задачки

[avva]

Две красивых (судя по условиям; ещё не пытался решать) математических задачки, не элементарных. Первую сообщил мне в комментах flaass, вторую написал russhatter здесь.



1. Даны два положительных иррациональных числа a и b, так, что 1/a+1/b = 1.
Доказать, что любое натуральное число равно либо [na] для какого-то натурального n, либо [nb] для какого-то натурального n, где [] - операция взятия целой части; причём и то и другое вместе выполнятся не может.

2. Дана непрерывная функция двух переменных f(x,y), так, то для любого x₀ f(x₀,y) -- полином от y, и для любого y₀ f(x,y₀) -- полином от x. Доказать, что f(x,y) -- полином от двух переменных.

Comments

[p-k.livejournal.com]

Про первую задачу:
Нарисуем на плоскости три семейства прямых:
1) x \in Z
2) y \in Z
3) x+y \in Z
И еще нарисем из начала координат луч под углом atan(a/b). С точностью до подобия, первое и второе семейство прямых дадут при пересечении точки na и nb, а третье семейство - целые числа. Резельтат следует из того факта, что прямые пересекаются только по трое.

[flaass.livejournal.com]

klassno:)

Kogda budu rasskazyvat' izvestnoe mne reshenie (bez kartinok), i eto tozhe rasskazhu.