задачка (математическое)

[avva]

Забавная задачка из теории вероятностей, с весьма анти-интуитивным условием.

Алиса и Боб - идеальные математики. Алиса показывает Бобу набор из m конвертов, в каждом из которых либо лежит долларовая монета, либо не лежит ничего. Алиса объясняет, что она выбрала количество конвертов, в которых лежит монета, случайным образом (необязательно равномерно случайным).

Алиса: "Если ты выберешь конверт наугад, каково матожидание суммы, которую ты получишь?"

Боб: "Это зависит от того, какую функцую ты использовала для выбора числа конвертов."

Алиса говорит Бобу, какую функцию она использовала на самом деле, и он вычисляет матожидание. После этого он вытягивает конверт наугад, и обнаруживает в нем доллар. Алиса отдает этот доллар Бобу, и перемешивает пустой конверт с оставшимися. "Теперь, когда денег на доллар меньше, а конвертов столько же, каково матожидание суммы, что ты получишь, если опять вытащишь конверт наугад?"

"То же, что и раньше" - отвечает Боб.

1. Предположим, Алиса выбрала кол-во конвертов с монетами путем равномерного выбора числа от 0 до m включительно. Чему равно m?

2. Можете ли вы придумать другую функцию выбора для Алисы, которая работает для какого-то m?

[внимание, в комментариях уже есть правильные ответы, так что не заглядывайте, если хотите самостоятельно решить]

Comments

[maraz-m-moroz.livejournal.com]

Экая славная задача для вечера пятницы!

[rezoner.livejournal.com]

Как это может быть, если количество долларов уменьшилось на один?

[avva.livejournal.com]

Вот поэтому очень анти-интуитивная :)

[shvarz.livejournal.com]

Как минимум если m бесконечно?

[renivid.livejournal.com]

В каждый конверт по доллару положила. Сколько не уменьшай, матожидание не изменится.

[moola.livejournal.com]

Например, было 3 конверта, а монет либо 0 либо 2

[p_govorun.livejournal.com]

Но зато мы теперь знаем, что доллары там есть.

Аналогия: если я сорвал в лесу гриб, надо искать дальше, несмотря на то, что грибов теперь на один меньше.

[ksega.livejournal.com]

Ответ на 1 вопрос кажется m=4
Над вторым думаю....

[ksega.livejournal.com]

Для второй части условие

(Sum(k*P_k,k=0..m))^2= Sum((k^2-k)*P_k,k=0..m)

Например для двух конвертов
P(0)=25/32 P(1)=6/32 P(2)=1/32

[(Anonymous)]

1)2 конверта. 50% - 2, 50%-0

[spamsink.livejournal.com]

На вторую часть ответ прост: 2 конверта, функция равновероятно дает 0 или 2. Что до вытаскивания, что после - матожидание полдоллара.

[spamsink.livejournal.com]

1. m=0

[c0nfigure.livejournal.com]

1) m=4, безусловное распределение - равномерное, условное распределение - линейное.

[kalvado.livejournal.com]

Лень думать точнее, но должна быть функция с большой вероятностью "количество монет К= 0"
Тогда факт наличия монеты в одном конверте исключит случай К=0, и матожидание получения монеты может возрасти.

[c0nfigure.livejournal.com]

2) любое распределение на 0,1,...,m, у которого var = mean

[huzhepidarasa.livejournal.com]

они же в разных единицах измеряются

[kobak.livejournal.com]

Ответ на первый вопрос, кажется, 8. Отличная задача!

[kobak.livejournal.com]

Виноват, в последней строчке вычислений минус с плюсом перепутал. Не 8, а 4!

[abys.livejournal.com]

7

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

Начну с пункта 2.
Все суммы тут от 0 до m, Σ_kf(k) = Σ_k=0,1,..,mf(k)

Пусть вероятности гипотез H₀, H₁, ... , H_m что там 0,1,..m монеток равны p₀, p₁, ..., p_m. Их сообщает Алиса Бобу.

Мат-ожидание E₁ количества монеток равно Σ_i p_i*i

Посчитаем вероятности гипотез после того как Боб увидел монетку (событие M), т.е. P(H_k | нашёл монетку в случайном конверте) = P(H_k | M ).
По теореме Байеса:

P(H_k | M ) = P(H_k) * P(M|H_k) / P(M) = p_k * (k/m) / (Σ_i p_i * i/m) =p_k * k / (Σ_i p_i * i) = p_k * k / E₁

Матожидание E₂ количества монеток после события М:
E₂ = Σ_k P(H_k | M )*(k-1) = Σ_k (p_k * k / E₁) * (k-1) = (Σ_k p_k * k * (k-1)) / E₁

Имеем уравнение E₁ = E₂

(Σ_k p_k * k * (k-1)) / E₁ = E₁
(Σ_k p_k * k * (k-1)) = E₁²     (I)

Для двух конвертов с распределением монеток p₀, p₁, p₂ это (I) превращается в уравнение
p₂ * 2*(2-1) = (p₁*1 + p₂ *2)²
Так же ограничение на то, что p₀ + p₁ + p₂ = 1

Решением для двух конвертов является например p₀ = 1/2, p₁ = 0, p₂ = 1/2 плюс ещё бесконечно много решений ( два уравнения, три неизвестных ).

Решать в общем случае это квадратное уравнение для любого m не хочется :] Там два уравнения и (m+1) неизвестных, выбор богатый.

Пример выбора функции для любого m (пункт 2) - это взять случай с двумя конвертами и распространить его на все остальные.
p₀ = 1/2, p₁ = 0, p₂ = 1/2, p₃ = p₄ = ... p_m = 0.

Для случая равномерного выбора кол-ва монеток (пункт 1) нужно проверить для каких m выбор p_k=1/m подходит в уравнение.

Уравнение (I) превращается в

Σ_kk(k-1)/m = 1/m²(Σ_kk)²
или
m*Σ_kk(k-1) = (Σ_kk)^2

При m=7 видим справа и слева 784 784

Единственность можно доказать, исходя из того что предел на бесконечности равен 3/4

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

Более простыми словами, про общий случай для произвольного m

Алиса с вероятностями 1/2 кладёт монетки или в 0 конвертов, или в 2 конверта.

Мат-ожидание монеток в первом случае 0*1/2 + 2*1/2 = 1

После того как Боб увидел одну монетку, это гарантировано означает что их было две, и осталась ровно одна (матожидание равно 1).

[vvyy.livejournal.com]

«Забавная задачка из теории вероятностей, с весьма анти-интуитивным условием.» — название очень подходит под сегодняшние-вчерашние события в России.

[(Anonymous)]

"выбрала количество конвертов, в которых лежит монета, случайным образом"

Это означает, что Алиса знает в каких именно конвертах(из общего числа m) лежит по монете и исключитедьно из них случайным образом выбирает некоторое колличество?

[avva.livejournal.com]

Нет, изначально в конвертах нет монет, а она выбирает, в какие вкладывать, случайным образом.

Небывалый сервис знакомтсв в России

[(Anonymous)]

Привет. Появилась порубежный сервис знакомств, там ты можешь натыкаться любого, воеже любых целей. Обычно для сайте ищут неизысканный партнера для секса, соло дозволено опричь этого сталкиваться вторую половинку сиречь тихий отношения ради что то период. Стог девушек и парней ждут тебя, заходи регистрируйся и ищи.
Что ищет, тот всегда найдет.
[url=http://pipafici.webege.com/intim-portal.html]интим портал[/url]
[url=http://difiyez.site90.net/domashnee-lubitelskoe-intim-foto.html]домашнее любительское интим фото[/url]
[url=http://wuluwiyi.net84.net/znakomstva-intim-krivoy-rog.html]знакомства интим кривой рог[/url]
[url=http://giholope.host56.com/intim-vakansii-dlya-muzhchin-v-moskve.html]интим вакансии для мужчин в москве[/url]
[url=http://presomtofdu.my3gb.com/gey-znakomstva-v-minske.html]гей знакомства в минске[/url]

порно онлайн

[(Anonymous)]

[url=http://letseks.net/mov/best/chastnoe-1.html]русское частное порно[/url]

Видео с членом этого форума!

[(Anonymous)]

Вы уже знаете об этом ?

Видео с членом этого форума было загружено на YouTube!
Его настолько шокирующая ...
Вы должны знать об этом.
Вы должны это увидеть!
Это действительно она - просто посмотрите внимательно.

Вот URL:

---
Было Добавлено:
К сожалению, он был удален на YouTube!
Добавлено здесь:

http://www.downloadsoftik.com/

Итак, наш герой ...
То, что вы говорите своим родителям после этого?

upon initiation of sexual activity after vardenafil

[(Anonymous)]

Stop using vardenafil right away if [url=http://buylevitraonlineone.com/]levitra buy[/url] the episode with your prescriber or

affecting about 70% of

[(Anonymous)]

Since that time, it has [url=http://buyviagraonlineone.co.uk/]buy viagra online[/url] comfort is on everyone's mind.

xyristx

[(Anonymous)]

Юридический центр Прайм предлагает услуги физическим и юридическим лицам. Суды иски арбитраж(составление заявлений жалоб претензий) гарантия опыт.В нашем офисе или по телефону (812) 385-56-90 вы можете получить консуьтации следующих специалистов : [url=http://lcspb.ru]юрист[/url] [url=http://lcspb.ru]адвокат[/url] [url=http://lcspb.ru/voennoe-pravo]военный юрист[/url]
[url=http://lcspb.ru/voennoe-pravo]военный адвокат[/url] [url=http://lcspb.ru/zemelnoe-pravo]земельный юрист[/url] [url=http://lcspb.ru/semeynoe-pravo]семейный юрист[/url] [url=http://lcspb.ru/strahovye-spory]страховой юрист[/url]
[url=http://lcspb.ru/trudovoe-pravo]трудовой юрист[/url] .Помогаем разрешить конфликтные ситуации с [url=http://lcspb.ru/departament-zhilishchnogo-obespecheniya]джо мо рф[/url] [url=http://lcspb.ru/departament-zhilishchnogo-obespecheniya]департамент жилищного обеспечения[/url] . Помогаем с военной ипотекой, [url=http://lcspb.ru/nakopitelno-ipotechnaya-sistema-obespecheniya]военная ипотека[/url] [url=http://lcspb.ru/privatizaciya-zhilya-voennosluzhashchimi]жилье военным[/url] . [url=http://lcspb.ru]юридическая консультация[/url] .
Через нас вы можете [url=http://lcspb.ru/nedvizhimost]купить квартиру[/url] [url=http://lcspb.ru/nedvizhimost]продать квартиру[/url] [url=http://lcspb.ru/nedvizhimost/soprovozhdenie-sdelok]юридическое сопровождение сделок с недвижимостью[/url] .




Мы любим рассуждать о книга, будто было желание неплохо жить по европейски, по закону и правилам, которые не в коей мере не ущемляют наши права, впрочем нормы права разрешают гражданам пользоваться своими правами таким образом, дабы они не нарушали прав других лиц. Присутствовать этом кайма среди правами одних и других лиц довольно тонкая и преступление этой грани неизбежно приводит к возникновению конфликта. Всетаки для практике вконец часто одно лицо сознательно нарушает права других лиц. Вследствие того, сколько лицо, чьи права нарушены как корень не обладает необходимой информацией для защиты своих прав, оно попадает в непонятную и запутанную ради него ситуацию. При этом не в коем случае тезис о необходимости обратится к качественному юристу и адвокату на ранней стадии не кому не приходит. Однако пытаются нюхать помощи знакомых, друзей, родственников, при этом получая безгранично сомнительные с точки зрения юриста законы, и сознательно отказываясь от квалифицированной юридической помощи адвоката alias юриста.