о математическом (и вообще абстрактном) воображении

[avva]

Когда математик говорит: пусть G - абелева группа..., какую картинку он видит в своём воображении?

Вообще, когда математики (и не-математики) рассуждают об абстрактных структурах, какого рода внутренними картинками они пользуются для того, чтобы помочь себе?

Мне всегда этот вопрос казался очень интересным и, пожалуй, важным для понимания процесса абстрактного мышления. Да и о практическом аспекте можно подумать. Может быть - ведь может быть? - какие-то способы внутренней визуализации объективно удобнее, лучше, полезнее, чем другие. Возможно, эти способы можно описать и им можно научиться. А есть ли математики, которые вообще не используют ничего подобного, не "видят" перед собой никаких картинок? И если есть, можем ли мы из этого сделать какие-то выводы о процессе их математического мышления?

Но я так и не встретил ни разу подробного описания или изучения этого вопроса. Может быть, кто-нибудь знает, изучали ли это профессионально и систематически (скажем, психологи или кто ещё)? Всё, что мне встречалось - это редкие частные описания. Например, Ричард Фейнман интересно описывает в своей как-бы автобиографии, как он использовал внутренние "картинки" (разного рода геометрические фигуры, к-е меняли цвет, обрастали щупальцами и т.п.), когда был студентом-физиком и обсуждал теорию множеств со студентами-математиками.
Какой-то другой математик (забыл, кто) описывал, как он видит дифференциальные уравнения в цвете (каждая переменная имеет свой цвет).

Сам я не очень много могу добавить о себе лично. У меня нет цветного абстрактного видения, хотя сгущение тёмного тона играет важную роль (т.е. та часть картинки, к-я более важна или на которой сфокусировано внимание, темнее других). Числовую ось я вижу горизонтальной, когда речь идёт о геометрии или анализе; но если речь идёт о теории множеств, ординалах и т.п., она скорее направлена косо, и уходит вправо вверх, в отдельных случаях даже вертикально (так удобней бывает представить "ось" всех ординалов и кардиналов, включая бесконечные; почему? - не знаю). Поле (или кольцо вообще) для меня - бесформенное облако, внутри которого выделяется тёмная ось натуральных чисел, прыгающих одно за другим -- или непрерывная, а не дискретная, копия рациональных чисел. Стоит перейти к векторному пространству, как само поле сплющивается и становится двумерным, а пространство, на нём основанное - трёхмерным облаком, с нитями между ними; поле почему-то левее и ниже самого пространства. Модель (в мат. логике) - всегда что-то плоское и обширное, с точками, означающими элементы, в которые прыгают стрелки из большого неограниченного уходящего в бесконечость куска пространства, содержащего термы данного языка. Между точками-элементами прыгают стрелки, означающие реляции и функции. Элементы-константы всегда темнее и отчётливей других.

Это просто несколько примеров того, что первым в голову пришло -- наверное, недостаточно детализованных (чем точнее пытаешься вспомнить, тем больше картинка расплывается или теряешь в ней уверенность).

Если кто-то (математик или не-математик) захочет добавить свои впечатления и ощущения абстрактных структур, или любые соображения по этому поводу, добро пожаловать. Вся эта тема кажется мне исключительно интересной и малоизученной.

Comments

[posic.livejournal.com]

Мне хочется прокомментировать это дело в несколько пессимистическом ключе. Много лет назад я как-то вдруг понял, что решение задач по математике -- намного менее познавательное занятие, чем на первый взгляд кажется. За других математиков не скажу, но у меня это обычно происходит так. Большая часть времени и усилий, направленных на поиски решения, уходят на абсолютно бесплодные попытки, на блуждание в типиках. Большая часть этого блуждания заключается стоянии на месте в позе барана, глядящего на новые ворота, из поговорки. Когда же приходит правильная идея, она, конечно, обнаруживает свою правильность в кратчайшие сроки. Тогда я перехожу к следующей задаче. Это все как бы само собой разумеется, но есть одна проблема. Впоследствии оказывается, что тупики запомнились гораздо лучше, чем правильное решение. В едь в тупиках было проведено столько времени и потрачено столько сил, а правильное решение вдруг придумалось и немедленно закрыло вопрос.

Это все к тому, что свои попытки представлять алгебраические объекты зрительными образами, рисовать какие-то облака на бумаге, я помню. Но в плодотворности этого занятия почему сомневаюсь. Мне кажется, что на самом деле мышление основано на квази-логических аргументах каких-то, метафизических принципах, аналогиях, эвристических приемах. Конечно, представлять себе векторное пространство как облако -- это тоже "аналогия", но мне кажется, что она недостаточно содержательна, чтобы быть полезной.

[toshick.livejournal.com]

Вы знаете, у меня такое сильное подозрение, что все эти зрительные образы - натуральные глюки. Мозг это все-таки нейросетка, когда она работает на пределе возможностей, вполне могут быть побочные сигналы через зрительные зоны.
Собственно, такой эффект должен сопровождать любое напряженное размышление на грани понимания, в математике он только кажется необычным. Возможно, есть какие-нибудь дополнительные усиливающие моменты типа характеристик именно математического мышления или восприятия.

[posic.livejournal.com]

Ну, я не знаю, как там внутри устроен мозг. Но в данном случае речь идет о вполне целенаправленной деятельности. Если уж предаваться воспоминаниям, то я частенько рисовал на бумаге какие-нибудь абелевы группы в виде овалов, а гомоморфизм изображался конусом (ядро переходит в ноль), вложенным в усеченный конус (группа отображается в подруппу-образ отображения). Все это делалось абсолютно сознательно, отрефлексированно -- я надеялся, что это мне поможет. Как бумага помогает при вычислениях, например.

Теперь же мне думается, что рисование формул на бумаге, даже самых примитивных, действительно помогает -- потому что снижает нагрузку на память. Но полезность иррелевантных зрительных образов -- в голове ли их держать, на бумаге ли рисовать -- мне сомнительна.

[toshick.livejournal.com]

Мы немножко о разных вещах.

Вы о том, что Вам удобно рисовать определенный объект - как психолог я совсем любитель, но, насколько понимаю, двигательная активность облегчает концентрацию внимания. Легкий посторонний раздражитель, типа ненавязчивой музыки, облегчает умственную работу. Сосредоточиться в идеальной сурдокамере, наверное, очень трудно. Рисование, или, как его обездвиженная форма, представление геометрических объектов, именно что слабы побочный раздражитель, помогающий первоначальной концентрации.

Я же говорил о побочных эффектах напряженного мышления - неотрефлексированных образах, цветовых полях и т.п. Они вполне могут повторяться устойчиво, особенно если человек убеждает себя сам, устанавливая устойчивую ассоциативную связь, и имеют совершенно другую природу. Все-таки напряженное абстрактное размышление не есть естественное состояние мозга ;-).

В любом случае - это только предположение.

[toshick.livejournal.com]

PS тем более, если речь идет о рисовании формул - это непосредственно связанная с размышлением двигательная активность

[french-man.livejournal.com]

Я не совсем с Вами согласен. Все же наглядные соображения помогают если не решить задачу, то правильно понять ее смысл. Я думаю, что когда правильное решение приходит, оно может быть формально не связано с возникавшими до того картинками, но эти картинки могли помощь Вашему подсознанию придти к правильному пониманию и решению.

Хотя... Однажды мне нужно было особым образом спроектировать на маломерное пространство многомерный параллелепипед, у которого несколько (мало) размерностей велики, а все остальные малы. Представлял я его себе, естественно, в виде гроба (а как еще?). Но пока я не отделался от этой гробовой картинки, у меня ничего не получалось...

[posic.livejournal.com]

А как мне узнать, помогли картинки подсознанию или не помогли? И что оно вообще такое, это подсознание? И не логичнее ли тогда уж прямо начинать с курения травы или там молитв? А если все-таки ограничиться сознанием, то как смутные зрительные образы могут помочь понять смысл задач про группы-кольца-поля?

В любом случае в моих воспоминаниях и ощущениях прошлого ни одна "внезапно пришедшая в голову" правильная идея с использованием зрительных образов не связывается. А связываются с думанием по аналогии, с (воспетым Лакатошем) сталкиванием аргументов с контрпримерами, и т.д. А у Вас?

[french-man.livejournal.com]

Мой стандартный методический прием - сведение к простейшему нетривиальному случаю. Так, чтобы еще чуть упростить - и задача становится тривиальной. Во многих случаях это помогает. Разумеется, я упрощаю картину: обычно хорошая задача требует нескольких идей, т.е. надо сводить к нескольким случаям, нетривиальным с разных точек зрения. Кроме того, можно "слишком" упростить, и т.п.

Что же касается зрительных ассоциаций, все же без них не обойтись. Может быть, не столько в собственных исследованиях, сколько при попуытках понять чужие работы. Не знаю, как вам, но я не умею обращаться с абелевыми многообразиями, не представляя их в виде бубликов.

[posic.livejournal.com]

Банальная гипотеза: степень полезности зрительных образов определяется степенью содержательности аналогии, которая за ними стоит. Думая о бублике, полезно представлять себе бублик. Это действительно должно помогать иногда: все-таки образное мышление и все такое (а почему бы иначе существовала наука геометрия? впрочем, не знаю).

Аналогия между элементами свободной группы и цепочками разноцветных символов (см. выше) довольно содержательна. Аналогия между абелевым многообразием и бубликом-тором отчасти содержательна. Аналогия между абелевой группой и овалом в пространстве очень мало содержательна.

А при чтении чужих работ мне обычно больше всего помогало наличие в голове некоторого набора утверждений и аргументов, про которые я заранее знаю, почему они неверны...

[french-man.livejournal.com]

Вы правы, хотя мое образование не предоставляет мне такие рассуждения/аргументы в достаточном к-ве. Приходиться довольствоваться бубликами;)

[(Anonymous)]

Для меня зрительные образы побочный эффект. Они возникают сами. Я их не контролирую. Тем не менее иногда они помогают. Но самое поразительное - момент рождения оригинальной идеи: Куча образов смешиваются, внутреняя речь теряет связность. Потом наступает полная тишина и темнота внутри и происходит осознание. Через несколько секунд мысль обретает словесное представнение во внутренней речи.

Мой школьный психолог говорила, что невозможно содержательно думать без помощи слов. Я опроверг это уже несколько сотен раз. Всякая оригинальная идея приходит мне в голову во время тишины во внутренней речи.
Это очень странно. На каком же тогда уровне происходит понимание???