задачка, математическое, второй класс

[avva]

Отличная задачка от a_shen, из олимпиады для второго класса(!):

Четыре человека выкопали канаву, причем они копали по очереди, каждый с постоянной скоростью; но у разных людей скорость могла быть разной. Каждый из них копал столько времени, за сколько трое других могли бы, копая одновременно, выкопать половину канавы. Во сколько раз быстрее они выкопали бы канаву, если бы копали все сразу?

Комменты скрывать не буду, так что не заглядывайте туда, если хотите решить сами. Советую попробовать решить в уме.

Comments

[utnapishti.livejournal.com]

Кстати: а очевидно ли, что такое вообще возможно? Наример, если у всех четверых одинаковая скорость - то они свою канаву недокопали. (Допустим, каждый выкапывает целую канаву за час, тогда трое выкапывают целую канаву за 20 минут, поэтому каждый копал 10 минут, поэтому они выкопали только 2/3 канавы.) Мне кажется, не очень легко найти "работающее" соотношение их скоростей - по крайней мере, в уме.

[timur0.livejournal.com]

двое копают с одинаковой скоростью, двое не копают вообще

[utnapishti.livejournal.com]

Не подходит - это противоречит условию "каждый копает столько времени, сколько занимает у остальных троих вместе выкопать полканавы". Т.е. третий и четвёртый просто не могут совсем не копать.

[localghost.livejournal.com]

Не "совсем не копать", а "копать с нулевой скоростью".

[utnapishti.livejournal.com]

Да, так можно. Но заметьте: в этом случае ответ на поставленный вопрос не 3, а 2! Допустим, 1 и 2 выкапывают канаву за 1 час, а 3 и 4 копают с нулевой скоростью. Тогда последовательно они выкапывают за 1 час (каждый из 1, 2 работает полчаса - действительно, это то время, за которое остальные трое выкапывают полканавы), а параллельно за полчаса.

неверно

[scherkas.livejournal.com]

в таких условиях, по очереди они будут копать
1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1.5 часа
(два бездельника по 1/4 часа будут курить пока трудяги вместе копают полканавы. Этим бездельники не продвигают процесс, но время тянут)

.. а все вместе - 0.5 часа, т.е. все же в 3 раза.

Re: неверно

[utnapishti.livejournal.com]

И всё-таки, если 1 и 2 будут копать первыми, то канава будет выкопана за час. :) Но да, это разница скорее языковая, чем математическая.

[a-bugaev.livejournal.com]

Вы не учитываете время простоя, пока с нулевой "копают" 3 и 4 (это каждый раз - по полчаса).

[utnapishti.livejournal.com]

Ответил на аналогичный комментарий выше.

И - каждый "лентяй" копает по 15 минут (а не по полчаса). Отсюда - суммарно полтора часа против получаса при совместной работе.

[a-bugaev.livejournal.com]

Да, я невнимательно прочел, что каждый из 1 и 2 копал по часу. Если каждый по полчаса - то все вдвое быстрее, и тогда пятнадцать минут.

[avva.livejournal.com]

Я тоже об этом задумался. Нетривиально, но по-моему все-таки возможно. Например так. Пусть скорость первых трех - единица, четвертого - k, а длина канавы x. Отсюда вычисляем время копания четвертого (x/6), и каждого из трех остальных (x/2*(2+k)). Перемножив времена обратно на скорости и сложив, мы должны получить x, который естественным образом сокращается. Выходит квадратное уравнение для k, которое, если я нигде не ошибся, имеет решение.

[utnapishti.livejournal.com]

В предположении, что их скорости 1, 1, 1, k, можно дальше рассуждать ещё вот как:
Если последний копает бесконечно быстро (k = \infty), то они выкопают бесконечно много канав.
Если последний копает бесконечно медленно (k = 0), то они выкопают 3/4 канавы.
Поскольку функция (количество выкопанных канав) несомненно непрерывная для 0 <= k < \infty, то где-то её значение будет 1.

[utnapishti.livejournal.com]

Выше предложили другой способ соблюсти условие, но любопытно, что при этом способе (по его крайности), кажется, меняется ответ на вопрос.

[(Anonymous)]

угу, 2+sqrt(7)
бедный четвертый, мало того, что копает быстрее всех, так еще и дольше всех
припахали, называется, ради красивой задачки
отсюда вопрос — можно ли подобрать более справедливое (в каком-нибудь смысле) распределение скоростей?

[avva.livejournal.com]

Увы, самый шустрый всегда будет копать дольше всех. Другого глобуса у меня для вас нету :(

[(Anonymous)]

это понятно, вопрос — насколько дольше.

[(Anonymous)]

я вот попытался численно минимизировать отношение скорости самого резвого к скорости самого медлительного (символически не получилось, вылезают какие-то мутные уравнения 4-й степени). и получается, что минимум как раз при (1,1,1,2+sqrt(7)). но я не уверен, что сделал все правильно.

[a-bugaev.livejournal.com]

Там выходит система из 6 уравнений с 8 неизвестными. Пространство решений двумерное.

[(Anonymous)]

Ммм... а поподробнее можно? У меня так не получается, в конечном итоге выходит 1 ур-е с 4 неизв.

[a-bugaev.livejournal.com]

8 переменных - это 4 скорости (v1-v4) и 4 времени (t1-t4). Время работы T и длину канавы L считаем заданными (эти константы на характер решения не влияют, задают лишь масштаб).

Вот 6 уранвнений.
1) про общую длину
t1*v1+t2*v2+t3*v3+t4*v4 = L

2) про общее время
t1+t2+t3+t4 = T

и 4 уравнения про полканавы за время работы
вот первое из них:
t1*(v2+v3+v4) = L/2

Итого 6 уравнений с 8 переменными и двумя масштабирующими параметрами.

[(Anonymous)]

я второе уравнение не включил
не очень понятно, зачем оно нужно, T больше нигде не используется