еще раз об орбите луны вокруг солнца

[avva]

Я написал пару недель назад о том, что если посмотреть на то, как Луна движется вокруг Солнца, то это не такие петли, как можно наивно представить, а выпуклая (!) кривая. "Полезная метафора: представьте себе две гоночные машины на длинной круговой трассе. Первая обгоняет вторую справа и встраивается перед ней, тут же вторая обгоняет первую справа и возвращается влево, и так далее. Вот так Земля и Луна "обгоняют" друг друга на трассе вокруг Солнца".

Но мне все равно было трудно представить, как это все-таки выглядит. Если представить себе маршруты этих двух машин, то кажется, что при переходе во внутренний ряд, а потом обратно во внешний, не получается никак выпуклая траектория, скорее длинные волны такие.

Проблема в том, что это трудно убедительно нарисовать. Радиус орбиты вокруг Солнца столь огромен по сравнению с радиусом орбиты вокруг Земли, что если показать весь большую орбиту, то пути Земли и Луны по ней совпадут, не различить на экране или на бумаге. А траектория выпуклая именно потому, что разница в радиусах такая, если бы она была меньше, были бы как раз "петли".

В общем, я написал симуляцию, которая дает подвигать параметры и посмотреть, как оно выходит. По умолчанию там подобраны значения, которые показывают, как Луна может двигаться по очевидно выпуклой траектории (красная кривая) и одновременно вращаться вокруг Земли (голубая кривая). Можно двигать самым последним контролем и смотреть, как орбита развивается во времени.



Это не совсем честные параметры: радиус орбиты Луны увеличен в 10 раз (a=10), а кол-во лунных месяцев в году уменьшено в 2 раза (m=6), для наглядности. Можно поменять на честные, но тогда орбиты сливаются, как написано выше. Внизу страницы есть текстовое объяснение.

Это упрощенная модель, конечно - окружности, а не эллипсы, одна и та же плоскость вращения - но она очень близка к реальным орбитам. Если R радиус орбиты Земли вокруг Солнца, A радиус орбиты Луны вокруг Земли, M количество лунных месяцев в году (т.е. отношение периодов вращения), то приблизительное условие для того, чтобы орбита Луны была выпуклой - это R/A >= M^2. Например, в реальности R/A=400, M=13 лунных месяцев, M^2=169. В примере, выставленном по умолчанию на странице, R/A=40, M^2=36.

Comments

[f137.livejournal.com]

Я не мог с этим смириться, пока не увидел физического объяснения. Кривизна траектории определяется силой притяжения. Сила притяжения Луны к Солнцу больше, чем к Земле. Поэтому знак кривизны всегда одинаковый, даже когда Земля тянет в противоположную от Солнца сторону.

[alaev.livejournal.com]

Мне кажется, притяжение тут вообще не в тему. Представьте себе систему Солнце-Земля-Луна как набор шариков, которые двигаются специальным скрытым механизмом по известным эллипсам вокруг друг друга. Эффект от этого ничуть не изменится.

[(Anonymous)]

Потому что возможность таких траекторий нужно ещё доказывать. Вот одно из доказательств и использует притяжение.

[alaev.livejournal.com]

Если траектории будут обычными правильными окружностями, ничего не изменится. Это чисто геометрический фокус.

[worldtensor.livejournal.com]

Если никогда не играли в Osmos -- рекомендую. Там такие орбиты появляются на поздних уровнях.

[aka-mik.livejournal.com]

Если сфокусироваться на орбите на этом рисунке - солнце исчезает)

[(Anonymous)]

Согласно математическому определению выпуклости, которое требует, чтобы отрезок между любыми двумя точками множества принадлежал этому множеству, эта кривая не является выпуклой, т.к. ограничивает невыпуклое множество. Например, если взять два соседних "пика" траектории, когда луна находится на максимальном отдалении от солнца, и соединить их отрезком, то этот отрезок будет лежать полностью снаружи множества, ограниченного кривой.

[(Anonymous)]

Да ну. Проведите в mspaint линию и убедитесь, что всё там выпукло.

[(Anonymous)]

Отрезок, соединяющий пики, действительно лежит внутри, но если проводить прямую через точку перегиба, то можно найти такое ее положение, в котором она пересечет кривую несколько раз.



P.S. Извините за mad skillz :)

[(Anonymous)]

Дак у вас другая траектория, в смысле параметры другие. Конечно, она невыпуклая.

[(Anonymous)]

А на картинке в посте траектория выпуклая? И в какой момент ситуация качественно меняется и траектория становится выпуклой при изменении параметров?

Я четко представляю, что невыпуклость сохраняется всё время, пока траектория не перейдёт в окружность или эллипс, т.е. пока полностью не совпадёт с траекторией Земли. А до этого луне надо периодически "подныривать" под траекторию Земли, образуя вогнутый участек, который и делает всю кривую невыпуклой.

[jmyshanya.livejournal.com]

пока радиус, по которому идет "подныривание", будет больше радиуса орбиты земли, траектория движения луны будет выпуклой.

[(Anonymous)]

Вроде начинаю понимать. Чтобы орбита луны была выпуклой, центр кривизны каждой точки лунной траектории должен лежать внутри орбиты. Меня здесь смущает вот что: очевидно существуют траектории, у которых вот эти участки "подныривания" имеют центр кривизны, лежащий снаружи - они невыпуклы. Когда мы непрерывно меняем параметры орбиты, чтобы она становилась более выпуклой, то непрерывно меняются и координаты центров кривизны таких участков, уходя на бесконечность. А потом внезапно центр кривизны появляется внутри орбиты и орбита становится выпуклой. Без расчётов не очевидно, что такой переломный момент вообще существует.

[hyperpov.livejournal.com]

== А потом внезапно центр кривизны появляется внутри орбиты и орбита становится выпуклой ==

Не совсем так. Если кривая изгибается то туда, то сюда, то ее эволюта рвется в точках, соответствующих точкам перегиба, уходя на бесконечность, асимптотически прижимаясь к нормали к кривой. В типичном случае - как гипербола y=1/x. Если траектория "луны" невыпукла, то ее эволюта будет порвана на куски. Когда мы начнем траекторию приближать к окружности, куски эволюты, отвечающие "неправильным" участкам траектории будут удаляться от "солнца" и в пределе исчезнут, а "правильные" куски воссоединятся друг с другом, образуя кривую, которая все ближе и ближе прижимается к "солнцу". Чтобы качественно понять, что происходит, возьмите график функции 1/(x^2+a). Когда a отрицательно, кусок графика окажется в нижней полуплоскости. Когда a стремится к нулю, он будет уезжать все ниже и ниже, и при положительном a исчезнет.

[(Anonymous)]

На картинке в посте да.

Нарисуйте окружность и концентрический с ней 12-угольник (всего 24 точки пересечения). Вот этот 12-угольник будет некоторым приближением орбиты Луны. Надеюсь, Вы не станете спорить с тем, что он выпуклый?

[(Anonymous)]

К тому же траектория Земли, а вместе с ней и луны, не является замкнутой и представляет из себя что-то наподобие этого:



А значит точно не является выпуклой, т.к. имеет самопересечения.

[(Anonymous)]

Кривая с самопересечениями не ограничивает никакого множества в смысле Жордана, ни выпуклого, ни невыпуклого. Придется обойтись локальной выпуклостью (это когда кривизна не меняет знак).

[(Anonymous)]

Бгггг :)
m=13, b=10.

[(Anonymous)]

var a = document.getElementById('a').value;
document.getElementById('atext').value = "moon orbit radius: a=" + a;
var b = document.getElementById('b').value;
document.getElementById('btext').value = "earth orbit radius: b=" + b;
var m = document.getElementById('m').value;
document.getElementById('mtext').value = "lunar months: m=" + m;

На Джаваскрипте тоже иногда приходится писать на Джаве :).

[xxxxx.livejournal.com]

аналогия в духе ведьмы расплавляющей интеловские процессоры: по трёхрядной дороге с заворотом налево в среднем ряду едет машина с константной скоростью 100 км/ч, а между третьим и первым рядом осцилирует машина с переменной скоростью от 99 до 101 км/ч, то обгоняя слева, то отставая чуток справа (как и положено по правилам), но из-за огромной скорости и малой осциляции (метров 10 право-лево) заворот дороги всё равно остаётся правым. Ну как-то так.

А вся эта луна-земля они действительно что ли в одной плоскости вертятся? Для пространственных кривых чота вроде само понятие выпуклости пролетает

[(Anonymous)]

Если бы в одной, то затмения бы были каждый месяц.

[gdt.livejournal.com]

практически в одной, так что осмысленно рассматривать проекцию орбиты Луны на плоскость эклиптики

[prol-prolych.livejournal.com]

В етой демонстрации орбита Земли является постоянной окружностью?
Но ведь ето не так, на самом деле Земля и Луна движутся вокруг общего центра и орбита Земли тоже должна иметь форму подобную орбите Луны.

[avva.livejournal.com]

Это параметр b в демонстрации. Поскольку он очень близок к 0, орбита Земли почти неотличима от орбиты общего центра (как это и есть в реальности). Если увеличить его, то будет видно, что орбита Земли подчиняется тому же закону.

[prol-prolych.livejournal.com]

Мне кажется, что если бы не было прецессии орбиты Земли, то орбита Луны не может быть выпуклой. Т.е. орбита Луны выпуклая только потому что есть прецессия орбиты Земли.

[prol-prolych.livejournal.com]

Вот кстати, а как ето будет выглядеть в паре Плутон-Харон?
Там у них общий центр между ними :о)

[(Anonymous)]

Сравниваем величины M/r^2 для систем Солнце-Плутон и Плутон-Харон, вторая примерно в 600 раз больше (в отличие от таких величин для Солнца, Земли и Луны, где вторая примерно в два раза меньше). Соответственно, орбита Харона будет вполне себе волнистой. Петель не будет, т.к. орбитальная скорость Плутона-вокруг-Солнца сильно больше, чем Харона-вокруг-Плутона. То, что общий центр находится вне Плутона, ничего особенно не меняет.

[aingerlj.livejournal.com]

[kum-tykva.livejournal.com]

Если нарисовать правильный многоугольник и скруглить немножко его вершины, он останется выпуклым. Теперь опишем вокруг него окружность и впишем в него окружность, и проведем окружность промежиточного между ними радиуса с тем же центром. Она напересекает наш скругленный многоугольник 2n раз, вот и получились два выпуклых контура, многажды пересекающие друг друга. Это не к тому, что Луна так и движется -- просто пример, убирающий недоумение(или трудность представления) о слишком много раз пересекающихся, но всюду выпуклых замкнутых траекториях.

[avva.livejournal.com]

Спасибо, отличный пример, действительно помогающий интуиции.

[kum-tykva.livejournal.com]

Спасибо. Я недели с три назад оставил его у Вас в ФБ, но, видимо, он затерялся -- но и черт с ним; я было подумал, что просто не пошел, а затеряться как-то не обидно ;)