об ошибках в математике (англ.)

[avva]

[via подзамочное]

Любопытная дискуссия на рассылке по алгебраической топологии. Несколько цитат:

"It is my opinion that the field of academic mathematics
would suffer terribly if the general public began to understand
that we publish lots of mistakes. [...]

The reason that errors are accepted is that,
contrary to public impression of mathematicians
as people who are absolutely rigorous and always correct,
in the academic discipline the mathematicians
who earn the greatest prestige and renown
are those who have the deepest ideas,
not those whose work is absolutely reliable. [...]

[Mathematicians] frequently publish papers
in which not only some details are wrong
but sometimes the main result is wrong...

И из другого письма в той же дискуссии:

Years ago a postdoc from New York visited Bangor. He told me that as a
student he was asked to give a seminar on a paper. He found he could not
understand it. His supervisor, initially sceptical, finally could not
understand it either. Eventually the student asked the author who
responded: "I knew the result was true, so I just wrote something down. "

Comments

[plakhov.livejournal.com]

> "махания руками" там нет
Я и не говорю, что есть. Я всего лишь привел простой пример ситуации, в которой строгая формализация граничит с маразмом, несмотря на то, что вполне возможна. Понятно, что можно сплясать на триста страниц прямо начиная с эпсилон-дельта формализма, только надеюсь, что никто в здравом уме этого делать не будет.

[buddha239.livejournal.com]

"в которой строгая формализация граничит с маразмом" - наверное, Вы большую часть математики сочтете маразмом, если узнаете получше.:) Потому, что рассуждение формализуется в три строки - если знать начала (алгебраической) топологии.:)

[plakhov.livejournal.com]

Честно говоря, пока не готов поверить в "три строки". Я слушал эти самые начала (правда, это было на семинаре Фоменко), и ровно то, о чем мы сейчас говорим, меня тогда и убило - переход от строгих определений, наполовину знакомых по курсу дифференциальной геометрии, к словам вроде "натягиваем эту поверхность на ту" уже ко второй лекции, и безвозвратно. Разубедите меня, что ли, расскажите хотя бы, что обычно все гораздо лучше, чем у Анатолия Тимофеевича, или у Аркаши Скопенкова. Если не лень, конечно (если лень, я не обижусь).

[buddha239.livejournal.com]

Лень, извините.:) Кроме того, я очень сильно сомневаюсь в своем умении рассказывать понятно и интересно - особенно в не своей области. Идея в том, чтобы один раз отмучаться:) при формализации того, что интуитивно ясно, а потом получить массу приятных следствий. Таблицу умножения тоже не очень прикольно учить - зато потом какая польза!:)

Чтобы хоть как-то ответить за базар - напишу очень короткое доказательство ОТА.:) Т.е. то, в котором будет использоваться понятие гомотопности + самый первый факт из этой теории, и без формул, которые реально лень писать.:)

Пусть Ф - непостоянный многочлен без корней, Ж - его старший член.

Имеем три петли: Ф(0) (постоянная петля), Ф(большого круга с центром в 0) (радиус можно написать через коэффициенты), Ж(него же). Утверждается, что первая петля гомотопна второй, а вторая - третьей на плоскости с выколотым 0. Действительно, так как Ф не имеет корней то (простая:)) формула ... задает гомотопию 1 и 2. Так как радиус достаточно большой, то формула ... задает гомотопию 2 и 3 (так как модуль ... > модуля ..., то гомотопия действительно не задевает 0:)). Остается заметить, что постоянная петля не гомотопна 3, т.к. класс 3 в (первой) гомотопической группе плоскости без 0 равен степени многочлена.

Наверное, можно найти место, где все то же записано со всеми формулами.:)

[plakhov.livejournal.com]

Гыгык :)
Я именно его и имел в виду. Более того, см.

[buddha239.livejournal.com]

Кто бы сомневался-то?:) Я просто говорю, что формализация - 2 строки; надо задать гомотопии.:)

[plakhov.livejournal.com]

понял

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

Так на лекциях надо учить думать и учить изобретать новое, давать опорные точки. Формализм на лекцих нужен только для того, что бы получить чувство того, "я могу это записать формально". Что бы когда перепоручили это записывать лаборанту - он это всё-таки записал бы.