о конечных полях (математическое)

[avva]

(вряд ли кому-то будет интересно)

Малая теорема Веддерберна гласит, что любое конечное тело является полем. Я люблю простое ее доказательство, которое пересказано вкратце в английской Википедии - там внезапно, как черт из табакерки, выскакивают круговые многочлены и комплексные корни из единицы и решают проблему.

В статье On Wedderburn's Theorem About Finite Division Algebras, вообще-то посвященной исправлению первоначального доказательства Веддерберна (в котором была дырка), нашелся любопытный список из более чем 20 разных доказательств. Среди них есть как использующие глубокие результаты, так и вполне элементарные (как, например, это доказательство Герштейна, еще более элементарное, чем вышеуказанное, но какое-то муторное и неинтересное). Может, кому-то еще понравится.

Comments

[avva.livejournal.com]

А какое это док-во из того списка? Артина? Или дай ссылку на какое-то его стандартное изложение? Интересно прочитать.

[roma.livejournal.com]

видимо, это доказательство Нетер от 1928 г. Возможно, оно есть в кинжке Серра "Topics in Galois Theory", 4.6.
Если мы знаем, что все конечные поля данного размера изоморфны, то отсюда, имея немного общей структурной теории тел, следует, что все максимальные коммутативные подполя сопряжены. А значит любой элемент сопряжен элементу из данного максимального коммутативного подполя. Теперь остается применить тот факт про подгруппу в конечной группе к мультипликативной группе тела, в которой содержится мультипликативная группа подполя.

[certus.livejournal.com]

Красиво.

[avva.livejournal.com]

Там нет, но нашел изложение во втором томе ван дер Вардена Modern Algebra, section 131. Действительно красиво. Факт из теории групп, который ты упомянул, там формулируется так: истинная подгруппа вместе со всеми своими сопряженными копиями не может целиком покрыть конечную группу (ясно, что это одно и то же, упоминаю просто потому, что эта формулировка показалось мне почти очевидной, в отличие от твоей).