об идентичности и изоморфизмах

[avva]

Интереснейшая статья (англ., PDF) математика Барри Мэйзура - о том, что такое равенство объектов в математике, о сдвиге от важности самого объекта к важности его структурных свойств, о том, как этот сдвиг великолепно иллюстрируется теорией категорий, и еще много интересного. У Мазура нет одного центрального аргумента, это скорее размышления вслух вокруг общей темы.

В принципе, помимо прочего, эта статья может послужить введением в самые начала теории категорий, для тех, кто этого не знает.

Я усердно размышлял над ней сегодня, и, может быть, доразмышляюсь еще до отдельной записи на эту тему - с чем я согласен, с чем не очень, и что мне хотелось бы добавить. А может, и не доразмышляюсь. В любом случае, мне (как всегда!) интересно было бы узнать мнения читателей, которые ее прочитали и кому эти темы интересны.

Comments

[french-man.livejournal.com]

Мэйзур, все-таки.

(Забавно, я только что на него ссылку поставил.)

[avva.livejournal.com]

Сейчас исправлю.

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Хорошо изложено, спасибо. Грустно, конечно - всё это известно уже хрен знает сколько десятков лет, но у народа в целом обычная карусель и туман в голове.

Эту статью надо читать очень внимательно; автор всё разъясняет дотошно и точно. Вот с этой самой точностью большая проблема в большинстве книжек даже и по теории категорий... да и по топосам тож, взять хоть Гольдблатта.

Неплохо бы запостить линк в гугловский мейллист тож. Хай народ просветится.

[avva.livejournal.com]

Куда, в математический? Запостите, если вам кажется полезным (туда или в другой); мне немножко не до этого в ближайшие пару дней все равно.

[tea-with-milk.livejournal.com]

Если интересует альтернативное, структурное, определение класса: в словах (http://www.cs.unb.ca/~goldfarb/ETSbook/Class.pdf) и более-менее формально (http://www.cs.unb.ca/~goldfarb/ETSbook/ETS6.pdf)

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Извините, буду груб.

Собралось несколько сумасшедших электротехников, и решили "объяснить всё" с точки зрения триггеров и цифровых схем. Такого рода ахинею продвигали в ЛЭТИ в советские времена, но робко, потому что в ЛОМИ их бы пустили с таким докладом только под первое апреля.

В чём там формализм? В компьютерных структурах данных, да? Очень смешно; ваши теории, следовательно, не годятся ни в докомпьютерную эпоху, ни в послекомпьютерную.

Позвольте напомнить, что вышеупомянутая статья Мейзура - это профессиональная, хотя и популярная, работа профессионального математика. Было бы неплохо, если бы электротехники знали, грубо говоря, своё место в иерархии знаний. А то прямо как доказательство теоремы Ферма с помощью марксизма-ленинизма.

Да, кстати о теореме Ферма... нет, лучше о независимости континуум-гипотезы. Вот с этими вашими триггерами, можете доказать эту самую независимость? Ну заодно и теорему Ферма... хотя бы и малую.

Извините.

Вы ж с мехмата, должны же знать разницу между формальной логикой и логической микросхемой. Вы какую кафедру заканчивали?

[tea-with-milk.livejournal.com]

Уважаемый Иван. Ну потрудитесь хотя бы прочитать вступительную часть основной а не просто поглядеть на картинки. Пока что ахинею несете Вы. Какие цифровые схемы, о чем вы? Вводится понятие таких основных концепций в распознавании образов и машинном обучении как представление обьекта (структурное), структурное описание класса. Изначальная идея - генерализации аксиоматики Пеано. "Ближайший" формализм - грамматики на графах.

Пожалуйста, не будьте голословными, потрудитесь почитать. Либо посмотрите хотя бы google talk Гольдфарба. А то выглядите очень глупо набросав какую-то абсолютную фигню через несколько минут после изначального поста, с претензией рецензии на манускрипт который писался несколько лет.

П.С. Формализм никакого отношения к "логической микросхеме" не имеет, а вот к индуктивному обучению - очень даже. Чуствуете разницу?

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Да аксиоматику Пеано ленивый только не формализует в виде пары триггеров и бесконечноы бумажной ленты.

И что это такое за зверь может быть, грамматики на графах? Грамматики, которые по дугам преобразуются друг в друга? Или грамматики, описываемые с помощью графов? Да... неонки не хватает.

[tea-with-milk.livejournal.com]

Ну, вот, в принципе, куда диалог и должен был прийти: говорим с вами мы на разных языках. Graph Grammars не потрудитесь найти сами, чай ведь в Гугле работаете. Насчет ваших острот о биологии: так ведь и Миша Громов, и Израиль Гельфанд биологическими приложениями не гнушатся. Гельфанд, вообще, на своем юбилее пять лет назад сказал что биологические структуры - будущее для математики 21-го века.

Вообще, как-то смешно: софтверный инженер, не имеющий даже кандидатской степени, пытающийся судить кому в какой научной области нужно сидеть. Мне вам, в принципе, больше нечего добавить...

[french-man.livejournal.com]

Гельфанд, вообще, на своем юбилее пять лет назад сказал что биологические структуры - будущее для математики 21-го века.

Дедушка старый...

(А где у Громова биологические приложения? Я в гугле не работаю, и степень, вроде, имею...)

[tea-with-milk.livejournal.com]

Ну это он сейчас старый (но, кстати, по общению - в чересчур даже трезвом уме, по крайней пару лет назад был). А биологическими приложениями он вроде начал заниматься еще в 70-х. А уже в Ратгерсе вовсю развернулся.

Громов, вот (http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6V1G-47PPDTB-2&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=c6409acb8fc6c26849cc9928a391112e) пожалуйста. Или вот (http://www.ihes.fr/~carbone/papers/MathSlices.ps). Насчет степени, не сдержался, согласен... Просто терпеть не могу голословных, снобских, выпадов, особенно в адрес людей коих знаю и уважаю...

[french-man.livejournal.com]

Спасибо.

[sowa.livejournal.com]

Не знаю, что сказал Гельфанд на своем юбилее 5 лет назад. 15 лет назад он говорил, что комбинаторика - это математика 21-го века. Такие предсказания обычно не сбываются. Даже проблемы Гильберта были в зачительной степени мимо (например, Гильберт не предвидел роли идей Пуанкаре, не говоря уже о том, что возникло позднее).

Гельфанд, на самом деле, подчеркивал, что биологией он занимается как биолог, а не как математик. Если какая-то математика полезна, то почему бы ее не применить? А нет, так нет - у биологов есть свои методы, независимые от математики.

Аналогично Громов: он интересуется некоторыми биологическими проблемами, но не ради создания каких-то новых математических структур, а потому, что это ему интересно само по себе. Здесь перечислены, видимо, все (три) работы Громова на эту тему. Первая из них - это обзорная статья для математиков.

[sowa.livejournal.com]

Да, Гельфанд занимался биологией еще в 60-е.

[french-man.livejournal.com]

Спасибо!

[ivan-gandhi.livejournal.com]

О, спасибо, классная вещь эти graph grammars.

Насчёт же софтверного инженера, не имеющего кандидатской степени, так я знаю, что хозяин здешнего блога не одобрит тот язык, который я употребляю в подобных случаях, но Вы, конечно, меня поняли.

[tea-with-milk.livejournal.com]

Кстати, статья "электротехника" Гольдфарба (главного автора), у которого между так прочим мат-меховское образование ЛГУ и ПХД из Ватерлоу, где еще только схематически вводился сей формализм, получила ежегодный приз в Pattern Recognition в девяносто-не-помню-каком-то году. Так что, думаю, в "иерархии знаний" этот "электротехник" стоит на две головы повыше вас.

Извините.

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Pattern Recognition, вот именно. Там ведь у него и биология присутствует, а?

[buddha239.livejournal.com]

Из первых впечатлений: он пишет об обсерватории Гаусса в Геттингене, а сейчас там, вроде бы, что-то типа банка.:) Не уверен, что Гильбертовские здания в итоге удалось отстоять.(:

[qaraabayna.livejournal.com]

Литлвуда напоминает. Начало интересное, но пока нет времени читать.

[pussbigeyes.livejournal.com]

Спасибо, очень интересная статья. Соотношение между классами и множествами понятно, хотя потребность еще и в репертуаре позволяет предположить, что там роются некие неопознанные собаки. Впрочем, это не так существенно, наверное, поскольку можно подставлять любое определение множества, а само понятие категории инвариантно относительно теорий множеств. Есть пища для размышлений.

Я всегда считал категорный подход одной из самых важных вещей, которые я выучил. Но воспринимал его as is, как данность, а Мейзур прекрасно погрузил все в соответствующий контекст.

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Э, минуточку. Там дело не в соотношении между классами и множествами. Всё это происходит в рамках теоретико-множественной модели, в которой сама по себе теория категорий не нуждается, она и не эгалитарная даже, а теория множество как бы построена на знаке равенства.

[pussbigeyes.livejournal.com]

Под соотношением я имел в виду, чем класс отличается от множества. Это важно, поскольку в теории категорий используются оба понятия.

А, вот ещё что Фреге писал на эту тему

[ivan-gandhi.livejournal.com]

вот (http://mind.ucsd.edu/syllabi/00-01/phil235/a_readings/frege_S&R.html)

[posic.livejournal.com]

Про натуральные числа как универсальную дискретную динамическую систему с отмеченной начальной точкой -- хорошая мысль.