о математике в школе
Mar. 20th, 2008 10:42 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaНедавно я прочитал очень, очень умное и интересное эссе о преподавании математики детям; его написал математик Пол Локхарт, который покинул академическую жизнь и преподает математику в средней школе. Надо сказать, что на фоне довольно знакомых рассуждений о том, как тут и там все плохо в школьной математике, дети растут математически неграмотные итд., его мысли очень необычны и неожиданны. Я очень, очень рекомендую всем, кто читает по-английски и кого сколько-нибудь интересует эта тема, прочитать это эссе. Я не уверен, что во всем с ним согласен - хотя нет, даже не так: уверен, что кое в чем не согласен; но его прочитать - намного интереснее, чем узнать мои мысли по этому поводу, которые придержу, пока не устоятся немного.
Lockhart's Lament (PDF). Источник - колонка Кита Девлина.
Lockhart's Lament (PDF). Источник - колонка Кита Девлина.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2008-03-20 09:22 pm (UTC)no subject
Date: 2008-03-20 09:26 pm (UTC)no subject
Date: 2008-03-20 09:30 pm (UTC)no subject
Date: 2008-03-20 09:40 pm (UTC)no subject
Date: 2008-03-22 06:11 am (UTC)А в остальном - грубовато!:) Даже если математика, это искусство (вроде музыки) - неужто гаммы учить не надо?:) Кроме того, математика - это все-таки наука.:) Одно из ее главных свойств (как самостоятельной дисциплины, так и в контексте других наук) - системность. Иначе вершиной математики было бы решение олимпиадных задач.:)
Что касается предподавания - тут тоже можно поспорить. ИМХО, если учитель хорош, то его трудно испортить плохим подходом к предмету, и наоборот.:)
В общем - жду Вашего отклика.:)
no subject
Date: 2008-03-22 07:31 pm (UTC)Математика как искусство - идея обоснованная, но не всеохватывающая.
Сошлюсь на себя. Что мне больше всего нравилось в математике - это строгость. Я писал кипятком от доказательств (начиная с пятого класса), ощущения что вот это утверждение - абсолютно верное, и комар носа не подточит. Мне тогдашнему было бы мало интересно какую часть прямоугольника занимает треугольник, но задай "докажи площадь треугольника равна 1/2" - и я был бы готов забыть выйти во двор. Преподнеси мне математику как искусство, и у нее был бы шанс остаться там же где пение и рисование - в списке школьных кошмаров.
Вполне справедливо в результате я не математик - большинство математиков которых я знаю, действительно, больше художники чем кто либо еще. Но я стал физиком-теоретиком, и для меня математика, помимо языка - опора когда физическая интуиция, качественные рассуждения, зашли в тупик или недостаточны. Тода мы говорим "Ладно, расмотрим вопрос формально" и полагаемся на строгость математики подсказать нам результат или хотя бы дальнейший шаг.
Что порождает следующее возражение авторскому тезису. Автору в общем не интересна практическая компонента школьной математике - из соображений что большинство выпускников школы не пользуются никакими математическими знаниями в будущем. Последнее верно, но тут опускается крупная прослойка тех кто в будущем будут заниматься естественными науками или скажем инженерной деятельностью. И они ценят в математике не совсем то (или не только то) что ученые-математики. Их исследования - в другой области, и это там где они включают свое воображение, играют с новыми идеями, ошибаются и заблуждаются. А в математических знаниях и навыках они ищут опору :). И в школе их гораздо больше чем тех кто станет математиком.
no subject
Date: 2008-03-22 11:04 pm (UTC)Школьные уроки музыки - хороши пример; он показывает, что происходит, если не ставится цели чему-то реально научить. Другой вопрос, что в школьном курсе математики изучается то, что туда "само приползло":), давно пора ревизию провести.
no subject
Date: 2008-03-28 12:54 am (UTC)no subject
Date: 2008-03-28 05:27 am (UTC)no subject
Date: 2008-03-20 09:38 pm (UTC)no subject
Date: 2008-03-20 10:32 pm (UTC)no subject
Date: 2008-03-20 10:48 pm (UTC)Небольшая история на тему.
Выпускной экзамен по геометрии у меня принимал учитель года (есть такой престижный в школьной средей всероссийский конкурс). Большой типа специалист и "звезда" нашей физ-мат гимназии.
Я прекрасно и с полным пониманием ответил, но вместо пятерки получил четверку, так как в какой-то момент увлекся и сказал: — Эта фигня равна этой фигне потому-то и потому-то.
Поставив четверку, он добавил небольшое наставление: "язык твой - враг твой" — или что-то в таком духе.
До сих пор думаю, что он мудак.
no subject
Date: 2008-03-21 10:30 am (UTC)no subject
Date: 2008-03-24 07:15 am (UTC)On gde prepodaval - v kolonii dlya maloletnih prestupnikov?
no subject
Date: 2008-03-24 11:45 am (UTC)К счастью, я никогда не был малолетним преступником, — нет, он преподавал в физико-математической гимназии №30 города Санкт-Петербурга.
no subject
Date: 2008-03-24 07:29 pm (UTC)no subject
Date: 2008-03-26 02:23 am (UTC)один учитель года — Владимир Леонидович Ильин.
И судя по тому, что мне про него рассказывали,
это для него было типично.
no subject
Date: 2008-03-20 11:13 pm (UTC)Потому что когда я прочитал о повороте треугольника, я сразу стал думать о повороте в трехмерном пространстве и соответственно не понимал, как это можно так повернуть треугольник внутри круга. То есть я смотрел на это доказательство несколько секунд и думал: — эээ...
И мне потребовалось некотрое время, чтобы понять, что это просто поворот по кругу.
Это было реально забавно.
То есть решение совершенно не сложное, но не помню, чтобы мне когда-нибудь приходилось на уроках геометрии так поворачивать треугольники.
no subject
Date: 2008-03-24 01:30 am (UTC)А именно, неясно в какой степени ученик сам что либо доказал. Идея была, но было ли доказательство ? Автор сам пишет, что объяснение идеи - его (ученик написал что-то более мутное), плюс в первоначальной версии отсутствовал ключевой момент - что надо показать что вторая диагональ тоже является диаметром. И похоже ученик даже не отдавал себе отчет что в том что он представил что-то отсутствует. Идея была, хорошо, но строгости мышления нет. (и то что неясно как вращать - из этого же).
Кстати строгое доказательство еще проще - из вершины (той где будет прямой угол) проведем диаметр. Из точки пересечения этого диаметра с окружностью достроим второй треугольник как в примере. Получили четырехугольник с двумя равными диагоналями. Все.
Мне это пренебрежение строгостью мышление несколько пугает. Из моего опыта
университетского преподавания физики. Даешь "исследовательскую" задачу - пользуясь доступными экспериментами, скажем, сформулируйте аргумент что, например, что то-то и то-то.
Значительная категория студентов начинает стрелять по площадям. В ответе - все что мы проходили и отдаленно по теме. Ставишь низкую оценку - жалуются -как у меня на странице 3 правильная идея, и на странице 5. То что эти идеи не выстроены в логическую цепочку, или что на каждую правильную две неправильные (которые испольозовались бы окажись ответ другой) - не понимают в чем проблема. Но интересно что когда такое проверяешь большой соблазн вчитать то чего нет - вроде тут мысль верна, и тут, может ничего ? - а встретишь поговоришь - полный разброд. Никакого помимания что необходимо, что достаточно :)
no subject
Date: 2008-03-24 02:03 am (UTC)На олимпиадах это тренируется, кстати. Вообще, математические олимпиады в своих лучших проявлениях чем-то близки к идеям автора.
PS. Хм, а в вашем доказательстве вроде надо еще доказать, что четырехугольник является параллелограммом.
no subject
Date: 2008-03-24 03:51 am (UTC)Точнее надо бы доказать что четырехугольник с двумя равными диагоналями, пересекающимеся посередине - прямоугольник. Что я принял как очевидное, (или тривиально доказанное ранее) в том же стиле что и
But it can’t be a slanted box
because both of its diagonals are diameters of the circle, so
they’re equal, which means it must be an actual rectangle.
Но вы справедливо указываете на важную черту мат. мышления - осознание что уже дано а что еще нет.
Кстати, по моим воспоминаниям, геометрические школьные доказательства как раз осуществлялись дополнительными построениями типа обсуждаемых.
no subject
Date: 2008-03-21 02:31 am (UTC)no subject
Date: 2008-03-22 09:45 am (UTC)Многое зависит от квалификации учителя, разумеется, но количество талантливых учителей неизбежно ограничено. Оно вырастет, но останется ограниченным даже и в том случае, если родители начнут оплачивать и контролировать образование своих собственных детей, а не чужих, с соответствующим ростом уровня оплаты и качества контроля.
Корень проблем преподавания математики -- в попытке научить ей всех в одинаковом объеме, в концепции всеобщего обязательного образования.
no subject
Date: 2008-03-22 10:49 pm (UTC)Примѣръ простой: вотъ урокъ начинается съ того, что мы говоримъ "Для любыхъ a,b вѣрно, что... доказательство..." И уже довольно большая часть народа засыпаетъ. Имъ, я думаю, просто не интересно доказывать какія-то абстрактныя утвержденія.
no subject
Date: 2008-03-23 12:29 am (UTC)Но все-таки идея обязательного образования тут не виновата. Обязательное образование не значит, что всех надо учить одинаково и в одинаковом объеме. Например, учить считать все-таки надо всех. Но по-умному: зачем мучить детей бесконечыми упражнениями по умножению и делению в столбик, когда в реальной жизни все пользуются для этого калькуляторами?
no subject
Date: 2008-03-23 03:06 pm (UTC)Что значит учить считать, если операции "в столбик" сюда не включаются? Считать, это что, знать числительные до сотни на родном языке? Допустим; но этому учат в первом классе, в крайнем случае, во втором. Если вы согласны отменить обязательное преподавание математики после второго класса, то это, конечно, огромный шаг вперед.
Идея обязательного образования именно подразумевает, что всех будут учить одинаково, с минимальными вариациями. Если всех учат по-разному и в разном объеме, то кого-то, как предельный случай, не учат вообще ничему. Если последнее считают недопустимым, то появляется обязательный минимум. Школы начинают ориентироваться на достижение этого минимума во что бы то ни стало, а остальное побоку, тем более, что научить сколь угодно минимальному минимуму всех детей до единого является задачей, способной поглотить любые учительские ресурсы и все равно не быть достигнутой. Поэтому объем материала в обязательном минимуме будет повышаться, а требования к качеству его усвоения -- снижаться.
Существующая ситуация с качеством школьного преподавания является справедливой -- если, конечно, принять за данность, что меньшинство страдает по милости большинства и дети -- за грехи родителей. Нравственные люди не потерпели бы принудиловки, а безнравственные не заслуживают хорошего образования.
no subject
Date: 2008-03-25 02:50 pm (UTC)Такая система не противоречит идее всеобщего образования, а значит в последней нет ничего имманентно порочного. Что касается обязательного минимума. Во-первых, он должен быть очень низким, т.е. состоять из тех сведений которые реально необходимы для функционирования в современном обществе. Например, математика в объеме первых 3-х классов, чтение-письмо, пара лет обзорных курсов по естественным наукам, год civics, и все. Во-вторых, достаточно чтобы минимум был сдан до окончания школы. Это опять же примерно как в колледже: есть базовые требования и курсы, а есть все остальное.
no subject
Date: 2008-03-25 05:17 pm (UTC)no subject
Date: 2008-03-22 01:38 pm (UTC)если еще видели, обязательно посмотрите
ПРО ТОПОЛОГИЮ
http://video.google.com/videoplay?docid=-6626464599825291409
no subject
Date: 2008-03-27 09:39 am (UTC)no subject
Date: 2008-03-23 03:49 am (UTC)Жалко, что вы вывесили прям перед бойкотом, так что обсуждения почти не получилось.
no subject
Date: 2008-03-24 12:12 am (UTC)Практически любую музыку я могу воспринять непосредственно - вполне возможно, что я не разберу каких-то нюансов, не зная законов формы и жанра, не пойму, почему автор выбирает именно такие ходы, не восприму аллюзий, намеков и прочих тонкостей - но многое все-же будет доступно моему восприятию совершенно непосредственно. То же и с визуальным искусством.
А как обьяснить, например, человеку без специального образования, непосредственно, что значит гипотеза Римана или какая-нибудь Hodge conjecture и как их воспринять без специальной подготовки?
Я бы, скорее, сравнил математику со, скажем, сочинением неприличных лимериков на китайском языке - для того, чтобы их сочинять, и для того, чтобы их воспринимать, нужно как минимум знать китайский и китайскую культуру настолько, чтобы понять, где же соль шутки. Разумеется, можно начать, как советует автор, с приличных стихов на английском, и, возможно, это будет полезнее, чем долбить иероглифы, которые все равно 99% учащихся забудут, но это все равно слабо поможет понимать те, китайские лимерики.
no subject
Date: 2008-03-28 01:23 am (UTC)О гаммах в связи со статьёй. Со школы я хотела научиться играть на фоно для себя: подбирать песенки, мелодии. Но все, как попугаи: гаммы, Черни, гаммы, Черни. В 20 так говорили, и в 30, и в 40. На вопрос "а подбирать-то как?", отвечали: "Если до сих пор не подбираете по слуху, значит, не дано".
Тем не менее, мне было совершенно очевидно, что музыка - это стройная и красивая система, и поняв её простые законы, можно будет начать играть простые мелодии и без слуха, а на больше я не претендовала.
Но ни один из десятков преподавателей и музыкантов, которых я терзала, прося открыть мне законы "как подбирать", ничего сказать не мог. Гаммы, Черни, по слуху. Гаммы, Черни, по слуху. Вот это отсутствие системы, сисетемного подхода, непонимание, что делаешь - во всём, во всех предметах, о чём и пишет товарищ в статье. Тьфу.
Я уже решила, что никогда не буду играть. Но слава богу, на подходе к 50-ти, случайно обнаружила в сети гениального дядьку с учебником "Фоно -- за 10 дней". Казалось бы, невероятно, -- но я заиграла через 10 дней. Без нот, без гамм, без тональностей -- всё это идёт позднее, но просто по клавишам 1, 2, 3, 5, 7 и т.д. Ровно через 10 дней я смогла подбирать двумя руками почти все мелодии, которые хотела в ЛЮБОЙ ТОНАЛЬНОСТИ (я просто не знала, что это так называется) -- от романсов, до шлягеров, до классики - Чайковский, Сен-Санс, Бах и проч.
Конечно, далеко не так красиво, как они написаны (скажем, у Андрея Петрова "Голубые города" - там очень интересная гармония, без аккордов я бы не осилила), но для меня достаточно вечером сесть, поиграть, разрядиться. После этого курса пошёл курс "Импровизация" - заметим, опять же без гамм, практически без нот и проч. Это просто класс. Техники, конечно, никакой, но достаточно, как оказалось, для того, чтобы подыграть сыну - он играет на трубе. Подыграть "на слух", а не по нотам - "Jingle Bells", Моцарта. Не бог весть что, но тем не менее.
Это я к тому, что статью писал такой же преподаватель, как этот музыкальный гений (Нобелевку ему, чесслово), с таким же правильным, системным подоходом, когда не долбишь ноты, а понимаешь, что делаешь -- и понимаешь, что то что делаешь -- безумно красиво. Ну и простейший резльутат сразу, как в площади треугольника. А затем, конечно, можно наращивать технику, если хочется (мне не хочется). Кстати, у него и курс Черни есть, но он идёт уже после, скажем, импровизации.
"подкиньте дровишек"
Date: 2008-03-29 09:06 pm (UTC)Re: "подкиньте дровишек"
Date: 2008-03-30 12:46 am (UTC)2. Стоит немало.
3. Не годится для тех, кто когда-либо учился музыке (у этих мозги уже навсегда повёрнуты в другую сторону - может, и лучшую, но в другую).
Если не отпугивает, кину :)
ну вы нагнали саспенсу
Date: 2008-03-30 11:59 am (UTC)no subject
Date: 2008-03-30 02:28 pm (UTC)Вот общий каталог: http://www.playpianocatalog.com/
Вот мой первый курс, в нем отличная книжка с джазовыми песенками, которую можно начать играть через 10 дней: http://www.playpianocatalog.com/how-to-play-chord-pianoin-10-da.html
Вот мой второй курс, обалденный, т.к. не зная нот, можно начать импровизировать: http://www.playpianocatalog.com/quothow-to-make-cool-sounds-on-any-keyboardquot.html
В этом человеке удивительно сочетаются полное неумение организовывать печатный материал - и гениальное умение организовывать музыкальный. Сайт выглядит, как будто его писал идиот. А уроки за две минуты объясняют то, что мне не могли объяснить ни консерваторские, никто. Поразительно.
Писать о том, что это ерунда и фигня мне не нужно. Я неадекватно на это реагирую.
спасибо за ссылки
Date: 2008-03-30 05:42 pm (UTC)берусь бережно относиться к вашим чувствам. дополнительной страховкой послужит то что в музыке я полный профан, а высказываться стараюсь о том в чем разбираюсь.
no subject
Date: 2008-03-30 09:58 pm (UTC)http://piano-music-chords.com/Duanes-students-only/20-flowing-river-of-sound.htm - арпеджио
и ещё вот, например (взяла первые попавшиеся)
http://piano-music-chords.com/Duanes-students-only/27-walk-ups-downs.htm - переход "ступеньками" от одного аккорда к другому
мне,
Date: 2008-03-29 09:03 pm (UTC)то есть конечно хорошая педагогика лучше плохой, но для признания этого факта не надо писать и читать двадцать пять страниц столь эмоционального текста.
Да, лучше холить и лелеять креативность и интуицию. Но в любом классе, даже и в матшкольном почти-по-Локхарту, ты увидишь расслоение на тех кого прет и тех кого, скажем так, не очень. Адресовать эту проблему только прекраснодушной уверенностью в том что человек от природы творческое существо и первых, которых прет, при правильном подходе должно быть сто процентов -- не получится.
Да, уроки музыки или живописи без ученического пения и рисования нелепы и унылы. Но что-то я не могу представить их себе без вполне творческого прослушивания и просматривания уже существующих артефактов. Почему изучение математических результатов других должно оказываться именно обезьянним заучиванием неинтересного, а не таким же творческим и креативным процессом как их самостоятельное переоткрытие? Таким, кстати, был мой личный перекос на многие годы - мне надолго стало легче придумывать самому, переоткрывать, чем "подчиняться чужой логике".
Да, тупые задачи на прямое применение одного и того же вдолбленного алгоритма -- практически бессмысленны. Но почему задачи не могут последовательно выявлять кучу нюансов некоего фундаментального факта? скажем, пусть формула корней квадратного уравнения будет выведена как результат учителем/в учебнике, а тот тривиальный, но достаточно далекоидущий факт что корней может быть два, один и ноль, и при каких условиях -- выяснится в задачах после.
Да, унылая нерелевантная нотация только затуманивает предмет. Но ведь релевантная и умение с ней обращаться дают мощный инструмент и благодатное поле для общих изысканий, избавляют от бесконечных недопониманий и выяснений "а, так ты ту точку имел виду, а не эту".
И так далее. Вобщем, we don't need no education, a не статья.
Есть очень меня вдохновившие заметки Звонкина и Левина, например тут, и их же книга на эту тему. Помягче, но и поточней.
офтоп: Mathmaticious
http://youtube.com/watch?v=6cAs1YBELmA