красота (математика)
Nov. 20th, 2002 04:55 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaБуквально в последние дни, очень понравились:
1. Красивый объект: группа Григорчука. Это определённая подгруппа группы автоморфизмов бесконечного двоичного дерева. Мне про неё рассказали сегодня. Очень красивая штука. Довольно элементарно и элегантно доказывается, что это 2-группа (каждый элемент имеет порядок степень двойки), при этом сама она бесконечна; т.е. является простым и красивым контрпримером к одной из гипотез Бернсайда: той, что гласит, что каждая конечно порождённая группа, в которой все элементы имеют конечный порядок, сама конечна.
2. Красивое доказательство: доказательство Шелаха того факта, что функция роста чисел ван дер Вардена - примитивная рекурсивная. Ссылка на статью Шелаха есть на той же странице. Очень простое полностью комбинаторное док-во, которое заодно доказывает новым способом само существование чисел ван дер Вардена, не используя обычную для этого двойную индукцию.
3. Красивый подход: статья Патнэма с альтернативным док-вом теоремы о неполноте Гёделя, придуманном Крипке. Доказательство полностью алгебраическое, использует нестандартные модели арифметики Пеано, причём довольно элементарным образом. Саму нестандартную модель можно при желании построить с помощью ультрафильтров, избежав таким образом использования теоремы о компактности и сделав всё доказательство ещё более алгебраическим по духу. В свежем Notre Dame Journal of Formal Logic. Вообще-то я ещё не уверен окончательно в том, что понял все подробности; надо перечитать. Но очень красиво.
1. Красивый объект: группа Григорчука. Это определённая подгруппа группы автоморфизмов бесконечного двоичного дерева. Мне про неё рассказали сегодня. Очень красивая штука. Довольно элементарно и элегантно доказывается, что это 2-группа (каждый элемент имеет порядок степень двойки), при этом сама она бесконечна; т.е. является простым и красивым контрпримером к одной из гипотез Бернсайда: той, что гласит, что каждая конечно порождённая группа, в которой все элементы имеют конечный порядок, сама конечна.
2. Красивое доказательство: доказательство Шелаха того факта, что функция роста чисел ван дер Вардена - примитивная рекурсивная. Ссылка на статью Шелаха есть на той же странице. Очень простое полностью комбинаторное док-во, которое заодно доказывает новым способом само существование чисел ван дер Вардена, не используя обычную для этого двойную индукцию.
3. Красивый подход: статья Патнэма с альтернативным док-вом теоремы о неполноте Гёделя, придуманном Крипке. Доказательство полностью алгебраическое, использует нестандартные модели арифметики Пеано, причём довольно элементарным образом. Саму нестандартную модель можно при желании построить с помощью ультрафильтров, избежав таким образом использования теоремы о компактности и сделав всё доказательство ещё более алгебраическим по духу. В свежем Notre Dame Journal of Formal Logic. Вообще-то я ещё не уверен окончательно в том, что понял все подробности; надо перечитать. Но очень красиво.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2002-11-19 07:19 pm (UTC)Я не специалист, но, кажется, более интересна "ограниченная" проблема Бернсайда, когда все порядки по совокупности ограничены. В этом случае группа тоже может быть бесконечной. Кажется, Рипс построил группу с двумя образующими, у которой все порядки равны заданному простому числу.
Re:
Date: 2002-11-20 05:28 am (UTC)no subject
Date: 2002-11-20 06:08 am (UTC)