает следующий ответ: арифметических действий с целыми числами достаточно, чтобы воплотить любой возможный алгоритм; отсюда следует, что уже даже относительно простые утверждения о целых числах могут упираться в фундаментальные ограничения типа "это невозможно доказать в принципе": теоремы Геделя о неполноте, неразрешимость проблемы остановки итп. Таким образом, в теории чисел неразрешимые задачи лежат буквально за углом, и расстояние о тривиальных фактов до них относительно невелико. Поэтому быстро приходят к сложным вопросам, которые еще разрешимы (скорее всего), но уже близки к неразрешимым.
Не уверен, что мне нравится этот ответ: то, что диофантовы уравнения упираются в неразрешимость в общем виде, это одно; а то, что мы не знаем, как решать даже очень просто выглядящие такие конкретные уравнения (пример из обсуждения: x^3+y^3 = z^3+33, неизвестно, есть ли решение у этого уравнения в целых числах) - другое, и мне не кажется очевидным, что эти две сложности друг с другом связаны. Но другого ответа у меня нет. Более того, нет даже уверенности, что этот вопрос осмыслен - возможно, это артефакт того, как мы определяем различные дисциплины в математике и то, что в них считается базисным-тривиальным?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2017-10-07 10:17 am (UTC)no subject
Date: 2017-10-07 10:27 am (UTC)no subject
Date: 2017-10-07 10:59 am (UTC)no subject
Date: 2017-10-07 11:27 am (UTC)no subject
Date: 2017-10-07 11:39 am (UTC)[Показываю пять спичек: это — число 5]
no subject
Date: 2017-10-10 03:02 am (UTC)no subject
Date: 2017-10-07 12:24 pm (UTC)no subject
Date: 2017-10-11 12:53 pm (UTC)что в этом утверждении "одинаковые электроны"?
no subject
Date: 2017-10-11 04:53 pm (UTC)Я отвечал на замечание о том, что числа - всего лишь абстракция, потому что, мол, когда мы перечисляем объекты, мы на самом деле пользуемся абстракцией, тем, что по какому-то признаку объединяем эти объекты, делаем их одинаковыми. А это как раз и есть построение модели, ибо "одинаковых яблок не существует".
Но электроны и атомы, например, принципиально одинаковы, неотличимы друг от друга. Поэтому наличие исчислимых объектов - это не абстракция, а реальность.
no subject
Date: 2017-10-07 10:54 am (UTC)no subject
Date: 2017-10-07 12:06 pm (UTC)no subject
Date: 2017-10-07 12:26 pm (UTC)no subject
Date: 2017-10-08 12:11 am (UTC)no subject
Date: 2017-10-10 01:01 am (UTC)Критерий научности - фальсифицируемость. Математика этому критерию не удовлетворяет.
no subject
Date: 2017-10-10 04:14 pm (UTC)no subject
Date: 2017-10-11 01:06 am (UTC)no subject
Date: 2017-10-12 03:30 pm (UTC)no subject
Date: 2017-10-07 06:33 pm (UTC)А электрики при вычислении цепей привыкли индуктивные и ёмкостные сопротивления измерять комплексными числами. Значит, и комплексные числа "реально существуют"? Это даже если не затрагивать квантовую механику, где вообще всё на комплексных функциях строится.
Как насчёт реального существования неевклидовых геометрий и многомерных пространств? Особенно в ракурсе теории относительности и теории струн?
Отличить математическую абстракцию от физической не так уж сложно. Можно придумать виртуальную реальность (сон или компьютерную симуляцию) с произвольными законами, там "реально существовать" может всё совсем не так, как в нашем мире. Но математические законы не зависят от реальности, и в любом виртуальном мире дважды два всё равно будет четыре - это не зависит от окружающего нас мира. Никакой дефект масс или релятивистское сложение скоростей не может опровергнуть арифметику. С остальной математикой то же самое.