вести с алгоритмического фронта (primality testing in P)

[avva]

Кажется, горячие индийские парни придумали полиномиальный алгоритм проверки числа на простоту. (ссылка на дискуссию в Слешдоте).


До сих пор был известен только полиномиально-вероятностный алгоритм проверки числа на простоту -- если он говорил, что число простое, то ошибался с некоторой вероятностью. Но его можно было повторять неограниченное кол-во раз, снижая эту вероятность ошибки до сколь угодно малого значения. Таким образом, с практической точки зрения уже существовал полиноминальный алгоритм проверки, и им сплошь и рядом пользуются. Но с теоретической точки зрения, это довольно интересное достижение. Многие думали, что это просто неверно, что существует такой алгоритм.

Забавно то, что, кажется, этот новый алгоритм использует очень простую арифметику, ничего продвинутого. french_man, если тебе это интересно, посмотри и расскажи свои впечатления. У меня сейчас совсем нет возможности заниматься внимательным вчитыванием и проверкой, увы.

Примечание: "полиномиальный" алгоритм здесь означает "полиномиальный от размера данных". Т.е. полиномиальная проверка того, является ли простым число N, должна занимать время, ограниченное полиномиалом от log(N) -- размера двоичного представления N. Предлагаемый в этой статье алгоритм работает за время O(log(N)¹²).

Не стоит путать этот алгоритм с алгоритмом разложения числа на множители - такого полиномиального алгоритма пока ещё никто не придумал, и скорее всего его не существует, хотя и этого не могут доказать. Открытие такого алгоритма было бы катастрофическим для немалой части современной криптографии.

Comments

[stas]

Насколько я понимаю, практическая ценность этого алгоритма вызывает сомнения - из-за полиномиального коэеффициента - 12 степень. Это значит, что если я могу проверять 16-битовые числа за 1 микросекунду, то для одного 256-битового числа мне понадобится 3 дня работы. Что несколько непрактично, учитывая, что тот же тест Рабина-Миллера, насколько я знаю, делает на много порядков быстрее.

[ex-ilyavinar899.livejournal.com]

Там говорится, что для большинства простых чисел этот тест занимает Ō(n⁶).

Я послал ссылку Амиту Сахаю в Принстон, но думаю, что он об этом уже слышал.

[avva.livejournal.com]

Ну, как я и написал, практическая ценность невелика. То, что O(log(n)^12), как раз не так важно, поскольку это worst case.

В любом случае не удивлюсь, если все будут продолжать использовать тест Рабина-Миллера, как и раньше. Нечто похожее случилось с линейным программированием и симплексным алгоритмом (к-м все пользуются, хотя он не полиномиальный в worst-case и хотя уже довольно давно нашли полиномиальный алгоритм с большой степенью).

[(Anonymous)]

>давно нашли полиномиальный алгоритм с большой степенью

какой именно?

[avva.livejournal.com]

Пятой, плюс всякие неприятные коэффициэнты, если я правильно помню. Короче говоря, он был непрактичным. Потом в 80-х нашли алгоритм получше... тут я уже подробностей не знаю, но по-моему до сих пор пользуются в основном симплексным.

[(Anonymous)]

в общих случаях изпользуют interior point method

http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/OptWeb/continuous/constrained/linearprog/section2_1_2.html

[ex-ilyavinar899.livejournal.com]

Насколько я знаю, interior-point алгоритмы типа Кармакара тоже повсеместно используются. Кроме того, доказано, что рандомизированный симплекс полиномиален.

mkay422 больше знает о применении различных алгоритмов математического программирования на Уолл Стрит.

Re:

[avva.livejournal.com]

Рандомизированный симплекс, наверное, полиномиален радндомизированно всё-таки, а не детерминированно?

Re:

[ex-ilyavinar899.livejournal.com]

Конечно.

Re:

[avva.livejournal.com]

Ну так это not one and that same, как говорится.

Ой, простите!

[lr33.livejournal.com]

А можно я эту фразу в memories занесу?
:-)

Re: Ой, простите!

[avva.livejournal.com]

Запросто ;)