про алису, боба, орла и решку

[avva]

Алиса и Боб бросают честную монету 100 раз, получая последовательность О и Р (орлов и решек). Не отдельно бросают, а вместе, последовательность одна на двоих.

Каждый раз, когда во время бросков выпадают подряд два орла ОО, Алиса получает очко. Когда выпадает ОР, Боб получает очко. Специально отмечу, что если например выпадает ООО, то это два очка Алисе, то есть ее выигрышные броски могут пересекаться. После того, как 100 бросков сделаны, побеждает тот, у кого накопилось больше очков.

Следующие четыре вопроса об этой игре заключают в себя сразу несколько разных ловушек для интуиции, и подчеркивают разные сложности элементарной теории вероятностей.

1. Что более вероятно: что первое заработанное очко в игре достанется Алисе - или Бобу?

2. Для кого из игроков в среднем дольше путь до первого заработанного очка? То есть, в среднем Алиса получит свое первое очко после А бросков, Боб после Б бросков, какие отношения между А и Б?

3. Кто в среднем наберет больше очков? То есть, в среднем за все 100 бросков Алиса наберет X очков, Боб наберет Y очков. Какие отношения между X и Y? Бонус-вопрос: можете ли вы найти точные значения X и Y?

4. Что более вероятно: что Алиса победит Боба, или что Боб победит Алису?

Про задачу номер 2 я в прошлом писал. Задачу номер 3 на днях обсуждали в твиттере, и потом это перетекло в обсуждение задачи номер 4.

Задачи расположены примерно по возрастанию сложности. На все из них, кроме может быть первой, ответ может оказаться крайне контринтуитивным (а может и нет - зависит от того, как работает ваша интуиция).

Я не буду скрывать комментарии, обсуждайте в свое удовольствие. Правильные ответы запощу завтра.

Comments

[ilyadond]

Со вторым вопросом непонятно, как учитывать при вычислении средней длины пути для каждого из игроков большое количество последовательностей, в которых они так и не получают своего первого очка до самого конца игры (у Алисы таких последовательностей немного - всего 100, а у Боба их намного больше).