теоремы силова

[avva]

Вот ещё одну странную чёрную дыру обнаружил у себя в голове: в том месте, где должны храниться доказательства теорем Силова (это в теории групп). А они там не хранятся, а медленно улетучиваются, пока я в очередной раз не обнаруживаю, что забыл, хотя казалось бы, всё же просто. Вот и сейчас попытался вспомнить... помню только, что нужно заставить группу действовать умножением на семью всех подмножеств размером pⁿ, а потом орбиты считать... но что-то не вытанцовывается. Пойду подсмотрю где-нибудь.

Comments

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Я помню такое доказательство. Нужна такая общая лемма: если H,K - две подгруппы, для любого a из H aHa^(-1) = H, то {ab|aεH^bεK} - подгруппа размером |H||K|/|H^K| (^ - пересечение). Отсюда следует, что если H и K как выше - подгруппы Силова, причем K - максимального размера, то H - подгруппа K.

Пусть G действует сопряжением на множество всех подгрупп Силова максимального размера. Обозначим орбиты O_1,...O_k. Пусть H - элемент орбиты O_k. Н действует сопряжением на каждую из орбит, разбивая ее на подорбиты. Размер каждой из подорбит - степень p. Ввиду вышедоказанного, {H} - единственная подорбита размером 1. Получаем |O_i|=1 (mod p), |O_j|=0 (mod p) для j!=i. Т.к. i произвольно, то чтобы избежать противоречия должно быть k=1, т.е. все подгруппы сопряжены и их число =1(mod p).

Пусть теперь H - подгруппа Силова. Пусть она действует на множество максимальных подгрупп сопряжением. Размер каждой орбиты - степень р, поэтому должна существовать орбита {K} размером 1. Согласно вышедоказанному, H - подгруппа K.

Верно ли, что каждая подгруппа размером p^a, a<b содержится в подгруппе размером p^(a+1)?

[avva.livejournal.com]

Если она нормальна, то да: поделим на неё, выберем подгруппу размером p в частном и вернёмся обратно. Если нет - не уверен. Ясно, что задача сводится к p-группам: подгруппа размером p^a содержится в какой-то подгруппе Силова (т.е. максимальной) размером p^b, и можно сузить G до этой подгруппы Силова.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Пусть G - p-группа. Число циклов длины р в ней, согласно доказанному =1 (mod p). Пусть группа действует на них сопряжением, тогда размеры орбит - степени p и поэтому должна быть хотя бы одна орбита размером 1, т.е. G имеет нормальную подгруппу размером p. Требуемый результат доказывается индукцией переходом к фактор-группе. Другое интересное следствие - ни одна группа размером p^n, n>1 не является простой.

Поправка.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Переход к фактор-группе работает, если подгруппа содержит нормальный цикл. Если нет, то просто берем произведения элементов подгруппы на элементы цикла.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Аналогично тому, как мы доказали существование в р-группе нормального цикла длиной p, доказывается, что p-группа имеет нормальную подгруппу Силова любого размера. Отсюда вытекает, что все p-группы разрешимы.

[ignat.livejournal.com]

На самом деле, все конечные p-группы даже нильпотентны.