о геометрических задачах

[avva]

knop предлагает задачку:

В треугольнике ABC угол B = 50 градусов, угол C = 30 градусов. Внутри треугольника выбрана точка M так, что угол MBC = 20 градусов, угол MCB = 10 градусов. Докажите, что AM перпендикулярно BC.

Тригонометрические решения не интересуют. Геометрическое - чем проще, тем лучше - интересует, и очень.

У него в комментариях есть уже геометрические решения, включая довольно простое. Если хотите добавить свое, можно прямо там.

Я попытался решить, просто чтобы посмотреть, не изменилось ли мое отношение к таким задачам. Нет, не изменилось: я не люблю и не умею решать такие геометрические задачи. Причем не знаю, что тут раньше - "не люблю" или "не умею"; скорее всего, это такие курица и яйцо. У меня всегда была дырка в голове там, где у других людей расположена геометрическая интуиция. Помните шутливую разбивку математиков на алгебраистов и аналитиков согласно тому, как они едят кукурузу? В моем представлении геометры берут початок кукурузы, держат его над открытым ртом, и трясут, ожидая при этом, что зерна сами упадут в рот. Что удивительно, они действительно падают, но только у геометров.

Когда я участвовал в математических олимпиадах, геометрические задачи всегда были самой ненавистной их частью. Первым делом, получив задание, я искал геометрическую задачу и пытался понять, есть вообще хоть какой-то шанс или лучше даже не пытаться.

Однажды, когда я был не помню в каком классе, в облоно решили устроить подготовительные тренировки для призеров областной олимпиады по математики, которые должны были ехать на республиканскую. Нас собрали в флигеле одной из центральных школ города на несколько интенсивных встреч, в течение которых разные учителя-математики решали с нами задачи и учили всяким полезным трюкам. Все это было мне не очень интересно, кроме уроков с геометром, дряхлым, еле ходившим старичком с хриплым тихим голосом. Он много замечательного рассказывал о геометрии, но главное, обладал какими-то сверхъестественными способностями решать геометрические задачи с помощью дополнительных построений. Мы приходили к нему с задачами из сборника, которые он до того не видел - и через несколько секунд после взгляда на условие он говорил, что нужно провести и какую точку отметить и как из этого следует, что нужно. Мне это казалось абсолютным волшебством, магией. Никогда не видел ничего подобного ни до того, ни после. Я лучше помню этого старичка, с которым говорил всего несколько часов в жизни, чем все другие подготовки и сами олимпиады того года.

Comments

[a-konst.livejournal.com]

Среди олимпиадных задач по геометрии такие есть, но далеко не большинство.
По видимости олимпиадная геометрия не имеет отношения к современной глубокой геометрии, но, парадоксальным образом, способность решать олимпиадную геометрию красиво ко многим приходит вместе со знакомством с более глубокой, не-школьной, математикой.

[pffnzrpb.livejournal.com]

Я сужу исключительно по скромному личному опыту. Года полтора назад, отучившись пять курсов на физика, из чистого любопытства попробовал порешать задачки городской олимпиады по математике. Олимпиадной математикой я не занимался с восьмого класса, и хотел проверить, лучше или хуже у меня получится спустя столько времени. К моему удивлению, задачи пошли очень легко, гораздо проще чем в детстве. Но геометрические оказались самыми трудными. В задачах другого типа главным преимуществом меня-взрослого надо мной-ребенком было умение строго рассуждать. В геометрических же задачах единственным преимуществом была готовность перебирать большое число вариантов прежде чем какой-то даст нужный результат. В целом, именно геометрические задачи в наибольшей степени расстраивали своей искусственностью.

Я сильно подозреваю, что умение того старичка, о котором пишет Авва, заключалось в знании большого количества типов дополнительных построений, и умении выбрать из них наиболее вероятно подходящее, исходя из сходства с ранее решенными задачами. И что студенты, познакомившиеся с более глубокой геометрией, лучше решают элементарные задачи на планиметрию в основном из-за того же, из-за чего я, физик, решаю их лучше детей -- из-за большей систематичности мышления. Кроме того, на сколько я понимаю, геометры, даже современные часто вынуждены представлять в голове довольно сложные фигуры. Это тоже, конечно, помогает.

Еще хочу добавить, что решал более "естественные" задачи из элементарной геометрии. Доказывал, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, например. Они показались гораздо интереснее олимпиадных задач.

[a-konst.livejournal.com]

Про современные (последние лет 5) геометрические олимпиадные задачи мне обсуждать сложно, поскольку я не в теме. И вообще с олимпиадной геометрией есть проблема, что ее трудно придумать красивой. Поле перепахано, и интересные и не-искусственные сюжеты все сложнее находить. Некоторые люди, из тех, что регулярно придумывают на питерские и российские олимпиады геометрию, знаю, делают это именно так - рисуют почти случайно сложное построение, потом половину стирают, получается задача.

Так что в некоторой степени Вы правы.
Но лишь в некоторой - если бы так было дело со всеми геометрическими задачами, эта область не привлекала бы столько внимания и интереса. Канонические образцы красивых задач по планиметрии - сборники Прасолова и Шарыгина, например.

С другой стороны, даже красивую задачу можно, конечно, решить, "продолбив" перебором вариантов или счетом. Но если бы успешность решения олимпиадной геометрии состояла только в систематичности мышления и аккуратности перебора, то это было бы заметно и на других типах задач. У меня есть коллега по ЮМШ (судя по другому комментарию, Вы можете его знать - Виталий Вальтман), который просто с запредельным каким-то мастерством решает задачи по теории чисел. Очень часто я, увидев его решение, впадал в ступор - ну как это можно придумать, кроме как тупым перебором всех известных теорем и модулей? Между тем он явно не занимается таким перебором.

Дело, видимо, в том, что в какой-то области у человека вырабатывается интуиция о том, какие методы к чему могут привести в какой ситуации. Причем именно методы рассуждений, а не отдельные теоремы.

[pffnzrpb.livejournal.com]

Мы, видимо, разные вещи понимаем под словом "интуиция". Когда много берешь интегралов, тоже начинаешь просто "видеть", какую замену нужно сделать, чтобы интеграл взялся, или когда нужно взять по частям, или продифференцировать по параметру. Это одни сорт интуиции, тот о котором вы говорите. С другой стороны, то что я имел в виду под геометрической интуицией, это возможность что понять, до чего-то догадаться, апеллируя к неформальному чувственному образу, картинке. Это другой тип интуиции. Пуанкаре еще писал про разделение математиков на логиков и интуитов, имея в виду интуицию именно в этом смысле.

То что я пытаюсь сказать, это то, что второй, "картиночный" тип интуиции, не очень работает для планиметрии, хотя, казалось бы, она сама картиночна по своей природе. По крайней мере мне, лично, такая интуиция больше помогает в мат. анализе, чем в планиметрии.

Почему у разных людей первый тип интуиции вырабатывается на разное, и от чего это зависит, тоже, конечно, интересный вопрос.

[a-konst.livejournal.com]

"Когда много берешь интегралов, тоже начинаешь просто "видеть", какую замену нужно сделать, чтобы интеграл взялся, или когда нужно взять по частям, или продифференцировать по параметру"
русский солдат столько брюквы не съест!
Нее, я столько интегралов не возьму, чтобы выработалась такая же интуиция, как на планиметрию :)

Я имел ввиду как раз "картиночную" интуицию, образную, по Вашей классификации. Дело в том, что я "вижу", какой метод применить, не столько в смысле "а, тут углы, значит надо провести окружность, в которую они все будут вписаны", сколько в смысле методов типа "я хочу доказать вот эту гипотезу, но она не зависит от этого данного, значит такие попытки доказать ее бесполезны", или обобщение задачи в правильную сторону - часто более общую формулировку легче доказать.

Впрочем, действительно, в матанализе мне эта образная интуиция помогает гораздо сильнее, солидарен с Вами.

[pffnzrpb.livejournal.com]

Если помогает "картиночная" интуиция в планиметрии, здорово. Для меня это неожиданность.

Рад, что мы достигли взаимопонимания)