avva | правая левая где сторона, или возвращение гуглеведения

"с обоих сторон" - 16 тысяч страниц

Такое значительное число косвенно подсказывает, что ощущение рода "размывается" здесь.

"с обеих сторон", конечно, намного больше - 216 тысяч, но эти семь процентов "обоих" всё же слишком велики, чтобы списать на случайные опечатки и неграмотность.

У меня есть неточное, но полезное правило для проверки словоупотреблений (в разных языках) в Гугле; оно основано на пограничной цифре в 10%. Если из двух вариантов написания слова, фразы, оборота один из них используется намного реже, чем второй, но всё же более, чем в 10% от общего числа случаев - то это уже нельзя списать на случайность и на опечатки; это значит, что либо эти два варианта равноправны, либо, даже если один из них в данном языке считается нормой, а второй - ошибкой (вопрос ещё - кем считается? но это не стану сейчас обсуждать), есть какая-то серьёзная причина, фонетическая, фонологическая, грамматическая или стилистическая, объясняющая столь широкое употребление в сети "неправильного" с нормативной точки зрения варианта.

Эта граница - 10% - может на первый раз показаться слишком низкой, но она учитывает тот факт, что "правильный" с нормативной точки зрения вариант получает огромную фору за счёт неимоверного количества страниц в сети, прошедших корректкорскую правку в какой-то период их существования: сетевых копий бумажных книг, сетевых версий бумажных газет и журналов, энциклопедий, словарей, сетевых изданий, материалы которых проходят свою корректуру, итд. итп.

Обычно этот критерий не подводит меня; иногда он оказывается даже слишком консервативным. Мне кажется, "с обоих сторон" - как раз такой случай; тут "неправильный" вариант отхватил только семь процентов, но всё равно неслучаен.