загадочная сложность теории чисел
Oct. 7th, 2017 12:53 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaThe enigmatic complexity of number theory
Вопрос, который я сам себе не раз задавал, но насчет которого я тем не менее не уверен в том, насколько он осмыслен и интересен. Теория чисел - часть математики, которая изучает свойства целых чисел - вроде бы выделяется на фоне всех других математических дисциплин феноменальным количеством задач, которые просто сформулировать, но сложно решить. Сюда конечно относятся теорема Ферма и другие очень простые по формулировке и еще не решенные проблемы (гипотеза Гольдбаха: любое четное число можно представить в виде суммы двух простых; гипотеза о простых числах-близнецах, гипотеза Коллатца). Но по-моему дело не только в нерешенных или супер-тяжелых проблемах; теория чисел поражает также тем, как очень простые по формулировке утверждения требуют для своего доказательства "тяжелой артиллерии" из казалось бы, наивно говоря, более продвинутых областей математики.
В обсуждении по ссылке Скотт Ааронсон предлагает следующий ответ: арифметических действий с целыми числами достаточно, чтобы воплотить любой возможный алгоритм; отсюда следует, что уже даже относительно простые утверждения о целых числах могут упираться в фундаментальные ограничения типа "это невозможно доказать в принципе": теоремы Геделя о неполноте, неразрешимость проблемы остановки итп. Таким образом, в теории чисел неразрешимые задачи лежат буквально за углом, и расстояние о тривиальных фактов до них относительно невелико. Поэтому быстро приходят к сложным вопросам, которые еще разрешимы (скорее всего), но уже близки к неразрешимым.
Не уверен, что мне нравится этот ответ: то, что диофантовы уравнения упираются в неразрешимость в общем виде, это одно; а то, что мы не знаем, как решать даже очень просто выглядящие такие конкретные уравнения (пример из обсуждения: x^3+y^3 = z^3+33, неизвестно, есть ли решение у этого уравнения в целых числах) - другое, и мне не кажется очевидным, что эти две сложности друг с другом связаны. Но другого ответа у меня нет. Более того, нет даже уверенности, что этот вопрос осмыслен - возможно, это артефакт того, как мы определяем различные дисциплины в математике и то, что в них считается базисным-тривиальным?
Вопрос, который я сам себе не раз задавал, но насчет которого я тем не менее не уверен в том, насколько он осмыслен и интересен. Теория чисел - часть математики, которая изучает свойства целых чисел - вроде бы выделяется на фоне всех других математических дисциплин феноменальным количеством задач, которые просто сформулировать, но сложно решить. Сюда конечно относятся теорема Ферма и другие очень простые по формулировке и еще не решенные проблемы (гипотеза Гольдбаха: любое четное число можно представить в виде суммы двух простых; гипотеза о простых числах-близнецах, гипотеза Коллатца). Но по-моему дело не только в нерешенных или супер-тяжелых проблемах; теория чисел поражает также тем, как очень простые по формулировке утверждения требуют для своего доказательства "тяжелой артиллерии" из казалось бы, наивно говоря, более продвинутых областей математики.
В обсуждении по ссылке Скотт Ааронсон предлагает следующий ответ: арифметических действий с целыми числами достаточно, чтобы воплотить любой возможный алгоритм; отсюда следует, что уже даже относительно простые утверждения о целых числах могут упираться в фундаментальные ограничения типа "это невозможно доказать в принципе": теоремы Геделя о неполноте, неразрешимость проблемы остановки итп. Таким образом, в теории чисел неразрешимые задачи лежат буквально за углом, и расстояние о тривиальных фактов до них относительно невелико. Поэтому быстро приходят к сложным вопросам, которые еще разрешимы (скорее всего), но уже близки к неразрешимым.
Не уверен, что мне нравится этот ответ: то, что диофантовы уравнения упираются в неразрешимость в общем виде, это одно; а то, что мы не знаем, как решать даже очень просто выглядящие такие конкретные уравнения (пример из обсуждения: x^3+y^3 = z^3+33, неизвестно, есть ли решение у этого уравнения в целых числах) - другое, и мне не кажется очевидным, что эти две сложности друг с другом связаны. Но другого ответа у меня нет. Более того, нет даже уверенности, что этот вопрос осмыслен - возможно, это артефакт того, как мы определяем различные дисциплины в математике и то, что в них считается базисным-тривиальным?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2017-10-07 11:47 am (UTC)Вообще, в школе меня всегда удивляло, что большинство задач "хорошо" решались. Дают задачу, получается длинная формула, которая после упрощения сворачивается в какой-нибудь красивый ответ типа "x=3". получил хороший ответ - значит, нигде не ошибся, а если получилось что-то типа корня из семидесяти трёх минут двенадцать разделить на семь - значит, где-то ошибся. И казалось, что "в жизни" ответы обычно будут второго типа, просто в школе специально подбирают коэффициенты. Сейчас понимаю, что бывает и так, и так. Промежуточная сложность может быть "мнимой", наподобие импликативного порядка, скрывающегося за кажущимся беспорядком. Но может и "не свернуться". Удачная теория должна давать по возможности однозначное соответствие между простыми понятиями и короткими формулами. Если короткое условие таит в себе сложную проблему - значит, теория не очень хороша. Ещё хуже, если наоборот - простое понятие опиывается длинной формулой.
С этой точки зрения теория чисел не идеальна, раз бывают короткие сложные задачи. Все ли простые понятия описываются короткими формулами в теории чисел - трудно сказать, потому что разум уже привык считать простыми понятия, которые коротко формулируются, и сложными - которые формулируются длинно.
no subject
Date: 2017-10-07 02:25 pm (UTC)no subject
Date: 2017-10-07 03:24 pm (UTC)no subject
Date: 2017-10-07 04:10 pm (UTC)Собственно, сразу поясню
Date: 2017-10-07 04:44 pm (UTC)Re: Собственно, сразу поясню
Date: 2017-10-07 05:07 pm (UTC)Так что разглядеть в неправильной задаче какую-то ценность - то еще искусство, даже великие иногда ошибаются.
Да и не факт, что кабы не пляски вокруг теоремы Ферма, то не была бы создана алгебраическая теория чисел. Скорее всего была бы, примерно в том же объеме. Так что может и прав Гаусс.
RE: Re: Собственно, сразу поясню
Date: 2017-10-07 05:35 pm (UTC)а то надо же будет отчет по гранту писать.(Шучу, шучу. Дело не в отчетах, а в том, что научные работники получать результаты любят, а топтаться на месте не любят.)
Re: Re: Собственно, сразу поясню
Date: 2017-10-07 05:43 pm (UTC)Да и моду никто не отменял. До Эйлера теория чисел была более-менее маргинальным направлением. То есть были античные труды того же Диофанта, были отдельные сюжеты у Ферма и некоторых других и все.
И только когда Эйлер начал, а Гаусс продолжил - дело сдвинулось с мертвой точки.
Re: Собственно, сразу поясню
Date: 2017-10-08 12:07 am (UTC)