задачка (математическое)

[avva]

Забавная задачка из теории вероятностей, с весьма анти-интуитивным условием.

Алиса и Боб - идеальные математики. Алиса показывает Бобу набор из m конвертов, в каждом из которых либо лежит долларовая монета, либо не лежит ничего. Алиса объясняет, что она выбрала количество конвертов, в которых лежит монета, случайным образом (необязательно равномерно случайным).

Алиса: "Если ты выберешь конверт наугад, каково матожидание суммы, которую ты получишь?"

Боб: "Это зависит от того, какую функцую ты использовала для выбора числа конвертов."

Алиса говорит Бобу, какую функцию она использовала на самом деле, и он вычисляет матожидание. После этого он вытягивает конверт наугад, и обнаруживает в нем доллар. Алиса отдает этот доллар Бобу, и перемешивает пустой конверт с оставшимися. "Теперь, когда денег на доллар меньше, а конвертов столько же, каково матожидание суммы, что ты получишь, если опять вытащишь конверт наугад?"

"То же, что и раньше" - отвечает Боб.

1. Предположим, Алиса выбрала кол-во конвертов с монетами путем равномерного выбора числа от 0 до m включительно. Чему равно m?

2. Можете ли вы придумать другую функцию выбора для Алисы, которая работает для какого-то m?

[внимание, в комментариях уже есть правильные ответы, так что не заглядывайте, если хотите самостоятельно решить]

Comments

[avva.livejournal.com]

Для случая равномерного выбора кол-ва монеток (пункт 1) нужно проверить для каких m выбор pk=1/m подходит в уравнение.

Тут мелкий промах: на самом деле p_k = 1/(m+1). Это приводит к правильному ответу (m=4, а не m=7). Остальное все безупречно :)

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

Спасибо!

Обидная ошибка :)

к формулировке условия

[falcao.livejournal.com]

Я только после прочтения коммента _winnie понял, о каком сравнении матожиданий вообще идёт речь. (Правда, у меня получилось m=4, а не m=7 после пересчёта.) Мне кажется, задача в посте сформулирована как-то не вполне точно.

Прежде всего, что означает фраза Алисы:

> "Если ты выберешь конверт наугад, каково матожидание суммы, которую ты получишь?"

Я понимаю это дело так: можно либо говорить о матожидании суммы денег в конвертах, и тогда она никак не зависит от того, что мы берём конверт. Можно говорить о матожидании содержимого случайно взятого конверта, но в этом случае непонятна роль слова "сумма".

Ясно, что вероятность обнаружить доллар в случайно взятом конверте равна 1/2 из соображений симметрии: случай k=0 "симметричен" случаю k=m, и так далее. (Можно считать, что в конвертах без долларов лежат "антидоллары", и тогда полная симметрия бросается в глаза.)

Исходя из аддитивности матожидания, ясно, что оно равно m/2, если говорить о сумме всех конвертов. Но это просто матожидание суммы, и выбор конверта здесь никак не участвует вообще.

Вторую величину, которую надо будет далее сравнить с m/2, довольно трудно описать совсем коротко и "занимательно". Фактически, речь идёт о тех ситуациях, в которых случайно выбранный конверт оказался с долларом, и далее подсчёт "среднего" (после опустошения конверта) идёт только в пределах подмножества всего множества элементарных событий. Ведь конверт мог быть пустым, и такие случаи не учитывает новая статистика. Если бы она их учитывала, то, конечно, матожидание уменьшилось бы на 1/2 по сравнению с тем, что было.

В такой постановке, как у Вас написано, то есть

> "Теперь, когда денег на доллар меньше, а конвертов столько же, каково матожидание суммы, что ты получишь, если опять вытащишь конверт наугад?"

вопрос выглядит как минимум двусмысленно. Потому что при одной из интерпретаций совершенно ясно, что матожидание уменьшится. И здесь, мне кажется, необходимо в какой-то форме чётко указать на то, что это "условное" матожидание, и что относится оно только к ситуациям "успеха" (конверта с долларом при случайном выборе), а не ко всем ситуациям вообще.

Кстати, ещё одно "мелкое" замечание: фраза, что Алиса отдаёт доллар Бобу (а не откладывает его в сторону), способна немного сбить с толку. Потому что возникает предположение о том, что это доллар "гарантированно" мог войти в "сумму", которая "причитается" Бобу.

[kobak.livejournal.com]

Можно говорить о матожидании содержимого случайно взятого конверта, но в этом случае непонятна роль слова "сумма".

:) Должен признаться, что у меня осознать смысл условия заняло примерно столько же времени, сколько потом решить задачу, и всё из-за этого слова "сумма". В этой фразе оно употреблено не в математическом, а в житейском смысле: некоторое количество денег (Вы, может быть, думаете, что сумма незначительная? Тургенев -- пример из Ушакова).

гвоздь программы

[falcao.livejournal.com]

Да, я обратил внимание на это же самое! Именно при таком толковании возникало подозрение, что доллар, отданный Бобу, уже есть часть его выигрыша. Хотя его надо было просто убрать из поля зрения.

Я сейчас вспомнил очень смешной случай из школьного учебника. Там рассказывалось о большой "рачительности" товарища Калинина, "всесоюзного старосты". Он посетил какую-то стройку, подобрал там гвоздь. Спрашивает: "куда положить?" Рабочие смутилсь: "да куда угодно, Михаил Иванович!" А тот им с улыбкой: "куда угодно нельзя -- пропасть может!" :)

Я бы объявил нечто вроде "конкурса" на лучшую редакцию условия задачи (теперь уже всем понятной).