удивительное - рядом (математическое)

[avva]

Значение этого интеграла:



равно 0.392699081698724154807830422909937860524645434187231595926812285162...

что очень, очень близко к pi/8. Расхождение начинается после 42-го знака.

pi/8 = 0.392699081698724154807830422909937860524646174921888227621868074038...

Удивительный факт.

(источник: интересная статья David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Future Prospects for Computer-Assisted Mathematics)

Comments

[hml.livejournal.com]

я совсем не математик (хуже того -- физик), но всегда воспринимал как нормальную ситуацию, когда при преобразовании формул, включающих тригонометрические функции где-нибудь да вылезает число Pi. А вот если оно вылезает из совсем не тригонометрических функций -- это уже что-то близкое к чуду.

Ну и, естественно, меня со школьных времен приводит в священный трепет появление логарифма при интегрировании функции 1/x. Это просто невероятно!

[ztarlitz.livejournal.com]

Ну это и не пи, а просто похожее на него число.
Мне кажется, если кому-нибудь посчастливиться что-нить такое сделать с целыми числами, что результатом будет число совпадающее до последнего знака с Пи. Все равно я его за Пи считать не буду)))

[utnapishti.livejournal.com]

Пардон, до какого знака?..

Кстати, вот пример выражения Пи через целые числа:
http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product

[ztarlitz.livejournal.com]

до бессконечного))) я шучу не воспринимайте всерьез.

[utnapishti.livejournal.com]

Неужели до сих пор приводит в трепет? Ведь 1/(1+х) получается из х-х^2/2+х^3/3-х^4/4+... почленным дифференцированием, а ln(1+x) можно считать лишь названием суммы этого функционального ряда...

Или по-другому (хотя это практически то же самое): основные тригонометрические, экспоненциальные, логарифмические функции разлагаются в ряды с довольно простыми закономерностями в коэффициентах. Неудивительно, что при арифметических операциях и дифференцировании они довольно часто переходят друг в друга.

[salas.livejournal.com]

Вы уверены, что считать логарифм названием суммы ряда — естественно?

[utnapishti.livejournal.com]

Смотря в какой ситуации. Для первого ознакомления - конечно же, нет.
Но, по-моему, дойдя до функциональных рядов, имено что естественнее всего сказать: начиная с этого момента такие-то ряды являются определением таких-то функций. Иначе получается слишком много вранья: например, практически всё, что говорится в стандартном курсе анализа про тригонометрические функции, (например, sin'(x)=cos(x) ), в конечном счёте следует из предела sin(x)/x в x=0, а на каком определении синуса это висит? Увы, на геометрическом. Далее, мы говорим, что интеграл строго обосновывает понятия площади и длины кривой, и "доказываем", что площадь круга Пи (через интеграл (1-x^2)^{1/2} ), и длина окружности 2 Пи, но если задуматься, что было взято за определение Пи, то непременно окажется, что один из этих фактов.

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

> Далее, мы говорим, что интеграл строго обосновывает понятия площади и длины кривой, и "доказываем", что площадь круга Пи

Для площади круга достаточно поделить его на сектора и сложить сумму секторов:
http://dobrokot.ru/pics/nya2011-08-21__19-15-10_6kb.png