о математическом (и вообще абстрактном) воображении

[avva]

Когда математик говорит: пусть G - абелева группа..., какую картинку он видит в своём воображении?

Вообще, когда математики (и не-математики) рассуждают об абстрактных структурах, какого рода внутренними картинками они пользуются для того, чтобы помочь себе?

Мне всегда этот вопрос казался очень интересным и, пожалуй, важным для понимания процесса абстрактного мышления. Да и о практическом аспекте можно подумать. Может быть - ведь может быть? - какие-то способы внутренней визуализации объективно удобнее, лучше, полезнее, чем другие. Возможно, эти способы можно описать и им можно научиться. А есть ли математики, которые вообще не используют ничего подобного, не "видят" перед собой никаких картинок? И если есть, можем ли мы из этого сделать какие-то выводы о процессе их математического мышления?

Но я так и не встретил ни разу подробного описания или изучения этого вопроса. Может быть, кто-нибудь знает, изучали ли это профессионально и систематически (скажем, психологи или кто ещё)? Всё, что мне встречалось - это редкие частные описания. Например, Ричард Фейнман интересно описывает в своей как-бы автобиографии, как он использовал внутренние "картинки" (разного рода геометрические фигуры, к-е меняли цвет, обрастали щупальцами и т.п.), когда был студентом-физиком и обсуждал теорию множеств со студентами-математиками.
Какой-то другой математик (забыл, кто) описывал, как он видит дифференциальные уравнения в цвете (каждая переменная имеет свой цвет).

Сам я не очень много могу добавить о себе лично. У меня нет цветного абстрактного видения, хотя сгущение тёмного тона играет важную роль (т.е. та часть картинки, к-я более важна или на которой сфокусировано внимание, темнее других). Числовую ось я вижу горизонтальной, когда речь идёт о геометрии или анализе; но если речь идёт о теории множеств, ординалах и т.п., она скорее направлена косо, и уходит вправо вверх, в отдельных случаях даже вертикально (так удобней бывает представить "ось" всех ординалов и кардиналов, включая бесконечные; почему? - не знаю). Поле (или кольцо вообще) для меня - бесформенное облако, внутри которого выделяется тёмная ось натуральных чисел, прыгающих одно за другим -- или непрерывная, а не дискретная, копия рациональных чисел. Стоит перейти к векторному пространству, как само поле сплющивается и становится двумерным, а пространство, на нём основанное - трёхмерным облаком, с нитями между ними; поле почему-то левее и ниже самого пространства. Модель (в мат. логике) - всегда что-то плоское и обширное, с точками, означающими элементы, в которые прыгают стрелки из большого неограниченного уходящего в бесконечость куска пространства, содержащего термы данного языка. Между точками-элементами прыгают стрелки, означающие реляции и функции. Элементы-константы всегда темнее и отчётливей других.

Это просто несколько примеров того, что первым в голову пришло -- наверное, недостаточно детализованных (чем точнее пытаешься вспомнить, тем больше картинка расплывается или теряешь в ней уверенность).

Если кто-то (математик или не-математик) захочет добавить свои впечатления и ощущения абстрактных структур, или любые соображения по этому поводу, добро пожаловать. Вся эта тема кажется мне исключительно интересной и малоизученной.

Comments

[posic.livejournal.com]

Ну, я не знаю, как там внутри устроен мозг. Но в данном случае речь идет о вполне целенаправленной деятельности. Если уж предаваться воспоминаниям, то я частенько рисовал на бумаге какие-нибудь абелевы группы в виде овалов, а гомоморфизм изображался конусом (ядро переходит в ноль), вложенным в усеченный конус (группа отображается в подруппу-образ отображения). Все это делалось абсолютно сознательно, отрефлексированно -- я надеялся, что это мне поможет. Как бумага помогает при вычислениях, например.

Теперь же мне думается, что рисование формул на бумаге, даже самых примитивных, действительно помогает -- потому что снижает нагрузку на память. Но полезность иррелевантных зрительных образов -- в голове ли их держать, на бумаге ли рисовать -- мне сомнительна.

[toshick.livejournal.com]

Мы немножко о разных вещах.

Вы о том, что Вам удобно рисовать определенный объект - как психолог я совсем любитель, но, насколько понимаю, двигательная активность облегчает концентрацию внимания. Легкий посторонний раздражитель, типа ненавязчивой музыки, облегчает умственную работу. Сосредоточиться в идеальной сурдокамере, наверное, очень трудно. Рисование, или, как его обездвиженная форма, представление геометрических объектов, именно что слабы побочный раздражитель, помогающий первоначальной концентрации.

Я же говорил о побочных эффектах напряженного мышления - неотрефлексированных образах, цветовых полях и т.п. Они вполне могут повторяться устойчиво, особенно если человек убеждает себя сам, устанавливая устойчивую ассоциативную связь, и имеют совершенно другую природу. Все-таки напряженное абстрактное размышление не есть естественное состояние мозга ;-).

В любом случае - это только предположение.

[toshick.livejournal.com]

PS тем более, если речь идет о рисовании формул - это непосредственно связанная с размышлением двигательная активность