удивительное - рядом (математическое)

[avva]

Значение этого интеграла:



равно 0.392699081698724154807830422909937860524645434187231595926812285162...

что очень, очень близко к pi/8. Расхождение начинается после 42-го знака.

pi/8 = 0.392699081698724154807830422909937860524646174921888227621868074038...

Удивительный факт.

(источник: интересная статья David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Future Prospects for Computer-Assisted Mathematics)

Comments

[alex-rex.livejournal.com]

42 — это ответ.

[utnapishti.livejournal.com]

См. стр. 40 (стр. 42 файла) в "Proofs from The Book".
(Выложено, например, тут)
Там описывается сходная (хотя и не такая) ситуация: закономерность в разности между суммой бесконечного ряда и его частичныыми суммами. При этом имеется ссылка на статью, один из авторов которой - тот же Borwein (а второй - другой Borwein).

[gaz-v-pol.livejournal.com]

Леонард Эйлер раскладывал многочлены вида x^n-1 на множители с целыми коэффициентами. Заметил, что если разложить на неприводимые, все ненулевые коэффициенты всех многочленов получаются 1 или -1. Например:



Неленивый Эйлер проверил гипотезу вплоть до n=100. Всё подтверждается, а доказать не выходит!

Эйлер умер, так и не узнав, что первое n, при котором гипотеза неверна, есть n=105 (появляется коэффициент -2).

[maxlethal.livejournal.com]

Интересно, спасибо!

[avva.livejournal.com]

Отличный пример, спасибо!

[andronic.livejournal.com]

Вот я тоже подумал.
Главный Вопрос Жизни, Вселенной и Всего Такого - это то, что Г.Б-г в процессе творения недооценил въедливость своих созданий. Думал - ну такая уж аккуратность в работе будет достаточно, более мелких шероховатостей ни в какой самый крутой мелкоскоп не разглядят.
А они таки разглядели.

[callis.livejournal.com]

Какая прекрасная история!

[avva.livejournal.com]

Тоже интересно, спасибо :)

[diana-shipilova.livejournal.com]

Теорему, обратную малой теореме Ферма для основания 2, тоже долго пытались доказать, все степени перебрали до трёхсот, а потом нашли контрпример: 341. 2³⁴⁰ сравнимо с 1 по модулю 341, но при этом 341 не простое.

[zumba.livejournal.com]

http://en.wikipedia.org/wiki/Fine-structure_constant#Numerological_explanations

[hml.livejournal.com]

я совсем не математик (хуже того -- физик), но всегда воспринимал как нормальную ситуацию, когда при преобразовании формул, включающих тригонометрические функции где-нибудь да вылезает число Pi. А вот если оно вылезает из совсем не тригонометрических функций -- это уже что-то близкое к чуду.

Ну и, естественно, меня со школьных времен приводит в священный трепет появление логарифма при интегрировании функции 1/x. Это просто невероятно!

[utnapishti.livejournal.com]

См. ещё второе и третье равенство здесь:
http://www.plouffe.fr/simon/

(А сразу за ними начинаются тёмные истории...)

[avva.livejournal.com]

Мда, не очень приятная история.

[ztarlitz.livejournal.com]

Ну это и не пи, а просто похожее на него число.
Мне кажется, если кому-нибудь посчастливиться что-нить такое сделать с целыми числами, что результатом будет число совпадающее до последнего знака с Пи. Все равно я его за Пи считать не буду)))

[utnapishti.livejournal.com]

Неужели до сих пор приводит в трепет? Ведь 1/(1+х) получается из х-х^2/2+х^3/3-х^4/4+... почленным дифференцированием, а ln(1+x) можно считать лишь названием суммы этого функционального ряда...

Или по-другому (хотя это практически то же самое): основные тригонометрические, экспоненциальные, логарифмические функции разлагаются в ряды с довольно простыми закономерностями в коэффициентах. Неудивительно, что при арифметических операциях и дифференцировании они довольно часто переходят друг в друга.

[utnapishti.livejournal.com]

Пардон, до какого знака?..

Кстати, вот пример выражения Пи через целые числа:
http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product

[salas.livejournal.com]

Вы уверены, что считать логарифм названием суммы ряда — естественно?

[lucky--man.livejournal.com]

Действительно красиво!
Хотя если подумать, относительно коротких комбинаций разных математических символов очень много, поэтому чисто статистически можно посчитать вероятность возникновения таких "необычных равенств" (двух близких чисел, не имеющих никакого отношения друг другу). Думаю, она будет вполне себе велика.
Похоже на тот факт, что вероятность получить в классе 30 учеников двух с одинаковыми днями рождения поразительно большая.

[utnapishti.livejournal.com]

Смотря в какой ситуации. Для первого ознакомления - конечно же, нет.
Но, по-моему, дойдя до функциональных рядов, имено что естественнее всего сказать: начиная с этого момента такие-то ряды являются определением таких-то функций. Иначе получается слишком много вранья: например, практически всё, что говорится в стандартном курсе анализа про тригонометрические функции, (например, sin'(x)=cos(x) ), в конечном счёте следует из предела sin(x)/x в x=0, а на каком определении синуса это висит? Увы, на геометрическом. Далее, мы говорим, что интеграл строго обосновывает понятия площади и длины кривой, и "доказываем", что площадь круга Пи (через интеграл (1-x^2)^{1/2} ), и длина окружности 2 Пи, но если задуматься, что было взято за определение Пи, то непременно окажется, что один из этих фактов.

[meharher.livejournal.com]

А не было ли у него умысла там малого(или какого другого?) параметра, играясь с которым можно прийти к точному равенству?

[utnapishti.livejournal.com]

Посмотри ещё на это. Это кажется уже совсем похожим на то, о чём ты написал, но выглядит ещё неожиданнее: до какого-то момента выражение равно Пи, а потом перестаёт:
http://en.wikipedia.org/wiki/Borwein_integral

[avva.livejournal.com]

Офигительно :)

[38irtimd.livejournal.com]

меня недавно поразил сюжет про то что e^\pi^\sqrt{163} очень близко к целому числу (almost intereger, как говорят). поразил не сам факт, а то, что ему есть научное объяснение происходящее из теории полей классов, а именно из теоремы, описывающей максимальные абелевы расширения мнимых квадратичных расширений поля рациональных чисел.

про это энциклопедично рассказывается здесь (http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_constant#Almost_integers_and_Ramanujan.27s_constant) и задорно здесь (http://lj.rossia.org/users/dmitri83/43308.html?thread=142124#t142124)

[(Anonymous)]

http://en.wikipedia.org/wiki/Almost_integer

[free4kazak.livejournal.com]

Какие же люди умные!!!