еще раз об орбите луны вокруг солнца
Feb. 15th, 2018 10:08 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaЯ написал пару недель назад о том, что если посмотреть на то, как Луна движется вокруг Солнца, то это не такие петли, как можно наивно представить, а выпуклая (!) кривая. "Полезная метафора: представьте себе две гоночные машины на длинной круговой трассе. Первая обгоняет вторую справа и встраивается перед ней, тут же вторая обгоняет первую справа и возвращается влево, и так далее. Вот так Земля и Луна "обгоняют" друг друга на трассе вокруг Солнца".
Но мне все равно было трудно представить, как это все-таки выглядит. Если представить себе маршруты этих двух машин, то кажется, что при переходе во внутренний ряд, а потом обратно во внешний, не получается никак выпуклая траектория, скорее длинные волны такие.
Проблема в том, что это трудно убедительно нарисовать. Радиус орбиты вокруг Солнца столь огромен по сравнению с радиусом орбиты вокруг Земли, что если показать весь большую орбиту, то пути Земли и Луны по ней совпадут, не различить на экране или на бумаге. А траектория выпуклая именно потому, что разница в радиусах такая, если бы она была меньше, были бы как раз "петли".
В общем, я написал симуляцию, которая дает подвигать параметры и посмотреть, как оно выходит. По умолчанию там подобраны значения, которые показывают, как Луна может двигаться по очевидно выпуклой траектории (красная кривая) и одновременно вращаться вокруг Земли (голубая кривая). Можно двигать самым последним контролем и смотреть, как орбита развивается во времени.
Это не совсем честные параметры: радиус орбиты Луны увеличен в 10 раз (a=10), а кол-во лунных месяцев в году уменьшено в 2 раза (m=6), для наглядности. Можно поменять на честные, но тогда орбиты сливаются, как написано выше. Внизу страницы есть текстовое объяснение.
Это упрощенная модель, конечно - окружности, а не эллипсы, одна и та же плоскость вращения - но она очень близка к реальным орбитам. Если R радиус орбиты Земли вокруг Солнца, A радиус орбиты Луны вокруг Земли, M количество лунных месяцев в году (т.е. отношение периодов вращения), то приблизительное условие для того, чтобы орбита Луны была выпуклой - это R/A >= M^2. Например, в реальности R/A=400, M=13 лунных месяцев, M^2=169. В примере, выставленном по умолчанию на странице, R/A=40, M^2=36.
Но мне все равно было трудно представить, как это все-таки выглядит. Если представить себе маршруты этих двух машин, то кажется, что при переходе во внутренний ряд, а потом обратно во внешний, не получается никак выпуклая траектория, скорее длинные волны такие.
Проблема в том, что это трудно убедительно нарисовать. Радиус орбиты вокруг Солнца столь огромен по сравнению с радиусом орбиты вокруг Земли, что если показать весь большую орбиту, то пути Земли и Луны по ней совпадут, не различить на экране или на бумаге. А траектория выпуклая именно потому, что разница в радиусах такая, если бы она была меньше, были бы как раз "петли".
В общем, я написал симуляцию, которая дает подвигать параметры и посмотреть, как оно выходит. По умолчанию там подобраны значения, которые показывают, как Луна может двигаться по очевидно выпуклой траектории (красная кривая) и одновременно вращаться вокруг Земли (голубая кривая). Можно двигать самым последним контролем и смотреть, как орбита развивается во времени.
Это не совсем честные параметры: радиус орбиты Луны увеличен в 10 раз (a=10), а кол-во лунных месяцев в году уменьшено в 2 раза (m=6), для наглядности. Можно поменять на честные, но тогда орбиты сливаются, как написано выше. Внизу страницы есть текстовое объяснение.
Это упрощенная модель, конечно - окружности, а не эллипсы, одна и та же плоскость вращения - но она очень близка к реальным орбитам. Если R радиус орбиты Земли вокруг Солнца, A радиус орбиты Луны вокруг Земли, M количество лунных месяцев в году (т.е. отношение периодов вращения), то приблизительное условие для того, чтобы орбита Луны была выпуклой - это R/A >= M^2. Например, в реальности R/A=400, M=13 лунных месяцев, M^2=169. В примере, выставленном по умолчанию на странице, R/A=40, M^2=36.
no subject
Date: 2018-02-15 10:15 pm (UTC)P.S. Извините за mad skillz :)
no subject
Date: 2018-02-15 10:20 pm (UTC)no subject
Date: 2018-02-15 10:35 pm (UTC)Я четко представляю, что невыпуклость сохраняется всё время, пока траектория не перейдёт в окружность или эллипс, т.е. пока полностью не совпадёт с траекторией Земли. А до этого луне надо периодически "подныривать" под траекторию Земли, образуя вогнутый участек, который и делает всю кривую невыпуклой.
no subject
Date: 2018-02-15 11:53 pm (UTC)no subject
Date: 2018-02-16 12:21 am (UTC)no subject
Date: 2018-02-17 06:02 am (UTC)Не совсем так. Если кривая изгибается то туда, то сюда, то ее эволюта рвется в точках, соответствующих точкам перегиба, уходя на бесконечность, асимптотически прижимаясь к нормали к кривой. В типичном случае - как гипербола y=1/x. Если траектория "луны" невыпукла, то ее эволюта будет порвана на куски. Когда мы начнем траекторию приближать к окружности, куски эволюты, отвечающие "неправильным" участкам траектории будут удаляться от "солнца" и в пределе исчезнут, а "правильные" куски воссоединятся друг с другом, образуя кривую, которая все ближе и ближе прижимается к "солнцу". Чтобы качественно понять, что происходит, возьмите график функции 1/(x^2+a). Когда a отрицательно, кусок графика окажется в нижней полуплоскости. Когда a стремится к нулю, он будет уезжать все ниже и ниже, и при положительном a исчезнет.
no subject
Date: 2018-02-16 01:09 pm (UTC)Нарисуйте окружность и концентрический с ней 12-угольник (всего 24 точки пересечения). Вот этот 12-угольник будет некоторым приближением орбиты Луны. Надеюсь, Вы не станете спорить с тем, что он выпуклый?
no subject
Date: 2018-02-15 10:53 pm (UTC)А значит точно не является выпуклой, т.к. имеет самопересечения.
no subject
Date: 2018-02-16 01:04 pm (UTC)