удивительное - рядом (математическое)

[avva]

Значение этого интеграла:



равно 0.392699081698724154807830422909937860524645434187231595926812285162...

что очень, очень близко к pi/8. Расхождение начинается после 42-го знака.

pi/8 = 0.392699081698724154807830422909937860524646174921888227621868074038...

Удивительный факт.

(источник: интересная статья David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Future Prospects for Computer-Assisted Mathematics)

Comments

[alex-rex.livejournal.com]

42 — это ответ.

[andronic.livejournal.com]

Вот я тоже подумал.
Главный Вопрос Жизни, Вселенной и Всего Такого - это то, что Г.Б-г в процессе творения недооценил въедливость своих созданий. Думал - ну такая уж аккуратность в работе будет достаточно, более мелких шероховатостей ни в какой самый крутой мелкоскоп не разглядят.
А они таки разглядели.

конспирологическая гипотеза

[arno1251.livejournal.com]

Кстати, указанное расхождение очень близко к 2^(-1/α)
где α - постоянная тонкой структуры

[utnapishti.livejournal.com]

См. стр. 40 (стр. 42 файла) в "Proofs from The Book".
(Выложено, например, тут)
Там описывается сходная (хотя и не такая) ситуация: закономерность в разности между суммой бесконечного ряда и его частичныыми суммами. При этом имеется ссылка на статью, один из авторов которой - тот же Borwein (а второй - другой Borwein).

[avva.livejournal.com]

Тоже интересно, спасибо :)

[38irtimd.livejournal.com]

меня недавно поразил сюжет про то что e^\pi^\sqrt{163} очень близко к целому числу (almost intereger, как говорят). поразил не сам факт, а то, что ему есть научное объяснение происходящее из теории полей классов, а именно из теоремы, описывающей максимальные абелевы расширения мнимых квадратичных расширений поля рациональных чисел.

про это энциклопедично рассказывается здесь (http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_constant#Almost_integers_and_Ramanujan.27s_constant) и задорно здесь (http://lj.rossia.org/users/dmitri83/43308.html?thread=142124#t142124)

[gaz-v-pol.livejournal.com]

Леонард Эйлер раскладывал многочлены вида x^n-1 на множители с целыми коэффициентами. Заметил, что если разложить на неприводимые, все ненулевые коэффициенты всех многочленов получаются 1 или -1. Например:



Неленивый Эйлер проверил гипотезу вплоть до n=100. Всё подтверждается, а доказать не выходит!

Эйлер умер, так и не узнав, что первое n, при котором гипотеза неверна, есть n=105 (появляется коэффициент -2).

[maxlethal.livejournal.com]

Интересно, спасибо!

[avva.livejournal.com]

Отличный пример, спасибо!

[diana-shipilova.livejournal.com]

Теорему, обратную малой теореме Ферма для основания 2, тоже долго пытались доказать, все степени перебрали до трёхсот, а потом нашли контрпример: 341. 2³⁴⁰ сравнимо с 1 по модулю 341, но при этом 341 не простое.

[zumba.livejournal.com]

http://en.wikipedia.org/wiki/Fine-structure_constant#Numerological_explanations

[hml.livejournal.com]

я совсем не математик (хуже того -- физик), но всегда воспринимал как нормальную ситуацию, когда при преобразовании формул, включающих тригонометрические функции где-нибудь да вылезает число Pi. А вот если оно вылезает из совсем не тригонометрических функций -- это уже что-то близкое к чуду.

Ну и, естественно, меня со школьных времен приводит в священный трепет появление логарифма при интегрировании функции 1/x. Это просто невероятно!

[ztarlitz.livejournal.com]

Ну это и не пи, а просто похожее на него число.
Мне кажется, если кому-нибудь посчастливиться что-нить такое сделать с целыми числами, что результатом будет число совпадающее до последнего знака с Пи. Все равно я его за Пи считать не буду)))

[lucky--man.livejournal.com]

Действительно красиво!
Хотя если подумать, относительно коротких комбинаций разных математических символов очень много, поэтому чисто статистически можно посчитать вероятность возникновения таких "необычных равенств" (двух близких чисел, не имеющих никакого отношения друг другу). Думаю, она будет вполне себе велика.
Похоже на тот факт, что вероятность получить в классе 30 учеников двух с одинаковыми днями рождения поразительно большая.

[meharher.livejournal.com]

А не было ли у него умысла там малого(или какого другого?) параметра, играясь с которым можно прийти к точному равенству?

[(Anonymous)]

http://en.wikipedia.org/wiki/Almost_integer

[relf.livejournal.com]

http://dxdy.ru/topic19822.html

[free4kazak.livejournal.com]

Какие же люди умные!!!

[ahtolllka.livejournal.com]

представляю себе ажиотаж после сравнения первых знаков: "уау! да я сейчас совершу революцию в науке!!", и на 43 знаке такая подстава...

[spamsink]

Круто. Мой подростковый результат: корень уравнения x=cos(x) отличается от (π/160)^-13 примерно на 2.39*10^-7 - тут и рядом не стоял.

[kobak.livejournal.com]

А как Вы это обнаружили?

[kobak.livejournal.com]

На мой взгляд, авторы занимаются очень странной деятельностью.

"This raises the intriguing question of how many more such formulas will be found when computers many thousands of times more powerful are available".

По-моему, трудно придумать менее интересный вопрос.

[gaz-v-pol.livejournal.com]

Думается мне, что когда компьютеры станут ещё на несколько порядков более мощными, математическая жизнь изменится. В частности, окажется, что имеется огромное множество новых формул. Выяснится, что мы пока каплю в море вручную нашли. Сейчас обычное дело, что если есть формула (найденная эмпирически или с помощью компьютера) -- она доказана. Случаи, когда формула предполагается верной, но не доказана -- единичны. Думается мне, что на нашей жизни ситуация изменится -- будет огромное количество красивых формул, которые верны до миллиона знаков, а доказательство есть лишь у мизерной их части...

[yms.livejournal.com]

если бы не косинус с интегралом, то сошло бы за бытовое доказательство бытия Божьего. "Ну вы же не станете утверждать, что это случайно?"

[rus4.livejournal.com]

чего-то непонятно, почему они близки, и по ссылке тоже нет объяснения(

[gaz-v-pol.livejournal.com]

Вот ещё один пример (спасибо relf). Пусть и для любого n



Если начать вычислять, оказывается, что последовательность состоит из натуральных чисел. Чудо случается после 42ого члена (43ий -- первый дробный), см. http://oeis.org/A003504

[rus4.livejournal.com]

вот тут (http://mathoverflow.net/questions/15444/the-phenomena-of-eventual-counterexamples) еще пишут про пример последовательности посложнее, но и целочисленной подольше

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Была ещё какая-то простая формула, значение которой равнялось "почти" целому числу -- т.е. штук 20-30 цифр, точка, штук 10-40 нулей, и только потом шли ещё цифры.

[rus4.livejournal.com]

наверно, Вы про это (http://mathoverflow.net/questions/4775/why-are-powers-of-exppisqrt163-almost-integers)

[(Anonymous)]

Подождите, до сих пор не было ссылки http://www.xkcd.com/217/ ?

[priklucheniya.livejournal.com]

а вы не проверяли, или не писали когда либо статью на тему что больше е в степени пи или пи в степени е? было бы интересно разобраться с этим вопросом. к сожалению сам непонимаю как это выяснить.

[anatoly borodin (from livejournal.com)]

Возьмите калькулятор и посчитайте, 23.140692632779263 против 22.45915771836104 — разницу видно отлично.