задачка

[avva]

Сразу предупреждаю: задачка простая; но забавна тем, что на первый взгляд кажется - совсем тривиально, прямо сейчас и напишу, но потом оказывается, что все-таки несколько минут подумать надо.

Расставить числа от 1 до 9 в треугольник, по 4 числа на каждой стороне, так, чтобы сумма чисел на каждой стороне была одинакова.

Решение не единственное, их много, и рассказывать их необязательно, но если вам кажется, что вы дошли до вашего каким-то интересным способом - поделитесь в комментариях. Я тоже расскажу в комментарии, как я решил.

P.S. Интересно, откуда я ее узнал: во внутренней рассылке коллега написал, что его дочери ее дали решить как домашнее задание по математике в третьем классе (!).

Comments

[avva.livejournal.com]

Я решил сразу, что 1 и 9 будут стоять внутри сторон, а не на углах, чтобы не слишком искажать суммы, и легче было их сводить вместе. Плюс ясно, что сумма чисел в углах должна делиться на три (сумма в углах = сумма трех сторон - сумма всех чисел от 1 до 9). Я открыл текстовый редактор и написал в нем сначала треугольник со всеми числами наугад, но 4,5,6 в углах; но тут же подумал, что это слишком путает. Заменил все числа в треугольнике на 5, и стал менять по одному, балансируя; сначала 4 и 6 в два угла, 5 в третьем; потом логично 7,8,9 поставить каждый на свою сторону, чтобы слишком много не было на одной стороне; потом пересчитать суммы сторон и разобраться, как поставить 1,2,3, чтобы все сбалансировать. Оказалось, что 7,8,9 у меня были расставлены так, что это невозможно, две из них надо было поменять местами и после этого 1,2,3 встали правильно. Все вместе где-то три минуты.

[leontio.livejournal.com]

У меня вышло секунд за 30. Аналогично, поставил 4,5,6 в углах, затем на одну сторону 9 и 1, на другую - 8 и 2, на третью - 3 и 7. Естественно, не сошлось на одно число, поэтому банально поменял 2 и 1 местами :-)
Но это эмпирическое решение, по интуиции, можно сказать.

CLPFD

[clement.livejournal.com]

:- use_module(library(clpfd)).

go(A,B,C,D,E,F,G,H,I) :-
[A,B,C,D,E,F,G,H,I] ins 1..9,
all_different([A,B,C,D,E,F,G,H,I]),
A+B+C+D #= D+E+F+G,
D+E+F+G #= G+H+I+A,
label([A,B,C,D,E,F,G,H,I]).


Первое найденное решение: 1,2,9,7,3,5,4,6,8
http://gollem.science.uva.nl/SWI-Prolog/Manual/clpfd.html

Re: CLPFD

[clement.livejournal.com]

Заодно выяснилось, что всего существует 864 решения.

[arnold3.livejournal.com]

s=(45+(a+b+c))/3=15+(a+b+c)/3

если а=1, b=2, c=3, тo s=17 и как-то сразу все и сложилось.
___ 1
__ 6 _ 4
_ 8 ___ 9
2 _ 7 _ 5 _ 3

[a-konst.livejournal.com]

аналогично :)

[a-konst.livejournal.com]

а почему вас удивляет, что это задачка задана в третьем классе?
у детей такие вещи очень неплохо получаются.

[avva.livejournal.com]

Потому что мне кажется, что подавляющее большинство учеников третьего класса может такую задачу решить только перебором.

[shamaner.livejournal.com]

к 45 прибавляется сумма вершин (она должна делиться на 3) и делится на 3 - это будет сумма каждой стороны. к стороне, с меньшей суммой вершин дописывается оставшееся большее число + число, доводящее до известной суммы стороны.

[unbe.livejournal.com]

аналогично

[pokemone.livejournal.com]

я делал так
понятно, что всего чисел 9, а 3х4 это 12
то есть, некоторые в углах и будут два раза по сторонам

дальше моей целью стал поиск суммы по стороне
отталкиваясь от общей суммы (S) по трем сторонам,
сумма от 1 до 9 = 45, сумма 1+2+3=12

для предварительного отсева, т.о., есть ограничения:
S >=57, S%3=0 (нацело делится)

дальше грубо, подбирал просто тройки чисел которые умножать на 2
1-2-3 это 57, делится на три, сумма стороны 19, покрутил, не вышло
4-5-7 это 60, делится на три, сумма стороны 20, покрутил, вышло
5924, 4736, 6815

спасибо
ЗЫ, пролог рулит как раз, да

[pokemone.livejournal.com]

запостив уже, увидел ошибку
лишнее умножение на 2

Кстати о детях третьего класса.

[clement.livejournal.com]

Ученику третьего класса было предложено следующе задание.

Выберите число. Если оно - палиндром, остановитесь. Если нет, прибавьте к нему тоже самое число, записанное справа налево (т.е., к 124 надо добавить 421). Процесс продолжить пока возможно. Вопрос: всегда ли процесс остановится?

Для многих чисел процесс останавливается очень быстро - из первых 10000 только 251 одному числу требуется более 23 шагов. Тем не менее, задачка, на самом деле, очень сложная, это т.н. проблема 196. 196 - наименьшее число, порождающее последовательность чисел, в которой палиндромы не были найдены и после более чем двух миллионов шагов. Второе такое число - 887...

Re: Кстати о детях третьего класса.

[mr-finder.livejournal.com]

А какие-нибудь интересные закономерности выведены?

[youngracoon.livejournal.com]

Я рассуждал так:
1 2 3 4 5 6 7 8 9

Сумма пар 1-9, 2-8, 3-7 равно 10, и это пригодится. Расставил по углам неохваченные цифры 4,5,6. При этом суммы на сторонах треугольника получились 4+5=9, 4+6=10, 5+6=11. Осталось расставить 6 цифр - по две на каждой стороне треугольника. Соответственно, сумма каждой из оставшихся двух пар должны отличаться на 1. Рассматриваем припасенные ранее пары и слегка переставляем их: 2+7=9,1+9=10, 3+8=11. В результате, стороны треугольника будут такими: 4-8-3-5, 5-7-2-6, 6-1-9-4.
В общем, это какое-то интуитивное решение получилось.

[prosto-tak.livejournal.com]

Интересно, у всех своя интуиция. Мне сразу показалось, что по углам нужно ставить большие числа (7-9), чтобы балансировать стороны маленькими числами было удобнее. Оставшиеся числа 1-6 дают в сумме 21. То есть довольно очевидно, что на сторонах (внутри) должно быть в сумме 6, 7, и 8. Дальше просто, и получается, например, 7 3 4 9 1 5 8 2 6.

Теперь, мне кажется, что такой или похожий ход мыслей доступен очень толковому третьекласснику. Если нет, то и перебор может быть все-таки чуть разумный, и он не будет страшен. И еще, очень может быть, что учитель дал какую-нибудь подсказку. Какую - не знаю.

[shadow-mm.livejournal.com]

+1
Тоже расставила по углам большие числа.

[dynamo.livejournal.com]

Я поставил изначально по углам 1, 2, 3. А потом представил, что оставшиеся числа должны составить два треугольника по три числа в каждой стороне ака шестигранник. Дальше интуитивно встали 4, 5 и 6 в один треугольник, а 7, 8 и 9 в другой. Пришлось эти 2 треугольника один раз повернуть относительно друг друга, и все встало на место.

[migmit.vox.com (from livejournal.com)]

Ну, например:
4196-6725-5834, сумма 20. Найдено со второй попытки.

[pigmeich.livejournal.com]

Подбором с первого раза (пользуясь зверскими научными методами).

Во-первых, сумма вех чисел -- 45, а числа стоящие в углах будут считаться по два раза. И всё это должно делится на три. Чтобы не мучатся, я просто решил поставить в углы делящиеся на 3 числа, как раз их три.

Во-вторых, забиваем сначала самую "лёгкую" сторону -- между 3 и 6. Общая сумма получается 63, на каждую сторону 21. Значит на два числа между 3 и 6 приходится 12. Опять таки, не мучался и написал 8 и 4.

Потом, самая "тяжелая" сторона -- между 9 и 6. Тут сумма 6, оставшихся чисел подходят только 1 и 5.

На третью сторону остались только 2 и 7, которые отлично вписываются для общей суммы в 21.

[lonelyquantum.livejournal.com]

Я таким же способом решал.
Первый шаг был такой же.
На втором начал с большой стороны 6-9.
На третьем заполнил маленькую 3-6.
Получилось 9 2 4 6 - 6 7 5 3 - 3 1 8 9

[pilpilon.livejournal.com]

Удивительно. я поставил на углы 1, 5 и 9 из соображений симметрии.

[nadkathegreat.livejournal.com]

сначала я поставила по углам самые маленькие цифры - 1,2,3
потом поставила в середину большие, в порядке обратном маленьким(по часовой, против часовой), для уравновешивания. Большие в середину, потому что если они будут стоять по углам, то сумма сразу радикально меняется. Хотя если подумать, то это наверное не оч умное рассуждение :)
Ну а оставшиеся три просто "по мере надобности", то есть кому сколько не хватало.
ах, да порядок такой: 1-6-7-3, 3-8-4-2, 2-5-9-1. сумма стороны 17

[deni-ok.livejournal.com]

      5
    4   6
  9       1
2   3   7   8

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

Спасибо, освежил умение складывать числа в уме :)

ход решения

[falcao.livejournal.com]

У меня ход мысли был такой. Я поставил числа x,y,z по углам. Суммы оставшихся двух чисел на сторонах против них обознаил через t+x,t+y,t+z. Получилось уравнение 2(x+y+x)+3t=45, откуда стало понятно, что x+y+z делится на 3.

Далее я взял 1, 2, 3 и расставил по углам. Оставшиеся числа 4, ..., 9 надо было разбить на пары так, чтобы суммы пар оказались тремя последовательными числами. Это можно сделать многими способами. Например, 5+7=12, 4+9=13, 6+8=14.

Читая с угловой единицы по кругу, имеем 168257394, с суммой 17 вдоль каждой из сторон.

Интересно было бы составить полный список сумм чисел на сторонах, для которых задача имеет решения.

угловые тройки

[falcao.livejournal.com]

Пусть S -- сумма четырёх чисел на каждой из сторон, а x,y,z -- числа в углах. Тогда 3S=45+x+y+z. Положим x+y+z=3k; при этом k=2,...,8, и S=k+15. То есть S может принимать значения от 17 до 23. Значения S, дающие в сумме 40, относятся к симметричным случаям (каждая цифра меняется на дополнительную до 10).

1) S=17

Сумма чисел по углам равна 6. Подходит единственная тройка 123. Решение см. выше.

2) S=18

Здесь сумма чисел по углам равна 9. Таких троек всего три: 126, 135, 234. Ни одна из них не подходит.

Причина такова: суммы пар не угловых чисел на сторонах равны t+x, t+y, t+z, где t=15-2k=9. Это означает, что цифру 9, расположенную не в углу, не с чем спарить.

3) S=19

Сумма чисел по углам равна 12 (это 3k, где k=S-15=4). Поэтому t=15-2k=7. Из тех соображений, которые были изложены выше, угловая тройка обязана содержать 7. Таких троек две -- 147 и 237. Для каждой из них существует решение.

4) S=20

Сумма угловых чисел равна 15, а t=5. Список угловых троек: 159, 258, 357, 456.

Остальные случаи симметричны уже найденным. Оставшиеся не выписанными угловые тройки -- это 369, 378, 789.

Возможные значения для S равны 17, 19, 20, 21, 23.

[san-shine.livejournal.com]

Для начала решим, чему равна сумма на каждой из сторон. Пусть она равна 20. Тогда сумма цифр в углах должна быть 15. соответственно 4,5,6 - в углы. остальные цифры расставляем, чтобы сумма получилась 20 на каждой стороне - получаем 529473618

[jewgeniusz.livejournal.com]

Симпатичная задачка. Решил за минуту примерно. Моё решение --

   5
  8 2
 6   4
1 3 7 9

Рассуждал так: давайте сделаем задачку "симметричнее", то есть будем считать, что расставить надо числа не от 1 до 9, а от -4 до 4 (включая нуль), и будем пытаться строить треугольник, симметричный относительно одной из медиан -- для этого поставим в одну вершину 0, а в две другие -- равные по модулю числа, и будем делать так, чтоб сумма чисел на стороне равнялась бы 0.

Я попробовал поставить в углы 4 и -4, тогда получается, что на стороне 0..4 должны стоять -1 и -3, а на 0..-4 -- 1 и 3. В силу симметрии сумма на стороне -4..4 "сойдётся".

Легко видеть, что в два угла можно поставить не только 4 и -4, но и что угодно ещё (равное по модулю) -- всё равно можно подобрать остальные пары чисел так, чтоб получился 0. (скажем, 0..1: 0 2 -3 1).

Разумеется, я не утверждаю, что таким способом находятся все решения.

[cousin-it.livejournal.com]

Женя, привет! Мне кажется, твое решение пока лучшее =)

[r-g-r.livejournal.com]

http://www.magicnum.com/
тут на сайте есть что-то похожее. может вам будет интересно почитать.
где-то у автора сайта видел магические маген-давиды, там еще более интересные и удивительные вещи, но их почему-то нет на сайте.

[hazan.livejournal.com]

так как тут всего 4 четных и 5 нечетных чисел - то получается всего 2 варианта расстановки "чёт-нечёт"
Я взял схему:
н
ч ч
ч ч
н н н н

четная пара. к которой проще всего подобрать остальные числа - 2-6 и 4-8 (2-8 и 4-6 не сработает, а 2-4 и 6-8 - слишком большой разброс)
Разница в 4 по двум ребрам дает 3 комбинации нечетных по вершинам: 1-3-5, 3-5-7, 5-7-9. Осталось проверить.

Заняло минут 5.

[yanis.livejournal.com]

это на интервью можно давать =) я сначала в уме пытался подобрать потом написал программу на С которая все решения печатает

[(Anonymous)]

Я решал примерно так:
1) нарисовал треугольник со сторонами: A-a1-a2-B; B-b1-b2-C; C-c1-c2-A;
2) Приравниваем суммы сторон друг к другу. Из этого получаем равенства типа A+a1+a2=b1+b2+С.
3) Оцениваем сумму трех различных чисел от 1 до 9: 6 <= A+a1+a2 <= 24. Аналогично, сумма четырех чисел: 10 <= A+a1+a2+B <= 30. Значит, можно оценить 4<=B<=6.
Следовательно, на вершинах расставляем числа от 4 до 6.
4) Из набора (1,2,3,7,8,9) подбираем суммы (a1+a2)=(c1+c2)+1=(b1+b2)+2.

Итоговый треугольник я такой нарисовал: 4-3-8-5, 5-2-7-6, 6-1-9-4.

---
LastWarrior

[ptushnik.livejournal.com]

Я рассуждал, как третьеклассник-программист:

Числа в углах лучше брать близкими, ведь они попадают на две стороны. Взял 1, 2, 3. Суммы: 3, 5, 4.

Добавление следущей тройки близких чисел не должно привести к равенству сумм, но и большой разницы не хочется. Поэтому 1-6-2, 2-5-3, 3-4-1. Суммы: 9, 10, 8.

Далее всё однозначно.

[ptushnik.livejournal.com]

Забыл добавить, что подход хорош тем, что можно добавлять новые и новые тройки чисел с тем же условием.

[baca6u.livejournal.com]

интересно, дети в 3 классе знают уже как определить делимость числа на 3?
Сначала думал общий алгоритм такой примерно: берем три любых числа сумма которых делится на 3, прибавляем их сумму к 45, делим общую сумму на 3. Это сумма чисел в ребре. отнимаем числа в вершинах, получаем суммы двух оставшихся чисел в ребре. комбинируем, получаем. Но. Взял 4,5,6 - получилось, взял 7,8,9, взял 3,6,9, взял 1,2,3 - получилось. а взял 1,8,9 - не выходит, 1,2,9 - не выходит.
мешает что-то. Если взять 1,2,3 - два решения с этими углами. в общем нет логики, одна эмпирика.