нашел или придумал

[avva]

Математик Анатолий Карацуба одну из своих статей завершил так:

"В связи с изложенными исследованиями, которые протянули нить от древней­ших времен до наших дней, отмечу одно немаловажное обстоятельство, связанное
с современным развитием математики. В последние десятилетия появилось много исследователей и большое количество математических работ. Если классики ма­тематики воспринимали математическую науку как объективное отражение реаль­ности, то многие новые исследователи фактически не разделяют эту точку зрения. Их лозунг — математика есть продукт чистого вымысла. Их задача — приду­мать понятие, придумать теорию, придумать доказательство и т.д. Классики же совсем иначе представляли себе работу математика, что находило отражение в их формулировках типа "я нашел решение проблемы", "я нашел доказательство", "я нашел понятие" и т.д. Эти два слова "придумать" и "найти" показывают глубокое различие двух тенденций в математике и двух подходов к занятиям математикой."

Я думал и читал много в свое время о разных подходах к философии математики, в частности о разнице, указанной в этой цитате - "математика есть объективное отражание реальности" и "математика есть продукт чистого вымысла". Но мне не приходило в голову связать это с чисто языковой тенденцией использовать слова "нашел" или "придумал" о своих доказательствах или теоремах или определениях, и я не уверен в том, что Карацуба действительно уловил тут какой-то реальный тренд, и если да, что этот тренд значит то, что он утверждает. Предлагаю эту тему к обсуждению.

Comments

[avsokolan.livejournal.com]

Тренд - переход от старого понимания истины, как единственного объективного представления о действительности, к новому её пониманию, как к одной из возможных моделей реальности. Математика строит ( создаёт, придумывает) эти модели, а не отыскивает ту единственную, яко бы объективно данную природой, но пока сокрытую от сознания, как это считалось ранее. А многие так считают и до сих пор

[onodera.livejournal.com]

Вы не подскажете, кто из научно-популярных математиков активно продвигает идеи формализма в математике? Есть ли такой анти-Пенроуз?

[livelight]

Когда-то математики брали задачи у физики и строили математический аппарат под них. А куда деваться, хочешь построить законы механики - изволь придумать интегрирование и дифференцирование сначала. Но с тех пор математики слишком от них отделились, убежали вперёд физического паровоза и чаще придумывают математические теории про запас, лишь бы интересные вышли, а там уж найдётся под них что-то в реальности или нет - это уже проблемы реальности, которая пока что оказывается Уже, чем миры чистого вымысла.

Например, с помощью аксиомы выбора доказано, что существуют множества вещественных чисел, неизмеримые по Лебегу, а из аксиомы детерминированности следует, что таких множеств не существует, и все множества вещественных чисел измеримы. Вам известно что-нибудь в "объективной реальности", что соответствовало бы одному из этих вариантов и притом не соответствовало бы другому?

Математика как часть физики

[(Anonymous)]

Академик Арнольд считал математику частью физики и очень ценил геометрические аналогии и вообще наглядность. Качественные примеры. Прототипы. Также его расстраивал подход Пуанкарре и Бурбаки, когда математика сводилась к игре абстракциями и выводу одних утверждений из других по строгим правилам и без физического смысла за этим. Так что тренд есть. Мне лично кажется, что любая красивая математическая конструкция рано или поздно пригодится для физики. А придумали её исходя из физического смысла или нет, не так важно. Но это важно для детей, чтобы зажечь их. Вряд ли детям можно продать Игру в бисер. А физику запросто.

[buddha239.livejournal.com]

Мне кажется, и "найти", и "придумать" в реальной математической литературе встречается редко.:) Give definition/proof, propose...

[posic.livejournal.com]

Понятие простого числа и теорема о бесконечности множества всех простых чисел восходят, как минимум, к Евклиду. Древние греки сформулировали задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла (в смысле точного построения соответствующих величин с помощью циркуля и линейки), неразрешимость которых была доказана в девятнадцатом веке.

Ферма предположил, что все числа Ферма являются простыми; Эйлер это опроверг, разложив на множители 2²⁵+1. Эйлер также доказал, что сумма обратных величин к простым числам расходится. Далее простыми числами (и, шире, задачами теории чисел) занимались Гаусс, Риман, и т.д.

У каких физиков они взяли эти задачи? Под какие физические задачи был построен математический аппарат теории чисел? Теории Галуа? Алгебры вообще (теории групп, колец и полей)?

[livelight]

Тем не менее, понятие натурального числа и делимости (а большинство ваших примеров - задачи про них) они взяли из вполне физической повседневной реальности. А вот "алгебры вообще" математики строили для того, чтобы удобнее было обращаться с другими математическими задачами, независимо от того, из физики они взялись или из головы.

[posic.livejournal.com]

При таком подходе, аксиома детерминированности тоже взята из вполне физической повседневной реальности (игры в шахматы). Ничуть не менее физичной и реальной, чем проблема деления пяти яблок на двоих едоков, или откуда там можно взять понятие делимости.

Все это не имеет отношения к вашим первоначальным утверждениям, которые реальной истории математики совершенно неадекватны.

[livelight]

Здравствуй, Straw man!

Re: Математика как часть физики

[(Anonymous)]

Любопытно. А теория чисел, которая в конечном итоге дала нам криптографию - имеет хоть какое-то отношение к физике?

А, например, Кардано, описав зачатки комплексных чисел, позабавился их умозрительности и бесполезности. А теперь без них и физика - не физика.

[prol-prolych.livejournal.com]

Сравните:
"выпустили новый фильм" и "вышел новый фильм"
"выпустили новую игру" и "вышла новая игра"

Почему сейчас происходит подмена понятий?

Re: Математика как часть физики

[special-linear.livejournal.com]

Теория чисел к физике отношение имеет — и еще какое! Даже специализированный научный журнал есть: http://intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/cntp/_home/_main/
Организован фактически Виттеном и Концевичем.
А вообще про взаимное влияние физики и теории чисел популярно изложено у Френкеля в книжке «Любовь и математика».

[chris_archer]

Математика поражена постмодернизмом?

[avsokolan.livejournal.com]

А шо це такэ "постмодернизм"*

[(Anonymous)]

Очевидно, бывают такие понятия и доказательства, которые можно только придумать, и такие, которые можно только найти (но их находят в процессе придумывания).

Например, аксиомы Евклида, ZFC и проч. — придуманы. Понятия группы, кольца, поля (в частности, R или C) — найдены. Интеграл Римана — придуман. Алгоритм Евклида — найден. Теорема Неванлинны о пяти прообразах — найдена. Её доказательство — придумано.

Re: Математика как часть физики

[buddha239.livejournal.com]

Те еще физики.:)

[migmit (from livejournal.com)]

Реньи, «Диалоги о математике». В особенности первый.

Так что всё уже украдено до нас.

[triz-wiz.livejournal.com]

https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-009-9278-8_12

An argument has been in progress for some time between those who claim that mathematics is a discovery and those who insist that it is an invention: between, in other words, proponents of the theory that mathematics is in­dependent of our knowledge of it until we explore the field of mathematics and proponents of the theory that mathematics is a creation of the human mind. The argument of course is one about mathematics, not in it,though the mathematicians themselves do occasionally get involved.

[cryinstone.livejournal.com]

Теория чисел неожиданно, через 200 лет нашла применение в криптографии. Оказывается, и "про запас" иногда бывает полезно.

[posic.livejournal.com]

Да и число "пять" не более реально, чем игра в шахматы.

[posic.livejournal.com]

Через 2000 лет (считая от Евклида).

[thedimka.livejournal.com]

похоже, что раньше было очень мало людей которые просто могли себе позволить заниматься математикой, а неоткрытого было очень много.
а чем больше открыто и больше людей в это кинутся тем больше будет на выходе чисто "искусства ради искусства"

[furry.livejournal.com]

Хм..Я бы сказала, что разница между "нашел" и "придумал" проходит не по границе "реальное/нереальное", а скорее описывает разную роль субъекта (пассивнуе vs. созидательную). "Нашел" - для меня означает, что решение уже объективно существовало, но было не видно. "Придумал" - значит создал чего-то, не существовавшее до этого момента.

Т.е. я в своей рабочей области говорю "я придумала, почему эта штука может вести себя неправильно" в процессе troubleshooting'a (== "у меня появилась идея/теория"), а вот когда моя теория подтвердится и проблема будет исправлена, я смогу сказать, что "я нашла, почему эта штука не работала" (found the root cause) - потому что эта root cause существовала и до того, как мне пожаловались, а вот идей/теорий о том, почему это происходило - не было.

[posic.livejournal.com]

Граница проходит между реальными зелеными яблоками (которые можно съесть или пустить кому-то в лоб) -- и числом "пять" (полученным путем мысленного выделения рассматриваемой кучки яблок из, так сказать, общей совокупности всех вещей и предметов, и применения к ним абстрактной умственной операции "подсчета").

Re: Математика как часть физики

[posic.livejournal.com]

Главное, что даже если и впрямь после 2000 лет развития теории чисел (со времен Евклида) и 400 лет развития физики (со времен Кеплера) между ними, наконец, обнаружилось какое-то взаимодействие -- то о чем это, собственно, свидетельствует?

Наверное, о том, что если науки не остановятся в своем развитии, то можно ожидать, что еще лет через двести обнаружатся связи между физикой и вопросами теории множеств, типа вышеупомянутой аксиомы детерминированности...