о геометрических задачах
Dec. 23rd, 2013 02:43 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avva![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif){kind=small}
knop предлагает задачку:В треугольнике ABC угол B = 50 градусов, угол C = 30 градусов. Внутри треугольника выбрана точка M так, что угол MBC = 20 градусов, угол MCB = 10 градусов. Докажите, что AM перпендикулярно BC.
Тригонометрические решения не интересуют. Геометрическое - чем проще, тем лучше - интересует, и очень.
У него в комментариях есть уже геометрические решения, включая довольно простое. Если хотите добавить свое, можно прямо там.
Я попытался решить, просто чтобы посмотреть, не изменилось ли мое отношение к таким задачам. Нет, не изменилось: я не люблю и не умею решать такие геометрические задачи. Причем не знаю, что тут раньше - "не люблю" или "не умею"; скорее всего, это такие курица и яйцо. У меня всегда была дырка в голове там, где у других людей расположена геометрическая интуиция. Помните шутливую разбивку математиков на алгебраистов и аналитиков согласно тому, как они едят кукурузу? В моем представлении геометры берут початок кукурузы, держат его над открытым ртом, и трясут, ожидая при этом, что зерна сами упадут в рот. Что удивительно, они действительно падают, но только у геометров.
Когда я участвовал в математических олимпиадах, геометрические задачи всегда были самой ненавистной их частью. Первым делом, получив задание, я искал геометрическую задачу и пытался понять, есть вообще хоть какой-то шанс или лучше даже не пытаться.
Однажды, когда я был не помню в каком классе, в облоно решили устроить подготовительные тренировки для призеров областной олимпиады по математики, которые должны были ехать на республиканскую. Нас собрали в флигеле одной из центральных школ города на несколько интенсивных встреч, в течение которых разные учителя-математики решали с нами задачи и учили всяким полезным трюкам. Все это было мне не очень интересно, кроме уроков с геометром, дряхлым, еле ходившим старичком с хриплым тихим голосом. Он много замечательного рассказывал о геометрии, но главное, обладал какими-то сверхъестественными способностями решать геометрические задачи с помощью дополнительных построений. Мы приходили к нему с задачами из сборника, которые он до того не видел - и через несколько секунд после взгляда на условие он говорил, что нужно провести и какую точку отметить и как из этого следует, что нужно. Мне это казалось абсолютным волшебством, магией. Никогда не видел ничего подобного ни до того, ни после. Я лучше помню этого старичка, с которым говорил всего несколько часов в жизни, чем все другие подготовки и сами олимпиады того года.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2013-12-23 01:08 am (UTC)На работе есть компания не особо обремененных обязанностями "русских", которые терроризируют друг друг друга олимпиадными задачами. Недавно один из них, отчаявшись решить задачу при помощи головного мозга, написал программу, которая соединяла все точки прямыми до тех пор пока одна из них не прошле через нужное место. После этого он сумел восстановить конструктивное решение. И был страшно горд своей изобретательностью.
no subject
Date: 2013-12-23 03:27 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 03:45 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 06:58 am (UTC)возьмем точку симметричную данной относительно какой-то прямой, построим здесь угол равный данному, проведем окружность и т.д. и т.п. и пр.?
no subject
Date: 2013-12-23 03:37 pm (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 03:43 pm (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 07:02 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 04:54 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 08:43 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 09:46 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 06:51 am (UTC)Ужасно рекомендую, если еще не.
no subject
Date: 2013-12-23 07:21 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-27 05:09 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 06:53 am (UTC)Несмотря на то, что выигрывал областные олимпиады по математике, задачи по геометрии часто мог не решить даже школьные, из учебника.
Один знакомый кандидат наук, сказал мне, что все дело в том, что все современные учебники по геометрии - шлак, и дал мне учебник Киселева. Я добросовестно прочел его - и о чудо, школьные задачи стали внезапно очень простые, и даже на олимпиадах начало иногда получаться.
Сейчас я не знаю, это был эффект плацебо, или действительно такая разница в учебниках. Я помню, что учебник Киселева мне очень понравился, но ничего такого сверхъестественного вроде бы в нем не было.
no subject
Date: 2013-12-23 10:11 am (UTC)Я научился решать геометрию, читая сам летом уже новый учебник Погорелова. Потом, классе в 9, мне дали таки Киселева, он мне понравился, но мою способность решать геометрию не улучшил.
Но по-настоящему (красиво) решать "школьную" геометрию я научился, к своему изумлению, курсе на 4-5 матмеха. Возможно, для этого полезен какой-то более обширный багаж математической эрудиции.
no subject
Date: 2013-12-23 07:16 am (UTC)Как-то на всесоюзной олимпиаде в геометрической задаче было что-то про пересечение каких-то диагоналей правильного десятиугольника, так мне пришлось её решить методом координат: выписал координаты вершин, уравнения диагоналей, нашёл точки пересечения... Получил полный балл, потому что решение совершенно верное (хотя длинное и скучное - всё-таки у 10-угольника с этим гораздо более громоздко, чем, например, у шестиугольника), и смех, когда на разборе сказали, что один из участников решил эту задачу таким методом. :)
no subject
Date: 2013-12-23 07:21 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 07:54 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 11:26 am (UTC)Вот изобретать механические устройства, по своей сути не-плоские, это какой-то высший пилотаж.
no subject
Date: 2013-12-23 08:35 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 11:34 am (UTC)Точно! В самом чистом виде это выражается в объёмных головоломках типа "сложи большую фигульку из многих маленьких" или "сними одну проволочную загогулину с другой". Терпеть их не могу!
Правда, настоящие хакеры решают их вот так:
http://habrahabr.ru/post/194410/
no subject
Date: 2013-12-23 03:45 pm (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 12:32 pm (UTC)По видимости олимпиадная геометрия не имеет отношения к современной глубокой геометрии, но, парадоксальным образом, способность решать олимпиадную геометрию красиво ко многим приходит вместе со знакомством с более глубокой, не-школьной, математикой.
no subject
Date: 2013-12-23 03:38 pm (UTC)Я сильно подозреваю, что умение того старичка, о котором пишет Авва, заключалось в знании большого количества типов дополнительных построений, и умении выбрать из них наиболее вероятно подходящее, исходя из сходства с ранее решенными задачами. И что студенты, познакомившиеся с более глубокой геометрией, лучше решают элементарные задачи на планиметрию в основном из-за того же, из-за чего я, физик, решаю их лучше детей -- из-за большей систематичности мышления. Кроме того, на сколько я понимаю, геометры, даже современные часто вынуждены представлять в голове довольно сложные фигуры. Это тоже, конечно, помогает.
Еще хочу добавить, что решал более "естественные" задачи из элементарной геометрии. Доказывал, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, например. Они показались гораздо интереснее олимпиадных задач.
no subject
Date: 2013-12-24 07:58 am (UTC)Так что в некоторой степени Вы правы.
Но лишь в некоторой - если бы так было дело со всеми геометрическими задачами, эта область не привлекала бы столько внимания и интереса. Канонические образцы красивых задач по планиметрии - сборники Прасолова и Шарыгина, например.
С другой стороны, даже красивую задачу можно, конечно, решить, "продолбив" перебором вариантов или счетом. Но если бы успешность решения олимпиадной геометрии состояла только в систематичности мышления и аккуратности перебора, то это было бы заметно и на других типах задач. У меня есть коллега по ЮМШ (судя по другому комментарию, Вы можете его знать - Виталий Вальтман), который просто с запредельным каким-то мастерством решает задачи по теории чисел. Очень часто я, увидев его решение, впадал в ступор - ну как это можно придумать, кроме как тупым перебором всех известных теорем и модулей? Между тем он явно не занимается таким перебором.
Дело, видимо, в том, что в какой-то области у человека вырабатывается интуиция о том, какие методы к чему могут привести в какой ситуации. Причем именно методы рассуждений, а не отдельные теоремы.
no subject
Date: 2013-12-24 01:04 pm (UTC)То что я пытаюсь сказать, это то, что второй, "картиночный" тип интуиции, не очень работает для планиметрии, хотя, казалось бы, она сама картиночна по своей природе. По крайней мере мне, лично, такая интуиция больше помогает в мат. анализе, чем в планиметрии.
Почему у разных людей первый тип интуиции вырабатывается на разное, и от чего это зависит, тоже, конечно, интересный вопрос.
no subject
Date: 2013-12-24 01:40 pm (UTC)русский солдат столько брюквы не съест!Нее, я столько интегралов не возьму, чтобы выработалась такая же интуиция, как на планиметрию :)
Я имел ввиду как раз "картиночную" интуицию, образную, по Вашей классификации. Дело в том, что я "вижу", какой метод применить, не столько в смысле "а, тут углы, значит надо провести окружность, в которую они все будут вписаны", сколько в смысле методов типа "я хочу доказать вот эту гипотезу, но она не зависит от этого данного, значит такие попытки доказать ее бесполезны", или обобщение задачи в правильную сторону - часто более общую формулировку легче доказать.
Впрочем, действительно, в матанализе мне эта образная интуиция помогает гораздо сильнее, солидарен с Вами.
no subject
Date: 2013-12-24 02:30 pm (UTC)Рад, что мы достигли взаимопонимания)
no subject
Date: 2013-12-23 09:22 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 10:13 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 11:01 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 10:00 am (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 11:50 am (UTC)Там не предлагалось "доказать перпендикулярность", а спрашивалось - какой там угол.
no subject
Date: 2013-12-23 12:21 pm (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 12:47 pm (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 01:44 pm (UTC)1) способности решать геометрические задачи очень трудно научить. Мало кто, даже среди успешных (олимпиадно-успешных) преподавателей умеет этому учить с предсказуемым результатом ( то есть примерно в той же пропорции, как и другим темам). Некоторые дети, конечно, научаются, но полное ощущение в процессе, что это они сами, а я был ни при чем. Но некоторые, редкие, учителя умеют научить почти всех.
2) Способности научить решать геометрические задачи тоже очень трудно научиться. Я лично много раз пытался понять, как это у некоторых получается. И серии изучал, и конспекты детские, и на занятиях сидел, вроде даже замечал отличия от своего подхода - и все равно у меня не получалось (статистически значимо, понятно, что из десятка сообразительных детей один-два хорошо будут решать и геометрию, но почти любой другой олимпиадной теме можно научить почти всех способных, а не одну пятую).
В общем, мистика какая-то с этой геометрией.
no subject
Date: 2013-12-23 04:10 pm (UTC)no subject
Date: 2013-12-23 03:22 pm (UTC)Забавно, у меня наоборот, я с тоской смотрел на алгебру. А программист я средний, геометрическое видение тут редко помогает.
no subject
Date: 2013-12-23 06:44 pm (UTC)А на задней парте сидели мы с Серёжей Тихомировым (он на олимпиаду не попал, но на этих сборах почему-то присутствовал) и тихо угорали. Потому что за то время, пока этот дед хотя бы просто рисовал на доске нужные точки, мы тупо составляли уравнение в комплексных координатах, моментально его решали и получали ответ раньше.
Вообще, я всегда на олимпиадах решал геометрические задачи методом "всё взять и посчитать".
no subject
Date: 2013-12-24 08:11 am (UTC)Впрочем. как раз этот метод может быть лучше всего выражен в комплексных числах. С другими так не пройдет.
Мне было бы очень интересно посмотреть, как можно просчитать в к.ч. ту задачу, которую процитировал avva.