мимоходом об интегралах

[avva]

В замечательной книге T.W.Korner'а A Companion to Analysis автор обсуждает вкратце вопрос, стоит ли вообще не преподавать студентам интеграл Римана, а начинать сразу с интеграла Лебега. Были и есть видные математики, которые считают, что именно так следует поступать. Замечание Корнера на эту тему заслуживает цитирования:

"It is frequently claimed that Lebesgue integration is as easy to teach as Riemann integration. This is probably true, but I have yet to be convinced that it is as easy to learn."

Comments

[kaathewise.livejournal.com]

Именно!

я бы сказал,

[a-shen.livejournal.com]

что по Риману стоит интегрировать непрерывные (или почти непрерывные) функции -а когда речь заходит о предельных переходах (несобственных интегралах, дифференцировании под знаком интеграла, суммировании рядов), уже другое дело.

[gimli-m.livejournal.com]

Неудержимая цитата: "Does anyone believe that the difference between the Lebesgue and Riemann integrals can have physical significance, and that whether, say, an airplane would or would not fly could depend on this difference? If such were claimed, I should not care to fly in that plane."

[avva.livejournal.com]

Прекрасная цитата, спасибо.

Re: я бы сказал,

[avva.livejournal.com]

Есть также сторонники для всех этих дел использовать обобщенный интеграл Римана (и вообще преподавать его, а не обычный).

[glukanat.livejournal.com]

Имеется ввиду интеграл Хэндстока-Курцвайля?

[avva.livejournal.com]

Ага.

[ipain.livejournal.com]

а я хотел оставить комментарий, идентичный этой цитате по аргументу, но выводимый из педагогики - типа, 'не ходите в школу где есть разница между учить и учиться'.

[alaev.livejournal.com]

Чтобы тема приобрела больший смысл, лучше бы уточнить, о каких студентах речь. Получая математическое образование, я начинал с интеграла Лебега, и понял его без особых проблем. У него есть и наглядный смысл, и не очень сложное формальное определение.

Но поскольку интегралам учат много кого, и физиков, и инженеров, в целом тема сложная.

[plakhov.livejournal.com]

Я совершенно не согласен с этим замечанием, и призываю на помощь тётю Вику: какую из этих двух картинок проще понять?

[xgrbml.livejournal.com]

Обе легко, но дело же не сводится к двум картинкам. Проф. математикам, разумеется, нужен интеграл лебега, но чтоюы его изучать с док-вами, нужна уже достаточно высокая математическая культура, а интеграл нужен уже на самом раннем этапе. Поэтому на 1 курсе лучше все равно преподавать какую-нибудь более скромную теорию интегрирования. Можно более экономную, чем интеграл Римана (см. книгу Дьёдонне по анализу).

Что же касается нематематиков, то при преподавании интегралов им достаточно сказать, что интеграл - площадь под графиком функции, а формальные теории интегрирования (что Римана, что Лебега) - бессмысленная трата времени и неуважение к студентам.

[a-konst.livejournal.com]

Разница между интегралами Римана и Лебега заключается не в том, какую из осей дробить на промежутки равной длины, а в том, какие множества умеем измерять - только интервалы или любые измеримые по Лебегу.

Можно определить интеграл Римана аналогично Лебегу, только более широкого множества интегрируемых функций все равно не получится, если уметь измерять длину только отрезков. С другой стороны, так может быть несколько менее наглядно доказывать разные свойства интеграла - аддитивность, монотонность (если дробить ось ординат, то на оси абсцисс получится три разных разбиения - для двух слагаемых и для суммы).

[plakhov.livejournal.com]

> так может быть несколько менее наглядно доказывать
> разные свойства интеграла - аддитивность, монотонность
Да, об этом я не подумал, спасибо за замечание.

[avva.livejournal.com]

Ну мы знаем, какой из них люди пере-изобретают спонтанно.

[pphantom.livejournal.com]

Именно. Если речь идет о математиках, то, пожалуй, можно начинать и с Лебега. А вот если о прикладниках, коих подавляющее большинство - не стоит.

[a-konst.livejournal.com]

Не соглашусь с предыдущими, по-моему очень неправильная мысль.
Удобство (или другие субъективные качества) инструмента, даже если это просто инструмент познания, может иметь большую роль.
Химические реакции (реальные) и их объективное влияние на нас, людей, совершенно не зависит от того, как изображать совокупность всех химических элементов. Однако же периодический закон и соотв. таблица были очень сильным шагом вперед, да и теперь из разных соображений эту таблицу перестраивают. Нам то пофигу, а вот самим химикам, видать, важно.
Интеграл Лебега играет сравнимую роль, может и не во всей математике, но по крайней мере, в современном анализе и смежных разделах (теор.вер., матфизика, ... )

[plakhov.livejournal.com]

Забавный пример, но, по-моему, он не доказывает ваш тезис. Да, имея на входе черный ящик y=f(x), вычисление интеграла Римана гораздо проще запрограммировать (т.к. обращение "чёрного ящика" ещё нужно написать). Но это не значит, что проще понять саму концепцию - ну какая разница, как на дольки резать? Если бы у д-ра Таи был на входе черный ящик x=f^-1(y), я думаю, он придумал бы интеграл Лебега.

Мне кажется более весомым соображение, высказанное a_konst: начинать преподавать с интеграла Лебега нельзя, потому что многие "очевидные" свойства интеграла перестают "очевидно" доказываться, а это педагогически плохо понятно почему.

[cema.livejournal.com]

В керосинке учили начиная с Лебега. Да ну, в общем, какая разница.

Update: в смысле, прикладную математику так учили, про остальных не знаю.

[ichthuss]

Эх, не любят физики чистых математиков.

[max630.livejournal.com]

у меня плохая память на именованные вещи, но нас на физфаке, похоже, учили интегралу Римана, а из описания интеграла Лебега я не очень понимаю, ни чем он проще в понимании, ни чем удобнее в оперировании. Скорее наоборот, он ссылается на лишние сущности, вроде обратной функции.

[max630.livejournal.com]

Если бы на входе был ящик x = f^{-1}(y), он, наверное, и придумывал бы интеграл для f^{-1}, зачем ему интеграл от f?

[xaxam.livejournal.com]

Разница не столько в определении интеграла, сколько в "подлежащей" мере. Жорданова мера гораздо проще, поскольку интуитивна (та же длина с её конечной аддитивностью, разве что не обязательно приставлять отрезки концами друг к другу). Лебегова мера с её счётной аддитивностью - гораздо более тонкий и неинтуитивный объект (плотное множество может иметь нулевую меру).

Конечно, для человека, уже усвоившего тонкости лебеговой меры, разница между интегрированием "по Жордану" и "по Лебегу" исчезает: приближать ли вертикальными полосками или горизонтальными "кусками" - разницы нет.

[xaxam.livejournal.com]

http://avva.livejournal.com/2660668.html?thread=98098236#t98098236

[janatem.livejournal.com]

Интеграл Курцвейля-Хенстока слишком мощный. Лучше МакШейна — он эквивалентен интегралу Лебега на R, но определяется не абстрактно, опираясь на теорию меры, а похожим на Римана способом.

У нас в курсе матана на мехмате лектор читал свой экспериментальный курс, в который добавил эти более сильные интегралы, но я не знаю, какова была оценка эксперимента со стороны автора и руководства университета.

[kaathewise.livejournal.com]

И мы даже знаем имя этого лектора:)

[avva.livejournal.com]

Курцвейля-Хенстока тоже определяется похожим на Римана способом.

[janatem.livejournal.com]

Да, но он строго мощнее Лебега. А мы вроде как сравниваем педагогические подходы: абстрактный (Лебег) интеграл против конкретного (Риман и др.).

[plakhov.livejournal.com]

Да вы и друг друга небось знаете отлично.

[p2004r.livejournal.com]

http://forum.ixbt.com/topic.cgi?id=15:38380

[p2004r.livejournal.com]

Тонко :)

http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1032934.html

[a-konst.livejournal.com]

Ну это чисто по опыту замечание, я много раз рассказывал про интеграл в матклассах, и "религия" не позволяет такие вещи оставлять недоказанными.
Будучи сам студентом, я думал, что нет разницы.

[avva.livejournal.com]

Так какая в этом случае разница, какой из них мощнее? Наверное, я не понимаю, что вы хотите сказать.

С педагогической точки зрения стандартная презентация интеграла Римана намного более "конкретна" и (мне кажется) легка для понимания первокурсниками, чем стандартная презентация интеграла Лебега. Интеграл К-Х почти не отличается от интеграла Римана, только использует несколько более сложное определение разбиения. Это не меняет погоды в том смысле, что его определение все еще намного более "конкретно", чем стандартный путь к Лебегу. Усложнение К-Х поверх обычного Римана кто-то может считать оправданным для стандартного первого курса по матанализу, а кто-то нет, но вряд ли найдется кто-то, кто считает, что интеграл Римана сильно легче преподавать, чем интеграл Лебега, а интеграл Лебега - сильно легче, чем К-Х.

[onanymous.myopenid.com (from livejournal.com)]

Почему нельзя определить интеграл просто как меру подграфика, а все эти определения "по Рабиновичу", "по Канторовичу" назвать свойствами, и использовать только те из них, которые нужны?

[http://users.livejournal.com/_sabiko/]

Он мощнее, обычно его проходят позже, и кмк, традиционно считается, что он существенно сложнее для понимания.
Предложение, как я понимаю, не в том, чтобы дать более удобное, а в том чтобы сразу дать обобщенное, т.к. особой разницы в трудности понимания якобы нет.

[janatem.livejournal.com]

> Так какая в этом случае разница, какой из них мощнее?
Сравнивать педагогические подходы будет чуть корректней, если изучаемые объекты в некотором смысле эквивалентны. В данном случае, если интегралы равномощны.

Что касается сложности определения, то МакШейн так же как и Риман основан на разбиении носителя, то есть, можно сказать, что Р, МШ и К-Х идейно не сильно отличаются. (Разве что у нас определения давались через предел по базе, но это вопрос удобства, да и предел по базе — не очень сложное понятие.)

Что касается сравнения «конкретного» и «абстрактного» подходов, то мне НЕ кажется, что Риман (или, как мы в этой ветке обсуждаем, МШ или К-Х) проще Лебега, хотя последний опирается на теорию меры, которая заслуживает отдельного семестра. Поэтому для первокурсников Лебег вряд ли годится, а Римана вполне можно давать школьникам (правда, без дифференциального исчисления нельзя сформулировать очень полезную и наглядную теорему Ньютона-Лейбница).

[janatem.livejournal.com]

Еще про интегралы в моей сегодняшней ленте:

[a-konst.livejournal.com]

видно, математики (и преподаватели) дурью маются, раз такая простая мысль им не приходила в голову.

ну, все-таки,

[a-shen.livejournal.com]

традиция (по-моему, разумная) состоит в том, чтобы начинать с интеграла на прямой отдельно, и тут преимущества Римана очевидны (не надо объяснять про меру). На плоскости уже можно объяснять и то, и другое сразу, собственно, сравнение тут имеет самостоятельную ценность

[perevod14.livejournal.com]

Видимо, положительная -- до сих пор так и читается. Хотя в последнее время Макшейна таки выкинули и остался только Курцвейль-Хенсток.

[onanymous.myopenid.com (from livejournal.com)]

Подавляющее большинство математиков (в т.ч. преподавателей) совершенно точно маются дурью – даже безотносительно к этому вопросу. А какой на него ответ?

Re: ну, все-таки,

[xaxam.livejournal.com]

Я понял всё, кроме "ну" вначале ;-) Мы же вроде бы соглашаемся друг с другом?

Меру Жордана от меры Лебега отделяет дополнительный предельный переход, т.е., лишний этаж логической сложности, что делает и соответствующие конструкции интеграла неравнозначно "прозрачными".

А по большому счёту, конечно, прав xgrbml: все эти заморочки придумали математики, чтоб легализовать свои извращения. Есть всего два разных интеграла: антипроизводная (первообразная), которой пользуются при решении дифуров, и площадь под графиком, которой пользуются в приложениях. Главная задача студента - их не перепутать ;-)

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Спасибо, теперь я понял, в чем разница между умножением 9 человек на 2 литра и умножением 2 литров на 9 человек.

[plakhov.livejournal.com]

Ого, это не входило в мои планы. Мне кажется, моё рассуждение в том случае непригодно. Вычислительно 9 + 9, конечно, проще, чем 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, но afaik такой аргумент никто из условных "сторонников армейской педагогики" не приводил.

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Я к тому, что нам надо вычислить интеграл постоянной ф-и плотности распределения молока. Его можно вычислять как сумму площадей вертикальных столбиков, а можно как сумму площадей горизонтальных полосок.

[clear-journal.livejournal.com]

Прошло шесть лет с тех пор как я прослушал этот курс, и думал что больше никогда в жизни не услышу про эти замечательные интегралы