красота (математика)

[avva]

Буквально в последние дни, очень понравились:
1. Красивый объект: группа Григорчука. Это определённая подгруппа группы автоморфизмов бесконечного двоичного дерева. Мне про неё рассказали сегодня. Очень красивая штука. Довольно элементарно и элегантно доказывается, что это 2-группа (каждый элемент имеет порядок степень двойки), при этом сама она бесконечна; т.е. является простым и красивым контрпримером к одной из гипотез Бернсайда: той, что гласит, что каждая конечно порождённая группа, в которой все элементы имеют конечный порядок, сама конечна.
2. Красивое доказательство: доказательство Шелаха того факта, что функция роста чисел ван дер Вардена - примитивная рекурсивная. Ссылка на статью Шелаха есть на той же странице. Очень простое полностью комбинаторное док-во, которое заодно доказывает новым способом само существование чисел ван дер Вардена, не используя обычную для этого двойную индукцию.
3. Красивый подход: статья Патнэма с альтернативным док-вом теоремы о неполноте Гёделя, придуманном Крипке. Доказательство полностью алгебраическое, использует нестандартные модели арифметики Пеано, причём довольно элементарным образом. Саму нестандартную модель можно при желании построить с помощью ультрафильтров, избежав таким образом использования теоремы о компактности и сделав всё доказательство ещё более алгебраическим по духу. В свежем Notre Dame Journal of Formal Logic. Вообще-то я ещё не уверен окончательно в том, что понял все подробности; надо перечитать. Но очень красиво.

Comments

[french-man.livejournal.com]

Что-то ты путаешь. Если у всех элементов порядок два, то группа абелева.

[french-man.livejournal.com]

А, пардон, степень двойки. Недоглядел, как всегда.

[avva.livejournal.com]

У каждого элемента порядок - какая-то степень двойки. Может быть, я недостаточно ясно это написал.

[dp.livejournal.com]

Группа Григорчука - здорово! После твоего поста вспомнил щастье, которое испытал лет 14 назад, когда Эдик Френкель мне разъяснил, что такое группа кос. Незабываемый кайф :)

[dolsi.livejournal.com]

наконец-то
я увидела человека , который говорит о красоте математики!
а я уже устала все объяснять , что аткое бывает

[french-man.livejournal.com]

Это я недостаточно внимательно прочитал.

Я не специалист, но, кажется, более интересна "ограниченная" проблема Бернсайда, когда все порядки по совокупности ограничены. В этом случае группа тоже может быть бесконечной. Кажется, Рипс построил группу с двумя образующими, у которой все порядки равны заданному простому числу.

[french-man.livejournal.com]

А ты слышал, что пару лет назад один сумасшедший базелец доказал, что группа кос линейна? Во шорох был. Мужик 5 лет ни хуя не делал, из психушек не вылазил, а тут...

[dp.livejournal.com]

Не, первый раз слышу. Как - линейна? Это шутка? :)

[french-man.livejournal.com]

Очень просто. Есть точное линейное представление. Для 3-кос это сравнительно легко, а для 4-кос проблема стояла с 19 века. Вот его работы:

Krammer, Daan. Braid groups are linear. Ann. of Math. (2) 155 (2002), no. 1, 131--156. MR 1 888 796

Krammer, Daan. The braid group $B\sb 4$ is linear. Invent. Math. 142 (2000), no. 3, 451--486. MR 2001k:20078

[dp.livejournal.com]

Спасибо. Я просто совсем отстал :(
За механикой еле успеваю следить, а тут уж - тем более...

[french-man.livejournal.com]

Мне это тоже совсем не по профилю. Просто мы с ним в одном институте работали. Совершеннейший псих. Тихий, правда.

[cema.livejournal.com]

Эдик в армию мне тогда написал, что опубликовал статью: «Когомологии коммутанта группы кос». Я ему из армии ответил: у нас тут тоже есть коса, но очень тупая.

[avva.livejournal.com]

Ну дык!
Говорил, говорю и буду говорить.

[dolsi.livejournal.com]

И пишите!!

Извините, снова не в тему

[(Anonymous)]

Предыстория.

При обсуждении Гурджиева (Успенского) был подвергнут критике закон семи. Один из защищавших выдвинул аргумент, что в радуге 7 цветов. Я очень удивился. Стал задавать этот вопрос другим. Большинство отвечает 7. Некоторые уточняют: в радуге или спектре? Не знаю, как задать этот вопрос правильно, так как не вижу отличий радуги от спектра в контексте вопроса.

Мой ответ.

Количество цветов большое, если не бесконечное. Ответ "семь" зависит от культуры. К сожалению, мне удалось найти только ответ "пять" у Дун Чжуншу (179-104 гг. до н. э., Китай) (у него, кстати, и основных нот 5, что странно, ведь в современном Китае, я читал, порядка 30 нот (но с нотами вообще отдельный разговор; ведь возможны строи основанные не на октаве -- отношении 2:1)).

Вопрос.

1. Каков ответ на вопрос "сколько цветов у радуги" в известных Вам культурах?
2. Если известно, какие это цвета, приведите их.
3. Если существует какая-нибудь "поговорка" об этом, приведите её.

Мой ответ.

Русская культура конца 20 века.
Ответ такой: семь цветов; красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый; одна из "поговорок": "каждый охотник желает знать где сидит фазан", первые буквы слов совпадают с первыми буквами цветов.

Комментарий.

1 Неужели на английском будут синий и голубой? Ведь существует только слово "blue", а "dark blue" -- оттенок голубого, которым обычно переводят русский "синий".
2 Про RGB & CMYK не упоминать, это отдельная тема.

Специально для avva.

Вы, наверное, можете дать как минимум два варианта: текущие английский и иврит. Почему-то мне кажется, Вы даже можете сказать, когда так стало и откуда пошло.

Re: Извините, снова не в тему

[avva.livejournal.com]

Я отвечу вскоре отдельной записью.

Re:

[avva.livejournal.com]

Как Вам удобно. Хотите - напишите письмо. Если поймаете меня в аське, которую я относительно редко включаю - тоже можно.

Re:

[avva.livejournal.com]

Любому простому числу? Это звучит странно. Насколько я помню, утверждение "конечно порождённая группа с экспонентой 5 конечна" до сих пор не доказано и не опровержено. Но доказали для 2 (тривиально),3,4,6 и ещё каких-то малых чисел, а начиная с нескольких тысяч есть контрпримеры для любой экспоненты.

[french-man.livejournal.com]

Может быть, для достаточно больших простых. Мне это Села рассказывал, но очень давно, еще в Израиле, я мог забыть.

Re: Извините, снова не в тему

[baorui.livejournal.com]

Критика Гурджиева, если таковая могла бы иметь место быть, должна разбираться с семью нотами (которых с полутонами 10), а не цветами, к которыми там не особо аппелируется.

Что касается китайской концепции "у-син" (5 первоэлементов), то в приложении к цветам мы видим её гораздо раньше (или, для новых хронологов - гораздо выше в иерархии учителей), у Лао-Цзы в известнейшей Дао Дэ Цзин:

http://www.kulichki.com/wushu/Philosophy/DaodeJing/DaodeJing12.htm

Кстати, и нот, как выше указывается, в китайской мелодике 5, отчего для нас она звучит странненько.

Re: Извините, снова не в тему

[avva.livejournal.com]

Дело в том, что нужно различать, скажем, "пять цветов" и "пять цветов радуги". Схем деления всех цветов на несколько основных существовало огромное множество и в Европе тоже (и в конце концов эта эволюция завершилась RGB и CMYK, именно что): когда их было 3, когда 4, 5, и 7 тоже. Это всё не очень связано с вопросом выделения отдельных цветов именно в радуге (ну в спектре, создаваемом призмой, когда это научились делать).

Re: Извините, снова не в тему

[baorui.livejournal.com]

Не вижу отличия. Представьте себя, исчисляющего предметы стэками по 11, а не 10 штук. Для древней культуры делить радугу на "несвященное" число цветов не то, что бессмысленно, а даже преступно - зачем тогда, спрашивается, традиция? Похоже, кроме Китая, она захватывала и Тибет.
http://www.yandex.ru/yandsearch?rpt=rad&text=%EF%FF%F2%FC-%F6%E2%E5%F2%EE%E2-%F0%E0%E4%F3%E3%E8

А вот Китай на примере не менее древнего Трактата Перемен:
http://www.regina.ru/kozhuhar/main1.html

Кстаит, китайская радуга могла быть вообще белой:
http://chinahistory.narod.ru/zhanguoce.htm

Да и должна быть такой, по скольку Дао Дэ Цзин не устанавливает рамок деления Целого, утверждая лишь что они все взаимопогашаются, как цвета радуги сливаются в белый.