о математике музыкального строя

[avva]

В комментариях к прошлой открытой записи была небольшая дискуссия о музыкальной теории, почему семь нот в гамме, почему 12 полутонов в октаве, такого рода вещи. Мне эта тема кажется одновременно очень интересной и очень плохо объясняемой в книгах, курсах, образовательных видео по музыкальной теории. Это в общем легко оправдать: это сложная тема, и она тесно связана с историй музыки, не имеющей прямого отношения даже к большей части классической музыки, не говоря уж о популярной. Людей нужно учить интервалам, тональностям и аккордам, и эти темы можно понять и выучить без понимания того, откуда это все взялось и почему именно так. Но мне это всегда хотелось лучше понять.

В этой записи я хочу порекомендовать два прекрасных текста на тему музыкального строя, т.е. "как устроен набор нот". Во-первых, ЖЖ-юзер rainy_sunny написал с полгода назад два исключительно полезных и ясно написанных поста на эту тему:

Математика музыкального строя — основы.

Математика музыкального строя — приложение.

Он проиллюстрировал их многочисленными youtube-клипами, которые демонстрируют разницу между интервалами и строями, диаграммами, таблицами, итд. Для чтения его записи полезно все-таки знать, какие есть ноты и что такое "терция" или "квинта", но если у вас есть эти начальные знания, я очень, очень рекомендую его записи. Мне не встречался по-русски более доступный и обстоятельный обзор этой темы.

Вместе с тем его обзор фокусируется на том, как нам распределить 12 звуков внутри октавы, коль мы уже решили, что октава состоит из 12 полутонов. Он почти не затрагивает того, как именно традиция западной музыки пришла к этому решению, и почему оно оказалось столь удобным. И тут я отдельно очень советую оказавшийся для меня неожиданно интересным и информативным FAQ сабреддита по музыкальной теории (только по-английски, увы):

Why Are There 12 Notes?

(спойлер: известный многим факт про степень тройки, близкую к степени двойки, играет роль в этом объяснении, но отнюдь не единственный и даже не главный фактор).

Вместе эти два ресурса дадут вам хорошее представление о том, как это устроено и почему так сложилось. Несомненно, можно углубляться дальше (и я потихоньку штудирую потрясающе интересную толстенную "Кэмбриджскую историю теории западной музыки"), но это хорошее основание, намного лучшее, чем 99% информации в популярных книгах/сайтах/статьях о музыке.

Comments

[sspr.livejournal.com]

Нету пруфов, к сожалению, но припоминаю некого монаха, который волевым решением закрепил 7 нот, и кажется, это и со спектром совпадало, ну и со святыми книгами

[kobak.livejournal.com]

Я просмотрел FAQ сабреддита, но не совсем понял, почему Вы пишете, что (3/2)^12 \approx 2^7 "не главный фактор". А какой главный? Там изложение историческое и начинается с того, что было 7 нот, и если к ним добавлять полутона, то удобно добавить именно 5. Но удобно-то ведь именно потому, что (3/2)^12 \approx 2^7. Или Вы имеете в виду, что самое главное, что сначала было 7? Семь было потому, что (3/2)^7 \approx 2^4, если я правильно понимаю. Т.е. утверждается, что это приблизительное равенство "главнее" предыдущего?

[avva.livejournal.com]

Я думаю, вернее сказать, что нет одного самого главного фактора, но есть сложное сочетание многих факторов, и из них 3^12 не самый важный. Какие важнее или примерно равны по важности? Во-первых, само желание добавлять ноты к 7 имеющимся не является само собой разумеющимся, и исторически обосновано растущим пониманием важности вводного тона, а также растущей необходимостью транспонировать на разные ступени. Во-вторых, если мы уж решили добавлять, то пожалуй, что энгармонизм важнее, чем 3^12. Если бы не энгармонизм и желание сделать C#=Db итд., то вполне возможно, что мы бы остановились на 19-тоновой шкале: у нее и погрешность меньше (3^19/2^30 < 3^12/2^19), и весьма удобные вводные тоны "облепляют" каждую ноту.

[kobak.livejournal.com]

А, понимаю. Т.е. с точки зрения степеней, 7, 12 и 19 образуют последовательные приближения, и выбор из них именно 12-ти является поэтому обусловленным некоторыми дополнительными причинами.

[avva.livejournal.com]

Примерно так, да.

[avva.livejournal.com]

"Семь было потому, что (3/2)^7 \approx 2^4, если я правильно понимаю."

Не уверен, что это верно. Мне кажется, скорее важно то, что 7 нот (после движения по квинтам три раза в обе стороны от заданной ноты) дают богатый набор интервалов, включающий в себя 5 целых тонов и 2 полутона, и их варьирование открывает обширную комбинаторную свободу (диатонические лады) уже для 7 нот. В отличие от ситуации с 12 нотами, продолжение по квинте дальше дает интервал, вполне сравнимый по величине с уже имеющимися полутонами, а не пренебрежимый, так что "(3/2)^7 \approx 2^4" не дает сильных оснований остановиться именно на 7 нотах. Но я не углублялся как следует в это, вполне возможно, что целиком неправ.

[kobak.livejournal.com]

Ну да, это довольно плохонький \approx. Но вот в том же FAQе есть такой абзац, это он меня навел на эту формулировку: "We could stop at any of those points and have a pretty good scale. So, for example, let’s stop after generating 7 notes of a scale. We have 6 perfectly tuned fifths, and one “wolf” fifth that’s close but not right (B+F). Not bad: notice that we’ve just created the diatonic scale! This is one reason the diatonic scale is pretty useful: it has lots of perfect fifths."

[i_eron]

Я всегда считал подлостью, что 3^4 не равно 5*2^4. А ещё 3^5 могло бы быть равно 2^8. Ну, или, хотя бы, 3^7 и 2^11. Насколько было бы легче этим музыкантам, если бы всё это было равно.

В фотоаппаратах долгое время уменьшали пиксели на октаву каждые три такта: в 1.25 раз, потом ещё в 1.25 раз, а потом в 1.28 раз. Ну, приблизительно. Эти самые два процента дисгармонии причиняли много неудобств. А всё потому, что корень третьей степени из двух подлым образом не равен точно 5/4. Или, что то же самое, 2^10 не равно 10^3. Фотоаппаратчикам бы очень помогло, если бы это было равно. Неужели математики не могли подогнать получше, когда придумывали натуральные числа? Почему вообще мы столько времени должны считаться с их недальновидными решениями?

[amigofriend.livejournal.com]

:)))

[xxxxx.livejournal.com]

Смотрел такое кино http://tinyurl.com/y8ej22oz ?
Довольно забавное, дяденька с кафедры матанализа со скрипочкой, мне понравилось. Наверное можно где-то купить или украсть, ну или могу поделиться.

(трейлер впрочем идиотский, само кино лучше чем можно подумать посмотрев трейлер)

[xaxam.livejournal.com]

В "Библиотечке математического кружка" была книжка Шилова "Устройство музыкальной шкалы". Там и про 17-тонный рояль было написано.

[f137.livejournal.com]

17-тонный рояль вызывает массу ассоциаций ))

[kstoor.livejournal.com]

Увы, объяснения и комментарии выше имеют мало отношения к реальности. Не то чтобы они совсем неверные, но о самом важном обстоятельстве не упоминает странным образом никто. Я напишу кратко, а если нужно будет пояснить -- поясню.

Необходимость темперации (введения поправок к вычисленной каким-то, неважно каким, образом "правильной" высоте звука) сама по себе возникает довольно поздно, в середине 16 века. Связана она с укреплением тональной организации музыки -- это когда ладовая функция каждого звука определяется в отношении к главному звуку звукоряда, тонике. Подчеркну -- в более ранние времена в музыке этого нет совсем или очень мало, музыка устроена совсем иначе. Нарочно приведу очень яркий пример (русское строчное многоголосие 16 века) https://www.optina.ru/audio/spb_1/06_Track.mp3. Не правда ли, "найти тонику" или "подобрать гармонию" в таком напеве чрезвычайно сложно? Несмотря на то, что наш современный музыкальный слух постоянно пытается уловить в мелодии привычные тяготения и мысленно подставить возможные типовые гармонические обороты, по отношению к знаменному распеву тональный принцип и соответствующая гармония являются абсолютно чужеродными элементами, которые никто из распевщиков в 16 веке ни при каких обстоятельствах вообразить себе не мог. Да и сами интервалы звучат непривычным образом, записать услышанное "как диктант" непросто даже человеку с музыкальным образованием.

В тональной системе те же самые звуки начинают восприниматься уже в другой логике,, с другими соотношениями между собой (хотя частоты будут те же самые). И вот тогда-то, не сразу, а постепенно, в наибольшей степени -- когда в практику входит "прогулка" по разным тональностям, возникает желание подстроить инструмент так, чтобы все тональности звучали пусть немного фальшиво, зато одинаково фальшиво. Первый известный пример равномерной темперации то ли придумал, то ли просто первым им воспользовался француз Гийом Котле во второй половине 16 века, и у него в октаве было 19 звуков (у этой темперации до сих пор есть фанаты, по ключевому слову 19TET на ютубе можно найти довольно много произведений -- гитару с таким строем сделать не сложнее, чем обычную). Впоследствии много разных темпераций перепробовали, победила двенадцатитоновая равномерная -- но могла бы и не победить, если бы развитие музыки пошло по другому пути.

[(Anonymous)]

Это очень важное обстоятельство, да. Спасибо за разъяснение.

[kstoor.livejournal.com]

Наверно, стоит еще добавить, что число нот в звукоряде и способ их построения определяются музыкальной практикой, а не математикой. И диатоника не обязательно имеет семь ступеней (а имеет от трех до восьми, с той оговоркой, что не все звукоряды октавные, поэтому подсчет звуков именно в октаве не универсален), и звукоряд современных модальных традиций, например, рага или макама, может содержать в октаве гораздо больше 12 звуков (и любая попытка сыграть их на 12-tet инструментах даст совершенно неприемлемый результат).

[avva.livejournal.com]

То, что вы пишете, в целом по-моему верно, но я не понимаю, почему вы это представляете как "объяснения и комментарии выше имеют мало отношения к реальности". Это кажется излишне строгим и несправедливым.

В англоязычном источнике, на который я дал ссылку, говорят об изобретении мажорного трезвучия, на несколько столетий позже изобретения клавишных инструментов. Это и есть то, о чем вы говорите, разве нет? С использованием аккордов растет роль гармонии, укореняется значении тоники и важность интервалов между тоникой и другими ступенями, итд. При этом диатонические лады (ионийский, дорийский, фригийский итд.) существовали намного раньше, но рост значения аккордов и гармонии заставил музыкантов переосмыслить их структуру, и в частности выделить мажорный и минорный в качестве самых главных, построенных на мажорном и минорном трезвучии.

Однако к этому времени (16-17вв.) клавишные инструменты существовали уже несколько веков, и 12-тоновая конструкция была наиболее популярной, хотя да, верно и то, что пробовали другие варианты тоже. Поэтому неверно, мне кажется (опять же, я подчеркну, что основываюсь только на поверхностном чтении нескольких источников, я не эксперт) объяснять возникновение 12-тоновой октавы ростом значения аккордов, вертикальной гармонии, гомофонии итд. 12-тоновая октава возникла и стала стандартной заметно раньше, а те обстоятельства, которые вы называете самыми важными, скорее помогают понять, почему 12-тоновая октава остается релевантной и удобной в это время, и как возникло желание усреднить темперацию, кульминировавшееся в итоге в равномерную темперацию. На это тоже вкратце указывают в англоязычном FAQе, хоть и очень вкратце.

[kstoor.livejournal.com]

Я прошу прощения, если прозвучало резко; постараюсь ответить достаточно подробно (в несколько приемов).

Начну с возражения вашему тезису "к этому времени (16-17вв.) клавишные инструменты существовали уже несколько веков, и 12-тоновая конструкция была наиболее популярной". Пифагорейский строй действительно восходит к античности и документирован в средневековых трактатах начиная с 9 века, но совершенно непонятно, с какой целью в европейском Средневековье потребовалось бы делать инструменты с 12 клавишами в октаве, если в реально существовавшей музыке использовались только семь? Старейший из сохранившихся органов относится к 15 веку; от более ранних остались исторические изображения, но я не припомню ни одного, где была бы ясно видна двенадцатитоновая клавиатура; если кто-то приводит серьезные аргументы в пользу ее распространенности -- хотелось бы ссылку на источник..

"12-тоновая октава возникла и стала стандартной заметно раньше". Здесь заблуждение состоит в предположении, что коль скоро средневековые теоретики умели по-пифагорейски делить октаву на 12 частей, то средневековые музыканты должны были эти 12 звуков использовать. На самом деле этого не было (а музыкальная теория была очень далека от практики).

(продолжу завтра...)

[(Anonymous)]

Орган ладно, сделать 12 нот на октаву сильно дороже, чем 7. Как там с лютней?

[kstoor.livejournal.com]

С лютней и любыми струнными инструментами так. У них не было постоянных врезных ладов, а порожки делались из кусков струны, навязанных поперек грифа. Положение этих навязок, как и высота самих струн, определялись жанром музыки, который собирался играть музыкант. Вот коротенькая статья (на английском), в ней фрагмент трактата 13 века о настройке пятиструнной виолы (и обратите внимание, еще никаких упоминаний о musica ficta): https://www.cengage.com/music/book_content/049557273X_wrightSimms/assets/ITOW/7273X_11b_ITOW_Jerome.pdf

[(Anonymous)]

Интересную систему он описывает. Получается, порожки привязывались так, чтобы можно было прижимать тон-полутон-полутон-полутон. До 12 нот осталось совсем немного, один порожек всего добавить.

[kstoor.livejournal.com]

Не совсем, довольно много еще осталось до 12. Смотрите, что нам пишут: пятая струна самая высокая, настроена на g'; прижимая ее, получают звуки a', b', h' и c'', плюс d'' мизинцем. Получается, порожки дают интервалы тон, полутон, полутон, полутон, тон. Четвертая струна d' даст звуки e', f', f#', g', a'. Третья струна g, на октаву ниже пятой, даст a, b, h, c', d'. Вторая струна G, на две октавы ниже пятой, даст A, B, H, c, d. И наконец, первая струна d даст звуки e, f, f#, g, a. Итого у нас девять разных звуков -- восьмиступенная миксодиатоника плюс фа диез. А это уже конец 13 века, притом виолу перенастраивать всё-таки проще, чем орган переделывать.

[(Anonymous)]

Девять, еще один порожек привязать — будет одиннадцать, и, наконец, есть еще настройка с открытой струной c.

[avva.livejournal.com]

Поискал про инструменты: вот диаграмма клавиатуры раннего клавикорда, 1440:



Это из книги:
Ripin et al, The New Grove. Early Keyboard Instruments

она есть на gen.lib.rus.ec

Там есть много про клавесины тоже, примерно того же времени; инструментов 14 века почти не сохранилось, так что не уверен, что можно уверенно заключить (я читал очень вскользь, вчера перед сном).

В теории музыки 13-15 веков строили огромное количество разных хроматических схем, используя в качестве оправдания новым нотам как деление целого тона на два, чтобы были удобные вводные тоны, так и для транспонирования тетрахорда. Все это до мажорного трезвучия и несомненно без ощущения тональности в современном понятии, как вы указываете. Листал вчера книгу Carl Dahlhaus, Studies on the Origin of Harmonic Tonality, где это очень подробно описывается (хроматические схемы в "The Development of the Tonal System", p. 162), хотя опять-таки большинство материала выше моего разумения, тем паче при небрежном листании. Возможно, как вы говорите, в практике хроматические ноты в те столетия не использовались, или использовались меньше, чем можно подумать по теоретическим трактатам? Но их введение выглядит обоснованным вполне практическими соображениями...

[kstoor.livejournal.com]

Собственно, начало 13 века -- та точка, на которой я вчера остановился. С этого времени в григорианском хорале начинают использоваться звуки за пределами musica recta, то есть Гвидонова звукоряда GAHcdefgabc'd'. Эти звуки, musica ficta, еще не хроматизмы в нашем понимании, это те же гексахорды ут-ре-ми-фа-соль-ля, которые строятся не от G, c и f, а от любого звука musica recta. Это называется "мутация лада". Если вычислять высоты звуков таких новых гексахордов, то даже для уже имеющихся в звукоряде результаты могут отличаться при разных построениях, потому что в пифагорейском строе тон -- 204 цента, а полутон -- 90 центов, то есть заметно меньше половины. Поэтому "В теории музыки 13-15 веков строили огромное количество разных хроматических схем" (подчеркнем очередной раз: теория музыки не диктует музыке ее развитие, а в лучшем случае придумывает обоснование уже появившимся в практике явлениям!). Древние греки на компромисс не шли, вычисляли все высоты независимо и для каждого звука мутировавшего звукоряда добавляли новое обозначение, что вело к невероятной путанице (им букв не хватило, пришлось использовать буквы в повернутом, зеркальном начертании и пр.) А более прагматичные европейцы решили, что для практических целей достаточно оставить имеющиеся звуки как есть, а между "белоклавишными" добавить по одному "черноклавишному" там, где это требуется, и пифагорейский способ отлично для этого подошел.

Для каких таких "практических целей"? Musica ficta появляется в григорианском хорале, это монодия и простое многоголосие (второго очень-очень мало). Как высотно интонировались хоральные мелодии в пении -- у нас нет никакого способа выяснить, но во всяком случае ухо гораздо менее чувствительно к высотным нюансам мелодических (взятых неодновременно) интервалов, чем гармонических. В монодии гармонических интервалов нет (если пение сопровождается органом, он просто дублирует мелодию); в раннем многоголосии Западной церкви (органуме) из гармонических интервалов были квинта, кварта и октава. У пифагорейского строя с этими интервалами как раз всё очень неплохо.

Дальше наступает 14 век, Арс Нова. Многоголосие становится гораздо сложнее, но согласование голосов там таково, что значимые гармонические интервалы остаются те же самые, с добавлением большой секунды. Снова пифагорейский строй в практическом смысле оказывается достаточно хорошим.

А с появлением строгого стиля, в начале 15 века, начинается уже совершенно другая история!

(продолжение будет...)

Кстати, длинная, но очень стоящая статья опифагорейском строе в европейском средневековье есть на medieval.org, http://www.medieval.org/emfaq/harmony/pyth.html

[kstoor.livejournal.com]

Всё-таки не буду сильно растекаться, не то процесс затянется... Long story short: 12 звуков в октаве востребованы примерно с начала 14 века (см. выше в другой подветке о настройке пятиструнной виолы), с этого же времени распространяются соответствующие клавиатуры. С 15 века коренным образом меняется восприятие консонансов и диссонансов; оказывается, что пифагорейский строй не настолько хорош. Хроматические эксперименты итальянских мадригалистов конца 16 в. вызывают вопросы, достаточно ли 12 звуков и как их лучше получать. Тональная гармония и развитие инструментальной музыки в 17 веке еще больше запутывают дело. Наконец, в 18 веке все сходятся на приемлемом варианте -- 12-тоновой равномерной темперации. Объединяет эти процессы то, что музыкальная практика вопрос настройки инструментов ставит и сама же решает, причем тот, что в данный момент стоит.

Здесь должен повиниться в несправедливости к автору реддита, который все-таки об этом прямо пишет: "That’s a key point for our story: instrument builders designed their instruments around musical sounds that should be easy to make (like nice chords and scales). Eventually we started conceptualizing those sounds in terms of the instruments... which is exactly backwards!" При первом прочтении этот пассаж как-то ускользнул, возможно, потому, что в глаза бросились свидетельства этого exactly backwards подхода:

"Let’s start from the ground up and build a tuning system from scratch",

или "the ideal ratio of tone to semitone is 2.26" -- откуда-то вдруг взялась "идеальность",

или "Let’s suppose that there’s one musical sound we really like: the major third, defined as a ratio of frequencies (5:4)" -- это же не математическое доказательство, где делалось бы допущение, затем после каких-то рассуждений мы приходили бы к выводу, что первоначальное допущение истинно; корректным подходом было бы что-то вроде: "в такое-то время в такой-то музыке большое значение в качестве консонанса приобрела большая терция в натуральном строе -- давайте посмотрим, на что это повлияло".

Посмотрим на музыкальную культуру, растущую из того же корня, что и средневековая западноевропейская -- на византийскую музыку. В ней, в частности, сохранились следы античных хроматического и энармонического родов мелоса, которые в западноевропейской исчезли полностью -- кровь или почва тому виной, кто знает ;) Короткая, но внятная статья о византийской музыке тут: http://www.newbyz.org/byzantine_music_for_western_musicians.pdf, о звуках вне двенадцатитоновой шкалы см. стр. 3, chromatic scales. Тут никак не обойтись 12 звуками в октаве, как ни старайся. Соответственно устроены и музыкальные инструменты (в родственных современных традициях, разумеется).

[(Anonymous)]

Да вот, кстати, и орган. Из церкви Norrlanda в Швеции.

The world’s oldest surviving organ fragments, dating c1370-1400 [...] The organ has a fully chromatic manual compass of 22 keys, beginning where the pedal leaves off, for a complete compass of C D E F G A B♭ B♮ c-a. The keys for diatonic notes, including B♭, are on one level, with keys for C♯, D♯, F♯, and G♯ arranged in pairs on a higher level.

http://www.davidrumsey.ch/Norrlanda.pdf

Картинка: https://organsafari.files.wordpress.com/2016/09/norrlanda-organ-keyboard.jpg?w=1040

[kstoor.livejournal.com]

Спасибо, не видел раньше, очень здорово )

[vsvor.livejournal.com]

Кроме упомянутой выше брошюры Г.Е. Шилова (http://bookfi.net/book/593288), можно вспомнить книгу А. Волконского "Основы темперации" (текст есть в сети, но не pdf). Компьютерное пианино (клавиатура, MIDI вход, Cubase, виртуальные инструменты) настраивается в любой старинной темперации. Я когда-то этим увлекался, но, честно говоря, чтобы действительно чувствовать разницу, нужен слух струнника, а не любителя.

53-ступенная равномерная темперация (53-EDO) намного лучше аппроксимирует квинту, кварту и терции, чем 12-ступенная. Но, видимо, для человека возможности такого клавишного инструмента избыточны.

Был еще любопытный ролик (https://www.youtube.com/watch?v=cyW5z-M2yzw) на канале 3Blue1Brown.

[ural-mia.livejournal.com]

Вообще самое интересное, с точки зрения математики, в этом вопросе - это соотношение логарифмической и линейной шкал. Дело в том, что слух (как и все другие органы чувств) логарифмирует воспринимаемый раздражитель. Т.е. если громкость звука растет по экспоненте то для слушателя она растет линейно.
Для частотного восприятия это не так. Частота растет линейно для слушателя она растет линейно.
Нотный стан - линейное деление частотного ряда.
Квинта, кварта и т.д. - логарифмическое деление нотного ряда.
Понятно добиться точного совпадения рядов невозможно, что вызывает сложности создания струнных инструментов с ладами и клавишных инструментов. Как следствие появляется равномерно темперированный ряд. Где нет точных промежутков (нот, кварт и т.д.) но появляются полутона.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Равномерно_темперированный_строй

[(Anonymous)]

> Частота растет линейно для слушателя она растет линейно.

> Нотный стан - линейное деление частотного ряда.

Эти два утверждения совершенно непонятно на чем основаны.

[ural-mia.livejournal.com]

По поводу нот можно просто посмотреть частоты здесь:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Частоты_настройки_фортепиано
Видно что различие между двумя нотами близко к 200 Гц. Естественно для фортепьяно это равномерно темперированный ряд (отличающийся от исходного просто линейного). Я не нашел частот нот Гвидо из Арецио, но знаю, что они отличались от современных.
На счет частоты вы правы растет логарифмически
http://soundbarrel.ru/amp_predvar/vospriytie.html

[matholimp.livejournal.com]

12 и 7 - основания систем счисления, которые использовались с глубокой древности. В чём и состоит главная причина использования именно этих чисел.
Другое дело, почему именно 12 и 7 стали основаниями систем счисления. Для этого были более глубокие причины, не только чисто математические.

[(Anonymous)]

Древние греки смотрят на данное утверждение с легким недоумением.

[matholimp.livejournal.com]

Поделитесь, что Вам известно о древних греках именно в контексте систем счисления. У египтян они могли заимствовать основание 60, а у иудеев 7.

[(Anonymous)]

Греки не только могли заимствовать основание 60, но даже таки прямо и нагло заимствовали. Как раз для дробей, считать дуги окружности (для целых чисел это вроде не использовалось). Деление окружности на 360 градусов, а потом на 60 минут и еще на 60 секунд у нас именно оттуда. Но 60 все же не 12, а несколько другое число. И октаву греки на 12 частей не делили. 12 нот появились сильно позже, когда магия чисел уже не очень действовала.

Про основание 7 у греков мне ничего не известно. Зачем бы им его заимствовать?

[aosypov.livejournal.com]

12 хорошо делится, а 7 считается средним максимальным количеством одновременной удерживаемых во внимании однородных предметов (что, возможно, является следствием геометрии окружения круга такими же кругами, которая может работать в организации перцептивных, а выше - и интегративных полях мозга, но это уже чисто мой домысел, не выше ранга гипотезы ;)

[matholimp.livejournal.com]

Всё-таки 7 стало основанием системы счисления по другой причине: как число дней недели (четверть лунного месяца). Древние народы Ближнего Востока уделяли небесным явлениям несопоставимо больше внимания, чем наши современники.