4 А Те система (набор аксиом) полной быть не может. "но которая - как это можно показать с помощью средств, выходящих за рамки системы, - все же истинна". Надо ли это понимать так, что можно доказать (опровергнуть) _любое_ утверждение за счёт других неполных систем? Б Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт других систем? В Не кажется ли Вам, что для доказательства 2+2=4 кроме арифметики потребуется ознакомиться ещё с теорией чисел и проч.? Г Существует ли хоть одна теорема с приданным, которую можно изложить (с приданным) в одном Вашем сообщении?
Те система (набор аксиом) полной быть не может. "но которая - как это можно показать с помощью средств, выходящих за рамки системы, - все же истинна".
Нет. Истинна не система, а утверждение, которое в ней невозможно ни доказать, ни опровергнуть. То, что оно истинно, мы видим, выходя за рамки данной системы, т.к. внутри системы продемонстрировать его истинность с точки зрения системы (т.е. доказать его) невозможно.
Впрочем, это не очень важная часть теоремы Гёделя, т.к. любое утверждение в данном контексте либо ложно, либо истинно, и тогда ложно его отрицание. Важна не истинность, а то, что данное утверждение нельзя ни доказать, ни опровергнуть, что демонстрирует неполноту системы.
Надо ли это понимать так, что можно доказать (опровергнуть) _любое_ утверждение за счёт других неполных систем?
Это верно тривиальным образом. Всегда можно взять искомое утверждение и объявить его аксиомой в новой системе, и оно тогда там тривиальным образом доказывается (будучи аксиомой).
Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт других систем?
Бессмыслица. Что значит "за счёт других систем"?
Не кажется ли Вам, что для доказательства 2+2=4 кроме арифметики потребуется ознакомиться ещё с теорией чисел и проч.?
2+2=4 довольно легко доказать из набора базисных аксиом Пеано, к-е обычно принимают в качестве набора формальных аксиом арифметики.
Существует ли хоть одна теорема с приданным, которую можно изложить (с приданным) в одном Вашем сообщении?
Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт новых систем?
Любая система тривиальным образом является таковой.
Можете ли Вы изложить набор базисных аксиом Пеано (приданное) и доказательство 2+2=4 (теорема) в одном сообщении?
Символы: константа 0, функция S(x), обозначающая "число, следующее за x", символы + и *, обозначающие обычные операции. Аксиомы:
1. Если S(x)=S(y), то x=y. 2. Для каждого x, если x не равно 0, то существует y, так что S(y)=x. 3. x+0 = x. 4. x+S(y)=S(x+y). 5. x*0=0. 6. x*S(y)=x*y+x. 7. принцип математической индукции.
1,2,3 и т.д. в этой формальной системе являются условными символами, обозначающими на самом деле: S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), и т.п.
V4Б "Любая система тривиальным образом является таковой." Сомневаюсь. Не верю. Давайте так. Конечно ли число возможных утверждений в любой системе? Существуют ли системы с конечным числом возможных утверждений?
V4В^Г /* Спасибо, что не пользуетесь copy-paste, это заметно по последней строке Вашего доказательства. И зачем было вводить лишние операции и слова? */ Будем считать, что принцип математической индукции не затрагивает остальных областей математики (и то, что логика входит в математику). Что такое x? Что такое операция? Что такое следующее? Что такое символ? По-моему, достаточно?
Ну посмотрите сами. Вы спрашиваете нелепицу - существует ли система, утверждения которой все можно доказать в других системах. Утверждения вообще не относятся к системам, они относятся к языку. И для любого утверждения тривиальным образом существует система аксиом, в к-й оно доказуемо. Что непонятно?
Конечно ли число возможных утверждений в любой системе? Существуют ли системы с конечным числом возможных утверждений?
Нет и нет.
И зачем было вводить лишние операции и слова?
Вы попросили полный список аксиом Пеано.
Будем считать, что принцип математической индукции не затрагивает остальных областей математики (и то, что логика входит в математику).
Как это не затрагивает?? конечно затрагивает. Просто это аксиома в данном случае.
Что такое x?
Переменный символ.
Что такое операция?
Правило, ставящее в соответствие любым двум (например) аргументам некоторое значение.
Что такое следующее?
Не играет значения в формальном контексте.
Что такое символ?
Любой уникальный математический объект.
Вам надо прочесть учебник мат. логики - много тумана сразу рассеется ;)
VX /* Слово "константа" тоже входит в список аксиом Пеано? (риторический вопрос)*/ Вы подумайте над своими словами. По-моему, Вы опять проваливаетесь в бесконечность. Я же про это всё время и талдычу. Чтож Вы не привели здесь учебник логики? Не влез? А Вы думаете, одной логики будет достаточно? И почему в школах не преподают вначале логику вместо арифметики? // все вопросы риторические
В общем, жаль, что основы формальной логики не преподают (не преподавали?) в средней школе. Принесло бы пользу. (Или хотя бы в рамках "высшей математики" во всех вузах.)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
Тянем-потянем
Date: 2002-07-17 01:08 am (UTC)А
Те система (набор аксиом) полной быть не может. "но которая - как это можно показать с помощью средств, выходящих за рамки системы, - все же истинна". Надо ли это понимать так, что можно доказать (опровергнуть) _любое_ утверждение за счёт других неполных систем?
Б
Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт других систем?
В
Не кажется ли Вам, что для доказательства 2+2=4 кроме арифметики потребуется ознакомиться ещё с теорией чисел и проч.?
Г
Существует ли хоть одна теорема с приданным, которую можно изложить (с приданным) в одном Вашем сообщении?
Re: Тянем-потянем
Date: 2002-07-17 01:23 am (UTC)Нет. Истинна не система, а утверждение, которое в ней невозможно ни доказать, ни опровергнуть. То, что оно истинно, мы видим, выходя за рамки данной системы, т.к. внутри системы продемонстрировать его истинность с точки зрения системы (т.е. доказать его) невозможно.
Впрочем, это не очень важная часть теоремы Гёделя, т.к. любое утверждение в данном контексте либо ложно, либо истинно, и тогда ложно его отрицание. Важна не истинность, а то, что данное утверждение нельзя ни доказать, ни опровергнуть, что демонстрирует неполноту системы.
Надо ли это понимать так, что можно доказать (опровергнуть) _любое_ утверждение за счёт других неполных систем?
Это верно тривиальным образом. Всегда можно взять искомое утверждение и объявить его аксиомой в новой системе, и оно тогда там тривиальным образом доказывается (будучи аксиомой).
Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт других систем?
Бессмыслица. Что значит "за счёт других систем"?
Не кажется ли Вам, что для доказательства 2+2=4 кроме арифметики потребуется ознакомиться ещё с теорией чисел и проч.?
2+2=4 довольно легко доказать из набора базисных аксиом Пеано, к-е обычно принимают в качестве набора формальных аксиом арифметики.
Существует ли хоть одна теорема с приданным, которую можно изложить (с приданным) в одном Вашем сообщении?
Бессмысленное выражение "теорема с приданым".
Эй и ухнем (голосом Шаляпина)
Date: 2002-07-17 01:38 am (UTC)4Б
Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт других систем?
@Что значит "за счёт других систем"?@
"Всегда можно взять искомое утверждение и объявить его аксиомой в _новой_системе_"
Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт новых систем?
4В^Г
Можете ли Вы изложить набор базисных аксиом Пеано (приданное) и доказательство 2+2=4 (теорема) в одном сообщении?
Re: Эй и ухнем (голосом Шаляпина)
Date: 2002-07-17 01:48 am (UTC)Любая система тривиальным образом является таковой.
Можете ли Вы изложить набор базисных аксиом Пеано (приданное) и доказательство 2+2=4 (теорема) в одном сообщении?
Символы: константа 0, функция S(x), обозначающая "число, следующее за x", символы + и *, обозначающие обычные операции.
Аксиомы:
1. Если S(x)=S(y), то x=y.
2. Для каждого x, если x не равно 0, то существует y, так что S(y)=x.
3. x+0 = x.
4. x+S(y)=S(x+y).
5. x*0=0.
6. x*S(y)=x*y+x.
7. принцип математической индукции.
1,2,3 и т.д. в этой формальной системе являются условными символами, обозначающими на самом деле: S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), и т.п.
Доказательство 2+2=4:
2+2 = S(S(0)) + S(S(0)) (по определению)
S(S(0))+S(S(0)) = S( S(S(0)) + S(0) ) (применение аксиомы 4)
S( S(S(0)) + S(0) ) = S( S( S(S(0)) + 0) )
(применение аксиомы 4 к выражению в скобках)
S( S( S(S(0)) + 0) ) = S( S( S(S(0)) ) )
(применение аксиомы 3 к выражению в скобках)
S(S(S(0)))) = 4 (по определению).
Эх, дубинушка (ЯR)
Date: 2002-07-17 02:16 am (UTC)"Любая система тривиальным образом является таковой."
Сомневаюсь. Не верю. Давайте так.
Конечно ли число возможных утверждений в любой системе?
Существуют ли системы с конечным числом возможных утверждений?
V4В^Г
/*
Спасибо, что не пользуетесь copy-paste, это заметно по последней строке Вашего доказательства. И зачем было вводить лишние операции и слова?
*/
Будем считать, что принцип математической индукции не затрагивает остальных областей математики (и то, что логика входит в математику).
Что такое x?
Что такое операция?
Что такое следующее?
Что такое символ?
По-моему, достаточно?
Re: Эх, дубинушка (ЯR)
Date: 2002-07-17 02:25 am (UTC)Ну посмотрите сами. Вы спрашиваете нелепицу - существует ли система, утверждения которой все можно доказать в других системах. Утверждения вообще не относятся к системам, они относятся к языку. И для любого утверждения тривиальным образом существует система аксиом, в к-й оно доказуемо. Что непонятно?
Конечно ли число возможных утверждений в любой системе?
Существуют ли системы с конечным числом возможных утверждений?
Нет и нет.
И зачем было вводить лишние операции и слова?
Вы попросили полный список аксиом Пеано.
Будем считать, что принцип математической индукции не затрагивает остальных областей математики (и то, что логика входит в математику).
Как это не затрагивает?? конечно затрагивает. Просто это аксиома в данном случае.
Что такое x?
Переменный символ.
Что такое операция?
Правило, ставящее в соответствие любым двум (например) аргументам некоторое значение.
Что такое следующее?
Не играет значения в формальном контексте.
Что такое символ?
Любой уникальный математический объект.
Вам надо прочесть учебник мат. логики - много тумана сразу рассеется ;)
Будем ждать Мышку...
Date: 2002-07-17 02:39 am (UTC)/* Слово "константа" тоже входит в список аксиом Пеано? (риторический вопрос)*/
Вы подумайте над своими словами. По-моему, Вы опять проваливаетесь в бесконечность. Я же про это всё время и талдычу. Чтож Вы не привели здесь учебник логики? Не влез? А Вы думаете, одной логики будет достаточно? И почему в школах не преподают вначале логику вместо арифметики? // все вопросы риторические
Re: Будем ждать Мышку...
Date: 2002-07-17 02:45 am (UTC)Нет, оно входит в методологический аппарат формальной логики.
По-моему, Вы опять проваливаетесь в бесконечность.
Нет, просто Вы не умеете различать математику и метаматематику.
За всеми дальнейшими разъяснениями предлагаю обратиться к учебнику мат.логики.
Re: Будем ждать Мышку...
Date: 2002-07-18 12:29 am (UTC)Re: Будем ждать Мышку...
Date: 2002-07-20 06:06 pm (UTC)Re: Эй и ухнем (голосом Шаляпина)
Date: 2005-08-02 09:19 am (UTC)