![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaКогда математик говорит: пусть G - абелева группа..., какую картинку он видит в своём воображении?
Вообще, когда математики (и не-математики) рассуждают об абстрактных структурах, какого рода внутренними картинками они пользуются для того, чтобы помочь себе?
Мне всегда этот вопрос казался очень интересным и, пожалуй, важным для понимания процесса абстрактного мышления. Да и о практическом аспекте можно подумать. Может быть - ведь может быть? - какие-то способы внутренней визуализации объективно удобнее, лучше, полезнее, чем другие. Возможно, эти способы можно описать и им можно научиться. А есть ли математики, которые вообще не используют ничего подобного, не "видят" перед собой никаких картинок? И если есть, можем ли мы из этого сделать какие-то выводы о процессе их математического мышления?
Но я так и не встретил ни разу подробного описания или изучения этого вопроса. Может быть, кто-нибудь знает, изучали ли это профессионально и систематически (скажем, психологи или кто ещё)? Всё, что мне встречалось - это редкие частные описания. Например, Ричард Фейнман интересно описывает в своей как-бы автобиографии, как он использовал внутренние "картинки" (разного рода геометрические фигуры, к-е меняли цвет, обрастали щупальцами и т.п.), когда был студентом-физиком и обсуждал теорию множеств со студентами-математиками.
Какой-то другой математик (забыл, кто) описывал, как он видит дифференциальные уравнения в цвете (каждая переменная имеет свой цвет).
Сам я не очень много могу добавить о себе лично. У меня нет цветного абстрактного видения, хотя сгущение тёмного тона играет важную роль (т.е. та часть картинки, к-я более важна или на которой сфокусировано внимание, темнее других). Числовую ось я вижу горизонтальной, когда речь идёт о геометрии или анализе; но если речь идёт о теории множеств, ординалах и т.п., она скорее направлена косо, и уходит вправо вверх, в отдельных случаях даже вертикально (так удобней бывает представить "ось" всех ординалов и кардиналов, включая бесконечные; почему? - не знаю). Поле (или кольцо вообще) для меня - бесформенное облако, внутри которого выделяется тёмная ось натуральных чисел, прыгающих одно за другим -- или непрерывная, а не дискретная, копия рациональных чисел. Стоит перейти к векторному пространству, как само поле сплющивается и становится двумерным, а пространство, на нём основанное - трёхмерным облаком, с нитями между ними; поле почему-то левее и ниже самого пространства. Модель (в мат. логике) - всегда что-то плоское и обширное, с точками, означающими элементы, в которые прыгают стрелки из большого неограниченного уходящего в бесконечость куска пространства, содержащего термы данного языка. Между точками-элементами прыгают стрелки, означающие реляции и функции. Элементы-константы всегда темнее и отчётливей других.
Это просто несколько примеров того, что первым в голову пришло -- наверное, недостаточно детализованных (чем точнее пытаешься вспомнить, тем больше картинка расплывается или теряешь в ней уверенность).
Если кто-то (математик или не-математик) захочет добавить свои впечатления и ощущения абстрактных структур, или любые соображения по этому поводу, добро пожаловать. Вся эта тема кажется мне исключительно интересной и малоизученной.
Вообще, когда математики (и не-математики) рассуждают об абстрактных структурах, какого рода внутренними картинками они пользуются для того, чтобы помочь себе?
Мне всегда этот вопрос казался очень интересным и, пожалуй, важным для понимания процесса абстрактного мышления. Да и о практическом аспекте можно подумать. Может быть - ведь может быть? - какие-то способы внутренней визуализации объективно удобнее, лучше, полезнее, чем другие. Возможно, эти способы можно описать и им можно научиться. А есть ли математики, которые вообще не используют ничего подобного, не "видят" перед собой никаких картинок? И если есть, можем ли мы из этого сделать какие-то выводы о процессе их математического мышления?
Но я так и не встретил ни разу подробного описания или изучения этого вопроса. Может быть, кто-нибудь знает, изучали ли это профессионально и систематически (скажем, психологи или кто ещё)? Всё, что мне встречалось - это редкие частные описания. Например, Ричард Фейнман интересно описывает в своей как-бы автобиографии, как он использовал внутренние "картинки" (разного рода геометрические фигуры, к-е меняли цвет, обрастали щупальцами и т.п.), когда был студентом-физиком и обсуждал теорию множеств со студентами-математиками.
Какой-то другой математик (забыл, кто) описывал, как он видит дифференциальные уравнения в цвете (каждая переменная имеет свой цвет).
Сам я не очень много могу добавить о себе лично. У меня нет цветного абстрактного видения, хотя сгущение тёмного тона играет важную роль (т.е. та часть картинки, к-я более важна или на которой сфокусировано внимание, темнее других). Числовую ось я вижу горизонтальной, когда речь идёт о геометрии или анализе; но если речь идёт о теории множеств, ординалах и т.п., она скорее направлена косо, и уходит вправо вверх, в отдельных случаях даже вертикально (так удобней бывает представить "ось" всех ординалов и кардиналов, включая бесконечные; почему? - не знаю). Поле (или кольцо вообще) для меня - бесформенное облако, внутри которого выделяется тёмная ось натуральных чисел, прыгающих одно за другим -- или непрерывная, а не дискретная, копия рациональных чисел. Стоит перейти к векторному пространству, как само поле сплющивается и становится двумерным, а пространство, на нём основанное - трёхмерным облаком, с нитями между ними; поле почему-то левее и ниже самого пространства. Модель (в мат. логике) - всегда что-то плоское и обширное, с точками, означающими элементы, в которые прыгают стрелки из большого неограниченного уходящего в бесконечость куска пространства, содержащего термы данного языка. Между точками-элементами прыгают стрелки, означающие реляции и функции. Элементы-константы всегда темнее и отчётливей других.
Это просто несколько примеров того, что первым в голову пришло -- наверное, недостаточно детализованных (чем точнее пытаешься вспомнить, тем больше картинка расплывается или теряешь в ней уверенность).
Если кто-то (математик или не-математик) захочет добавить свои впечатления и ощущения абстрактных структур, или любые соображения по этому поводу, добро пожаловать. Вся эта тема кажется мне исключительно интересной и малоизученной.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2002-06-10 03:22 pm (UTC)Соответственно, пятимерное -- копии этой четырехмерной "прямой", застилающие вертикальную стену. Шестимерное -- это как бы трехмерное пространство, каждый "воксель" которого -- это трехмерный "ящичек".
Соответственно, пятимерная сфера представляется себе довольно легко и оказывается совсем не "круглой" :) (если я не ошибаюсь) (круглые только её трехмерные проекции)
no subject
Date: 2002-06-10 03:25 pm (UTC)http://groups.google.com/groups?hl=en&lr=lang_ru&frame=right&th=4a090e61a9d205&seekm=9tna5h%241ear%241%40gavrilo.mtu.ru#link2
Re:
Date: 2002-06-10 03:29 pm (UTC)Спасибо за интересное описание многомерных пространств.
no subject
Date: 2002-06-10 03:30 pm (UTC)http://www.ozon.ru/detail.cfm/ent=2&id=110840
я, правда, дальше первых нескольких страниц понять ничего не могу ;)
no subject
Date: 2002-06-10 03:32 pm (UTC)пожалуйста-пожалуйста ;)
я когда писал, меня всё время накрывало моей любимой темой для сомнений: "а что, можно как-то еще?" :)
а что, можно как-то еще? Ж)
P.S.: очень не хватает кнопочьки "подписаться на комментарии по дискуссии" :)
no subject
Date: 2002-06-10 03:38 pm (UTC)Соответственно, когда надо посмотреть на два элемента абелевой группы, то они подрагивают, готовясь поменяться местами. Два элемента неабелевой группы встают на место (в момент "фиксации взгляда") с легким щелчком и не шевелятся.
Я не знаю, будет ли всё это работать на большой высоте абстрактности -- я туда еще не добрался.
no subject
Date: 2002-06-10 04:07 pm (UTC)Что-то мне это очень напоминает :)
По существу же хотел сказать, что, занимаясь оптимизацией функции большого числа переменных, представляю себе ее все же как двухмерное полотно в трехмерном пространстве, как правило - во всеможных умопомрачительных складках, провалах и коварных плато :) (чаще всего, так и есть). К этому полотну льнут градиентые вектора, и апроксимирующие параболоиды, на "дно" которых скатываются "шарики" из известной аналогии. Интересно, что по самому полотну шарики не катаются - страшно.
Никакой "практической" пользы такая визуализация, очевидно, не несет, И крутится в голове как побочный продукт, наведенный картинками из учебников и объяснений :)
Мои 2 цента
no subject
Вот, к слову, ссылочка на систему с хаотическим поведением (http://www.path.berkeley.edu/~michaelk/Papers/rhs_dec.ps). Задача ставится на пальцах, а голову немножко поломать пришлось.
Тема совершенно необъятная
У меня довольно банальные чувственные ассоциации. Причем скорей не зрительные, а зрительно-осязацетельные. Неабелева, скажем, группя представляется мне обьъектом твердым, но хрупким: отломишь кусочек, он и развалится. Абелева, наоборот, мягко-аморфная, и плоская: гни во все стороны. И так можно продолжать.
Есть, кстати, чисто матеметический результат (вернее, серия результатов), которые представляются мне связанными с этой философией. Это недостаточно известные работы великолепного беер-шевца Мати Рубина (ученика Шелаха) о воссоздании объектов по группам их авторморфизмов (или полугруппам эндоморфизмов).
Сопоставим, скажем, гладкому многообразию группу его автодиффеоморфизмов. Очевидно, это топологичесская группа. Мне не совсем очевидно, есть ли на ней "естественная" аналитическая структура, но не суть важно. Важно то, что по этой группе с достаточно "богатой" дополнительной структурой многообразие восстанавливается однозначно и функториально (т.е. морфизмы двух таких групп могут происходить лишь из морфизмов исходных многообразий).
То, что я написал выше, не совсем тривиально, но достаточно рутинно и неудивительно. А вот что делает Рубин. Он берет эту группу, и забывает обо всех дополнительных структурах. Просто абстрактная группа, 4 аксиомы. Оказывается, уже по ней многообразие восстанавливается однозначно и функториально! Т.е. эта (громадная) абстрактная группа - объект столь хрупкий, столь оригинальный, что может встречаться в природе только один раз. Мне она представляется в виде какого-то редчайшего алмаза из короны английской королевы.
Рубин рассматривает, помимо гл. многообразий, и другие обьекты с "достаточно богатыми" группами автоморфизмов, и получает те же выводы. Если автоморфизмов недостаточно (как в случае, скажем, римановых поверхностей), в ход идут эндоморфизмы, и т.д.
Общая идеология такая: у "аморфных" объектов "жесткие" группы морфизмов. Ничего в этом удивительного нет, но форма, которую придал этой метаидее Рубин, не может не восхищать.
Я не могу поручиться, что написанное выше верно: я никогда не читал работ Рубина, и все это знаю лишь из личных бесед. К тому же я не уверен, что все его работы опубликованы. Он страшный перфекционист, и к тому же очень больной человек.
Re: Тема совершенно необъятная
самое интересное начинается,
Date: 2002-06-11 01:29 am (UTC)меня не покидало ощущение предстоящего ментального прорыва, когда приходилось усердно "вертеть" 4-мерные множества.
теперь вот, без практики, ничего не помню
Книжки po matematike (повышенная визуальность)
1. Жак Адамар (Hadamard), "Issledowanie psihologii processa izobreteniя w oblasti matematiki", русский перевод - М., "Сов. Радио", 1970
Интересно, что благодаря этой книге я впервые познакомился с арабским нацизмом, но сейчас не об этом...
2. Игорь Шафаревич, "Основные понятия алгебры" (от идеи координатизации к группам Ли, гомологической алгебре и К-Теории), М., ВИНИТИ, 1986, тираж 1500 экз. - сильнейшее и визуальнейшее введение в общую алгебру. Есть даже картинки.
3. Эмиль Артин, "Теорiя Галуа", Кыив, 1962, тираж 700 экз. - наиболее образное введение в теорию Галуа из известных мне, хоть и без единой картинки. Перевод з нiмецькоi на украiнську мову. Russkogo perewoda, насколько мне известно, неt.
4. И, наконец, затерянные в архивах - возможно, уже пропавшие навсегда - объёмистые автобиографии академиков Павла Сергеевича Александрова в "Успехах математических наук" (тополога) и Льва Понтрягина (того, который слепой с детства - вот где чудеса визуализации!)
bb"h,
V.Voblin,
judaika-subscribe@yahoogroups.com
типа в порядке занудства
Date: 2002-06-11 08:50 am (UTC)Имеются в виду ИЗОморфизмы, наверное?
Re: типа в порядке занудства
Date: 2002-06-11 08:57 am (UTC)no subject
Date: 2002-06-11 09:47 am (UTC)Re:
Date: 2002-06-11 09:55 am (UTC)no subject
Это все к тому, что свои попытки представлять алгебраические объекты зрительными образами, рисовать какие-то облака на бумаге, я помню. Но в плодотворности этого занятия почему сомневаюсь. Мне кажется, что на самом деле мышление основано на квази-логических аргументах каких-то, метафизических принципах, аналогиях, эвристических приемах. Конечно, представлять себе векторное пространство как облако -- это тоже "аналогия", но мне кажется, что она недостаточно содержательна, чтобы быть полезной.
Re: типа в порядке занудства
Date: 2002-06-11 10:07 am (UTC)no subject
Date: 2002-06-11 10:59 am (UTC)Собственно, такой эффект должен сопровождать любое напряженное размышление на грани понимания, в математике он только кажется необычным. Возможно, есть какие-нибудь дополнительные усиливающие моменты типа характеристик именно математического мышления или восприятия.
Re: типа в порядке занудства
Date: 2002-06-11 11:22 am (UTC)Re: Тема совершенно необъятная
Date: 2002-06-11 11:25 am (UTC)Вот, кстати, классические группы. Некомпактые представляются мне в виде осьминогов с длинными тонкими щупальцами, а компактные - округлыми и упругими. Опять же, весьма банально. Нет фантазии, да.
no subject
Date: 2002-06-11 11:34 am (UTC)Хотя... Однажды мне нужно было особым образом спроектировать на маломерное пространство многомерный параллелепипед, у которого несколько (мало) размерностей велики, а все остальные малы. Представлял я его себе, естественно, в виде гроба (а как еще?). Но пока я не отделался от этой гробовой картинки, у меня ничего не получалось...
Re: типа в порядке занудства
Date: 2002-06-11 11:39 am (UTC)no subject
Date: 2002-06-11 11:44 am (UTC)Теперь же мне думается, что рисование формул на бумаге, даже самых примитивных, действительно помогает -- потому что снижает нагрузку на память. Но полезность иррелевантных зрительных образов -- в голове ли их держать, на бумаге ли рисовать -- мне сомнительна.
Re: типа в порядке занудства
Date: 2002-06-11 11:54 am (UTC)Re: типа в порядке занудства
Date: 2002-06-11 12:07 pm (UTC)no subject
Date: 2002-06-11 12:15 pm (UTC)Вы о том, что Вам удобно рисовать определенный объект - как психолог я совсем любитель, но, насколько понимаю, двигательная активность облегчает концентрацию внимания. Легкий посторонний раздражитель, типа ненавязчивой музыки, облегчает умственную работу. Сосредоточиться в идеальной сурдокамере, наверное, очень трудно. Рисование, или, как его обездвиженная форма, представление геометрических объектов, именно что слабы побочный раздражитель, помогающий первоначальной концентрации.
Я же говорил о побочных эффектах напряженного мышления - неотрефлексированных образах, цветовых полях и т.п. Они вполне могут повторяться устойчиво, особенно если человек убеждает себя сам, устанавливая устойчивую ассоциативную связь, и имеют совершенно другую природу. Все-таки напряженное абстрактное размышление не есть естественное состояние мозга ;-).
В любом случае - это только предположение.
no subject
Date: 2002-06-11 12:16 pm (UTC)В любом случае в моих воспоминаниях и ощущениях прошлого ни одна "внезапно пришедшая в голову" правильная идея с использованием зрительных образов не связывается. А связываются с думанием по аналогии, с (воспетым Лакатошем) сталкиванием аргументов с контрпримерами, и т.д. А у Вас?
no subject
Date: 2002-06-11 12:21 pm (UTC)no subject
Date: 2002-06-11 12:31 pm (UTC)Что же касается зрительных ассоциаций, все же без них не обойтись. Может быть, не столько в собственных исследованиях, сколько при попуытках понять чужие работы. Не знаю, как вам, но я не умею обращаться с абелевыми многообразиями, не представляя их в виде бубликов.
no subject
Date: 2002-06-11 01:06 pm (UTC)Аналогия между элементами свободной группы и цепочками разноцветных символов (см. выше) довольно содержательна. Аналогия между абелевым многообразием и бубликом-тором отчасти содержательна. Аналогия между абелевой группой и овалом в пространстве очень мало содержательна.
А при чтении чужих работ мне обычно больше всего помогало наличие в голове некоторого набора утверждений и аргументов, про которые я заранее знаю, почему они неверны...
no subject
Date: 2002-06-11 03:38 pm (UTC)no subject
Date: 2002-06-12 12:50 am (UTC)Если на пальцах - есть 3 основные системы получения информации из внешнего мира (и ее внутренней организации тоже) - визуальная (что я вижу), аудиальная (слышу), кинестетическая (чувствую - это включает и внешние ощущения - плотность, твердость, т.д. ; и внутрение). Аудиалов среди русскоязычных очень мало (не знаю почему).
НЛП-моделирование гениальных математиков должно было обязательно проверить каким образом они представляют и организовывают информацию, но я не уверен, что таковое проводилось ...
sawa
Date: 2002-06-20 12:48 am (UTC)no subject
Date: 2002-06-20 05:04 am (UTC)Мои самые яркие картинки : когда добавляется 4-е имерение, то из совешенно черной системы координат отходит "в никуда" голубая дополнительная ось. Когда на лекциях были n-мерные пространства, то я себе представляла черное n-1 мерное пространство вот с такой голубой осью, получается, n-нной.
Бутылка Клейна -- вообще песня, своеобразный волшебный отросток.
Теорию групп нам давали в первом семестре первого курса, я пришла на мехмат "подготовленной" - после мат. школы, и вдруг - обломалась, не смогла почуствовать эту самую теорию групп, хотя сейчас даже странно. Накануне сессии приснился сон : я играю на фортепиано, а группа - это октава, оператор сложения очевидный, интервал. С тех пор у меня группы - это фортепианная клавиатура :-)
no subject
Date: 2002-06-22 06:16 pm (UTC)Но в виде некоторых образов представлял, только я не могу их классифицировать, как принадлежащие к какому-либо органу чувств. То есть образы абсолютно абстрактны. Более того, пока я в этом виде
какое-либо математическое понятие, концепцию не представлю, я его не могу запомнить и/или понять. При этом словами я так же не могу это описать.
Видение 4.-мерного пространства.
Date: 2002-08-18 01:18 pm (UTC)Если я долго представляю себе 4.-мерное пространство (в виде ящичков или сечений) или ОСОБЕННО пространство-время, иногда возникает "заскок". Я как-бы на секунду представляю себе всю 4.-мерную форму в комплексе. (Картинка не поддается описанию - только сумбур какой-то выходит.) И через мгновение, это состояние изчезает очень резко, как будто я коснулся горячей сковородки и тут же отдернул руку. Очень странное ощущение. Возникает ТОЛЬКО ночью после 2-4 часового чтения книг по подходящей тематике. После этого состояния я не сразу могу говорить. Около 2 секунд после такого видения я нахожусь в состоянии аута. То есть не могу мыслить словами - только образами. У кого-нибудь такое бывает?
Re: самое интересное начинается,
Date: 2002-08-18 01:26 pm (UTC)no subject
Date: 2002-08-18 01:40 pm (UTC)Мой школьный психолог говорила, что невозможно содержательно думать без помощи слов. Я опроверг это уже несколько сотен раз. Всякая оригинальная идея приходит мне в голову во время тишины во внутренней речи.
Это очень странно. На каком же тогда уровне происходит понимание???
Re: sawa
Date: 2002-08-18 01:47 pm (UTC)Мое мышление убыстрилось минимум вдвое.
Но дальше эксперемент не пошел. Во-первых цветов мало, во-вторых очень непривычно и, соответственно, устаешь быстро.
Re: Видение 4.-мерного пространства.
Date: 2002-08-18 02:16 pm (UTC)