категории (математическое)
Nov. 11th, 2010 06:08 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaПо мотивам нескольких жарких дебатов в ЖЖ третий день размышляю праздно о том, есть ли реальная возможность объяснить, что такое теория категорий и чем она занимается, далеким от математики людям. Уже несколько раз решал, что все-таки может быть можно, а потом передумывал и приходил к выводу, что никак.
Мне кажется, что основная проблема тут в том, что представление широкой публики о математике не включает в себя ни в каком виде понятие аксиоматической структуры. Самое близкое к этому, что есть - это идея неевклидовой геометрии, но она недостаточно развита (в популярном представлении), чтобы можно было взять и сразу так говорить о пространстве как объекте. То есть перед тем как говорить что-то о категориях, совершенно необходимо что-то говорить о полях или о группах, например. Постараться - в этом смысле - перенести слушателя в ранний 20-й век из раннего 19-го. Но уже на этой стадии слишком легко этого слушателя попросту потерять, мне кажется.
Есть ли удачные попытки объяснить категории неспециалистам? Насколько это возможно?
Мне кажется, что основная проблема тут в том, что представление широкой публики о математике не включает в себя ни в каком виде понятие аксиоматической структуры. Самое близкое к этому, что есть - это идея неевклидовой геометрии, но она недостаточно развита (в популярном представлении), чтобы можно было взять и сразу так говорить о пространстве как объекте. То есть перед тем как говорить что-то о категориях, совершенно необходимо что-то говорить о полях или о группах, например. Постараться - в этом смысле - перенести слушателя в ранний 20-й век из раннего 19-го. Но уже на этой стадии слишком легко этого слушателя попросту потерять, мне кажется.
Есть ли удачные попытки объяснить категории неспециалистам? Насколько это возможно?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2010-11-11 05:23 pm (UTC)Даже без этого: сколько аксиом школьной геометрии вы назовете, не подглядывая в гугл? А потом посмотрите, например, на аксиоматику Гильберта. Она похожа на реальную аксиоматику, но настолько громоздка, что лично мне просто противна.
Говоря о школьной геометрии, мы слишком много полагаемся на очевидные её свойства; настолько очевидные, что мы даже затрудняемся их сформулировать. Как только мы пытаемся переходить на "похожие" математические структуры, мы либо ощутим недостаток формализованности наших представлений о ней, либо интуиция начнет сильно сбоить. Ну а если вы все-таки назвали полную аксиоматику школьной геометрии без гугла, то боюсь, что неспециалистом вы себя считать не можете.
no subject
Date: 2010-11-11 06:24 pm (UTC)no subject
Date: 2010-11-11 06:58 pm (UTC)Как было отмечено выше есть два типа аксиоматических систем в математике: для задания абстрактных (обычно алгебраических) конструкций (группы, векторные пространства, кольца, поля, модули и пр.) и для матлогических доказательств свойств самих теорий (теория множеств, евлидова геометрия). Матлогика стоит особняком в математике, отсюда это разделение. Т.е. различны сами ЦЕЛИ аксиоматик: в первом случае - для работы с объектами, которые им удовлетворяют, во втором - для исследования самой аксиоматики (а не противоречива ли часом теория множеств? а полна ли как теория евклидова геометрия? и многие другие вопросы).
Аксиоматики же абстрактных конструкций по сути являются определениями. Нам, с одной стороны, надо держать в голове мотивирующие примеры (чтобы замечать свойства, общие для всех примеров, которые МОГУТ быть верны для всех объектов), с другой стороны, уметь от них _абстрагироваться_ и работать с голыми аксиомами (чтобы интуиция не мешала сомневаться, однако же, в тех свойствах, которыми обладают все известные примеры, однако неясно следуют ли они из самого определения, то бишь аксиоматики).
Весь этот противоречивый процесс сам по себе ломает мозг (я считаю, это основная причина сноса крыши на младших курсах матфака). Как показывает опыт, обыватели этим навыком не владеют.
Как опять же было сказано выше, теория категорий в качестве мотивирующих примеров, которые она обобщает, имеет математические абстракции, как таковые.
"A mathematician is a person who can find analogies between theorems; a better mathematician is one who can see analogies between proofs and the best mathematician can notice analogies between theories. One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies."
Stefan Banach
По сути категории - это аналогии между теориями. Я просто не представляю, как вы хотите объяснить это неспециалистам на базе школьной геометрии.
no subject
Date: 2010-11-11 07:12 pm (UTC)Правда объяснять математические теории людям, которые вообще не мыслят в рассудочном стиле, мне кажется, зряшней тратой жемчуга.
no subject
Date: 2010-11-11 07:36 pm (UTC)Также в школе почти не доказывают теоремы на базе этой аксиоматики, скорее развивается интуиция геометрических построений да матаппарат количественных вычислений (главным образом, тригонометрия и координатная геометрия).
Попробуйте, например, объяснить человеку тот факт, что утверждение "прямая разбивает плоскость на две полуплоскости таким образом, что нельзя соединить никакие две точки по разные стороны этой прямой непрерывной кривой" надо строго доказать. Из аксиом. Слишком многие вещи признаются в школе очевидными. Как раз таки качественные вещи. Школьная геометрия ВСЯ строится на примерах. Причем одних и тех же. Там отрабатывается только одна сторона аксиоматического подхода (что я описал в прошлом сообщении) - обобщение. Вторая половина - абстракция от примеров - совершенно забыта.
Собственно, я даже не понимаю почему объясняю это именно вам (http://psilogic.livejournal.com/160026.html).
no subject
Date: 2010-11-11 07:42 pm (UTC)