<Цитата> Смысл теоремы Гёделя состоит в том, что всякая достаточно "богатая" формальная логико-математическая система, непротиворечивая в некотором достаточно сильном смысле, обязательно содержит формулу, которую в данной системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть, но которая - как это можно показать с помощью средств, выходящих за рамки системы, - все же истинна. Короче, не всякое "содержательно" истинное утверждение в данной системе "формально выводимо" в ней. С появлением теоремы Геделя изменился взгляд на сам аксиоматический подход к построению тех или иных теорий, господствовавший со времен Евклида. В этом - общенаучное значение теоремы Гёделя. <Цитата>
Можете Вы объяснить на пальцах смысл теоремы Гёделя?
1 А то из этой цитаты получается, что доказано, что ничего доказать нельзя. Спрашивается: как же это доказано?
2 Что ещё можно высосать из этой цитаты? Что теорема сама должна быть замкнутой системой. Причём самой в себе. Те всякое её утверждение дб формально выводимо в ней. Этакое исключение из правила, которое она доказывает. Кажется, получилось (1), только другими словами)))
1. Нет, этого цитата не говорит. Она правильно сообщает, что из теоремы Гёделя следует, что нельзя доказать ВСЕ возможные истины. Сколь мощные аксиомы не возьми в качестве основания своей теории, всё равно найдётся какое-то истинное утверждение, к-е с помощью этих аксиом доказать невозможно.
2. Попробуйте высказаться точнее, в Ваших словах сейчас мало смысла ;) что такое "замкнутая система"? что значит "каждое её утверждение", когда "она" - это теорема?
A @обязательно содержит формулу, которую в данной системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть@ Это не о аксиомах говорится?
B Очевидно ли то, что математические системы, построенные на аксиомах, "висят в воздухе", поскольку их аксиомы могут быть "ложными" (не могу подобрать слово)?
C Существуют ли математические системы без аксиом? (Мне тут недавно сказали, что в современной алгебре встречаются такие. Я не поверил.)
D Может Вы укажете пальцем, что в приведённой цитате не совсем верно или совсем не верно?
E (Ваше 2) "замкнутая система"~@всякая достаточно "богатая" формальная логико-математическая система@
"каждое её утверждение" Я беру теорему с приданным. Можно ли выделить из математики область, для изучения которой не потребуется изучение других её областей? Мне кажется, что Т. Гёделя дб такой. В неё я включаю некоторое кол-во аксиом (если они есть у этой Т, в чём я очень сомневаюсь: как же она будет доказывать "Возьми то, не знаю что" (1)?), лемм и само доказательство непосредственно. Или для изучения этой Т понадобится изучить ВСЮ математику с философией вкупе?)))
@обязательно содержит формулу, которую в данной системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть@ Это не о аксиомах говорится?
Нет. Даже слово "содержит" здесь неверно. Вкратце дела обстоят так. Вы выбираете некий формальный язык, которым будете пользоваться (например, язык, в котором можно формулировать утверждения о числах, сложении, умножении и других операциях; или язык, имеющий обозначения для множеств и операций на них; или ещё какой). В этом языке Вы строите некую теория, основанную на наборе аксиом (другими словами, Вы рассматриваете все утверждения, к-е можно доказать, опираясь на данные аксиомы). Можно представить себе, что этот набор аксиом был бы столь полным и исчерпывающим, что любое возможное утверждение (о данных объектах: числах, или множествах, или функциях, и т.п.) можно было бы из него либо доказать, либо опровергнуть (т.е. доказать противоположное). Если бы это было так, то этот набор аксиом можно было бы назвать полным (это технический термин): они полностью описывают всё, что только можно утверждать о данных объектах, классифицируя каждое утверждение как истинное или ложное.
Теорема Гёделя доказывает, что по сути дела этого невозможно добиться: что сколько аксиом не добавляй, всё равно будут какие-то утверждения, по поводу которых эти аксиомы ничего определённого сказать не могут: ни доказать их, ни опровергнуть.
Очевидно ли то, что математические системы, построенные на аксиомах, "висят в воздухе", поскольку их аксиомы могут быть "ложными" (не могу подобрать слово)?
Да. Но это само по себе не является существенной преградой для математиков или философов. Истинность аксиом принимается на веру или оправдываются вне-математическими рассуждениями, но на то они и аксиомы. Теорема Гёделя тут ни при чём.
Существуют ли математические системы без аксиом?
Нет.
Может Вы укажете пальцем, что в приведённой цитате не совсем верно или совсем не верно?
Кроме мелочей (типа той, что указана выше), главным образом утверждение о том, что "С появлением теоремы Геделя изменился взгляд на сам аксиоматический подход к построению тех или иных теорий, господствовавший со времен Евклида." Это неверно. Работы Гёделя помогли понять важные ограничения аксиоматического подхода, но они не изменили, и не намеревались изменить, отношение к этому подходу (к-е, кроме того, нельзя представить в качестве какого-то одного взгляда, господствовавшего со времён Евклида).
"каждое её утверждение" Я беру теорему с приданным. Можно ли выделить из математики область, для изучения которой не потребуется изучение других её областей? Мне кажется, что Т. Гёделя дб такой.
Всё равно бессмыслица. Теорема - не "область". Теорема есть утверждение. Например, "два плюс два равно четыре" это такая теорема.
4 А Те система (набор аксиом) полной быть не может. "но которая - как это можно показать с помощью средств, выходящих за рамки системы, - все же истинна". Надо ли это понимать так, что можно доказать (опровергнуть) _любое_ утверждение за счёт других неполных систем? Б Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт других систем? В Не кажется ли Вам, что для доказательства 2+2=4 кроме арифметики потребуется ознакомиться ещё с теорией чисел и проч.? Г Существует ли хоть одна теорема с приданным, которую можно изложить (с приданным) в одном Вашем сообщении?
Те система (набор аксиом) полной быть не может. "но которая - как это можно показать с помощью средств, выходящих за рамки системы, - все же истинна".
Нет. Истинна не система, а утверждение, которое в ней невозможно ни доказать, ни опровергнуть. То, что оно истинно, мы видим, выходя за рамки данной системы, т.к. внутри системы продемонстрировать его истинность с точки зрения системы (т.е. доказать его) невозможно.
Впрочем, это не очень важная часть теоремы Гёделя, т.к. любое утверждение в данном контексте либо ложно, либо истинно, и тогда ложно его отрицание. Важна не истинность, а то, что данное утверждение нельзя ни доказать, ни опровергнуть, что демонстрирует неполноту системы.
Надо ли это понимать так, что можно доказать (опровергнуть) _любое_ утверждение за счёт других неполных систем?
Это верно тривиальным образом. Всегда можно взять искомое утверждение и объявить его аксиомой в новой системе, и оно тогда там тривиальным образом доказывается (будучи аксиомой).
Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт других систем?
Бессмыслица. Что значит "за счёт других систем"?
Не кажется ли Вам, что для доказательства 2+2=4 кроме арифметики потребуется ознакомиться ещё с теорией чисел и проч.?
2+2=4 довольно легко доказать из набора базисных аксиом Пеано, к-е обычно принимают в качестве набора формальных аксиом арифметики.
Существует ли хоть одна теорема с приданным, которую можно изложить (с приданным) в одном Вашем сообщении?
Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт новых систем?
Любая система тривиальным образом является таковой.
Можете ли Вы изложить набор базисных аксиом Пеано (приданное) и доказательство 2+2=4 (теорема) в одном сообщении?
Символы: константа 0, функция S(x), обозначающая "число, следующее за x", символы + и *, обозначающие обычные операции. Аксиомы:
1. Если S(x)=S(y), то x=y. 2. Для каждого x, если x не равно 0, то существует y, так что S(y)=x. 3. x+0 = x. 4. x+S(y)=S(x+y). 5. x*0=0. 6. x*S(y)=x*y+x. 7. принцип математической индукции.
1,2,3 и т.д. в этой формальной системе являются условными символами, обозначающими на самом деле: S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), и т.п.
V4Б "Любая система тривиальным образом является таковой." Сомневаюсь. Не верю. Давайте так. Конечно ли число возможных утверждений в любой системе? Существуют ли системы с конечным числом возможных утверждений?
V4В^Г /* Спасибо, что не пользуетесь copy-paste, это заметно по последней строке Вашего доказательства. И зачем было вводить лишние операции и слова? */ Будем считать, что принцип математической индукции не затрагивает остальных областей математики (и то, что логика входит в математику). Что такое x? Что такое операция? Что такое следующее? Что такое символ? По-моему, достаточно?
Ну посмотрите сами. Вы спрашиваете нелепицу - существует ли система, утверждения которой все можно доказать в других системах. Утверждения вообще не относятся к системам, они относятся к языку. И для любого утверждения тривиальным образом существует система аксиом, в к-й оно доказуемо. Что непонятно?
Конечно ли число возможных утверждений в любой системе? Существуют ли системы с конечным числом возможных утверждений?
Нет и нет.
И зачем было вводить лишние операции и слова?
Вы попросили полный список аксиом Пеано.
Будем считать, что принцип математической индукции не затрагивает остальных областей математики (и то, что логика входит в математику).
Как это не затрагивает?? конечно затрагивает. Просто это аксиома в данном случае.
Что такое x?
Переменный символ.
Что такое операция?
Правило, ставящее в соответствие любым двум (например) аргументам некоторое значение.
Что такое следующее?
Не играет значения в формальном контексте.
Что такое символ?
Любой уникальный математический объект.
Вам надо прочесть учебник мат. логики - много тумана сразу рассеется ;)
VX /* Слово "константа" тоже входит в список аксиом Пеано? (риторический вопрос)*/ Вы подумайте над своими словами. По-моему, Вы опять проваливаетесь в бесконечность. Я же про это всё время и талдычу. Чтож Вы не привели здесь учебник логики? Не влез? А Вы думаете, одной логики будет достаточно? И почему в школах не преподают вначале логику вместо арифметики? // все вопросы риторические
В общем, жаль, что основы формальной логики не преподают (не преподавали?) в средней школе. Принесло бы пользу. (Или хотя бы в рамках "высшей математики" во всех вузах.)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
Пойди туда, не знаю куда, ... )))
Date: 2002-07-16 02:43 am (UTC)Смысл теоремы Гёделя состоит в том, что
всякая достаточно "богатая"
формальная логико-математическая система,
непротиворечивая в некотором
достаточно сильном смысле, обязательно содержит
формулу, которую в данной
системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть, но
которая - как это можно
показать с помощью средств, выходящих за рамки
системы, - все же истинна.
Короче, не всякое "содержательно" истинное
утверждение в данной системе
"формально выводимо" в ней. С появлением теоремы
Геделя изменился взгляд
на сам аксиоматический подход к построению
тех или иных теорий,
господствовавший со времен Евклида. В этом -
общенаучное значение теоремы Гёделя.
<Цитата>
Re: Пойди туда, не знаю куда, ... )))
Re: Пойди туда, не знаю куда, ... )))
Date: 2002-07-16 04:38 am (UTC)Возьми то, не знаю что
Date: 2002-07-16 11:49 pm (UTC)1
А то из этой цитаты получается, что доказано, что ничего доказать нельзя. Спрашивается: как же это доказано?
2
Что ещё можно высосать из этой цитаты? Что теорема сама должна быть замкнутой системой. Причём самой в себе. Те всякое её утверждение дб формально выводимо в ней. Этакое исключение из правила, которое она доказывает. Кажется, получилось (1), только другими словами)))
Re: Возьми то, не знаю что
Date: 2002-07-16 11:58 pm (UTC)2. Попробуйте высказаться точнее, в Ваших словах сейчас мало смысла ;) что такое "замкнутая система"? что значит "каждое её утверждение", когда "она" - это теорема?
Беру<сь>
Date: 2002-07-17 12:26 am (UTC)A
@обязательно содержит формулу, которую в данной системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть@
Это не о аксиомах говорится?
B
Очевидно ли то, что математические системы, построенные на аксиомах, "висят в воздухе", поскольку их аксиомы могут быть "ложными" (не могу подобрать слово)?
C
Существуют ли математические системы без аксиом? (Мне тут недавно сказали, что в современной алгебре встречаются такие. Я не поверил.)
D
Может Вы укажете пальцем, что в приведённой цитате не совсем верно или совсем не верно?
E (Ваше 2)
"замкнутая система"~@всякая достаточно "богатая" формальная логико-математическая система@
"каждое её утверждение"
Я беру теорему с приданным. Можно ли выделить из математики область, для изучения которой не потребуется изучение других её областей? Мне кажется, что Т. Гёделя дб такой. В неё я включаю некоторое кол-во аксиом (если они есть у этой Т, в чём я очень сомневаюсь: как же она будет доказывать "Возьми то, не знаю что" (1)?), лемм и само доказательство непосредственно. Или для изучения этой Т понадобится изучить ВСЮ математику с философией вкупе?)))
Re: Беру<сь>
Date: 2002-07-17 12:48 am (UTC)Это не о аксиомах говорится?
Нет. Даже слово "содержит" здесь неверно. Вкратце дела обстоят так. Вы выбираете некий формальный язык, которым будете пользоваться (например, язык, в котором можно формулировать утверждения о числах, сложении, умножении и других операциях; или язык, имеющий обозначения для множеств и операций на них; или ещё какой). В этом языке Вы строите некую теория, основанную на наборе аксиом (другими словами, Вы рассматриваете все утверждения, к-е можно доказать, опираясь на данные аксиомы). Можно представить себе, что этот набор аксиом был бы столь полным и исчерпывающим, что любое возможное утверждение (о данных объектах: числах, или множествах, или функциях, и т.п.) можно было бы из него либо доказать, либо опровергнуть (т.е. доказать противоположное). Если бы это было так, то этот набор аксиом можно было бы назвать полным (это технический термин): они полностью описывают всё, что только можно утверждать о данных объектах, классифицируя каждое утверждение как истинное или ложное.
Теорема Гёделя доказывает, что по сути дела этого невозможно добиться: что сколько аксиом не добавляй, всё равно будут какие-то утверждения, по поводу которых эти аксиомы ничего определённого сказать не могут: ни доказать их, ни опровергнуть.
Очевидно ли то, что математические системы, построенные на аксиомах, "висят в воздухе", поскольку их аксиомы могут быть "ложными" (не могу подобрать слово)?
Да. Но это само по себе не является существенной преградой для математиков или философов. Истинность аксиом принимается на веру или оправдываются вне-математическими рассуждениями, но на то они и аксиомы. Теорема Гёделя тут ни при чём.
Существуют ли математические системы без аксиом?
Нет.
Может Вы укажете пальцем, что в приведённой цитате не совсем верно или совсем не верно?
Кроме мелочей (типа той, что указана выше), главным образом утверждение о том, что "С появлением теоремы Геделя изменился взгляд
на сам аксиоматический подход к построению
тех или иных теорий, господствовавший со времен Евклида." Это неверно. Работы Гёделя помогли понять важные ограничения аксиоматического подхода, но они не изменили, и не намеревались изменить, отношение к этому подходу (к-е, кроме того, нельзя представить в качестве какого-то одного взгляда, господствовавшего со времён Евклида).
"каждое её утверждение"
Я беру теорему с приданным. Можно ли выделить из математики область, для изучения которой не потребуется изучение других её областей? Мне кажется, что Т. Гёделя дб такой.
Всё равно бессмыслица. Теорема - не "область". Теорема есть утверждение. Например, "два плюс два равно четыре" это такая теорема.
Тянем-потянем
Date: 2002-07-17 01:08 am (UTC)А
Те система (набор аксиом) полной быть не может. "но которая - как это можно показать с помощью средств, выходящих за рамки системы, - все же истинна". Надо ли это понимать так, что можно доказать (опровергнуть) _любое_ утверждение за счёт других неполных систем?
Б
Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт других систем?
В
Не кажется ли Вам, что для доказательства 2+2=4 кроме арифметики потребуется ознакомиться ещё с теорией чисел и проч.?
Г
Существует ли хоть одна теорема с приданным, которую можно изложить (с приданным) в одном Вашем сообщении?
Re: Тянем-потянем
Date: 2002-07-17 01:23 am (UTC)Нет. Истинна не система, а утверждение, которое в ней невозможно ни доказать, ни опровергнуть. То, что оно истинно, мы видим, выходя за рамки данной системы, т.к. внутри системы продемонстрировать его истинность с точки зрения системы (т.е. доказать его) невозможно.
Впрочем, это не очень важная часть теоремы Гёделя, т.к. любое утверждение в данном контексте либо ложно, либо истинно, и тогда ложно его отрицание. Важна не истинность, а то, что данное утверждение нельзя ни доказать, ни опровергнуть, что демонстрирует неполноту системы.
Надо ли это понимать так, что можно доказать (опровергнуть) _любое_ утверждение за счёт других неполных систем?
Это верно тривиальным образом. Всегда можно взять искомое утверждение и объявить его аксиомой в новой системе, и оно тогда там тривиальным образом доказывается (будучи аксиомой).
Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт других систем?
Бессмыслица. Что значит "за счёт других систем"?
Не кажется ли Вам, что для доказательства 2+2=4 кроме арифметики потребуется ознакомиться ещё с теорией чисел и проч.?
2+2=4 довольно легко доказать из набора базисных аксиом Пеано, к-е обычно принимают в качестве набора формальных аксиом арифметики.
Существует ли хоть одна теорема с приданным, которую можно изложить (с приданным) в одном Вашем сообщении?
Бессмысленное выражение "теорема с приданым".
Эй и ухнем (голосом Шаляпина)
Date: 2002-07-17 01:38 am (UTC)4Б
Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт других систем?
@Что значит "за счёт других систем"?@
"Всегда можно взять искомое утверждение и объявить его аксиомой в _новой_системе_"
Существует ли хоть одна такая система, для которой все возможные утверждения доказаны, хотя бы и за счёт новых систем?
4В^Г
Можете ли Вы изложить набор базисных аксиом Пеано (приданное) и доказательство 2+2=4 (теорема) в одном сообщении?
Re: Эй и ухнем (голосом Шаляпина)
Date: 2002-07-17 01:48 am (UTC)Любая система тривиальным образом является таковой.
Можете ли Вы изложить набор базисных аксиом Пеано (приданное) и доказательство 2+2=4 (теорема) в одном сообщении?
Символы: константа 0, функция S(x), обозначающая "число, следующее за x", символы + и *, обозначающие обычные операции.
Аксиомы:
1. Если S(x)=S(y), то x=y.
2. Для каждого x, если x не равно 0, то существует y, так что S(y)=x.
3. x+0 = x.
4. x+S(y)=S(x+y).
5. x*0=0.
6. x*S(y)=x*y+x.
7. принцип математической индукции.
1,2,3 и т.д. в этой формальной системе являются условными символами, обозначающими на самом деле: S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), и т.п.
Доказательство 2+2=4:
2+2 = S(S(0)) + S(S(0)) (по определению)
S(S(0))+S(S(0)) = S( S(S(0)) + S(0) ) (применение аксиомы 4)
S( S(S(0)) + S(0) ) = S( S( S(S(0)) + 0) )
(применение аксиомы 4 к выражению в скобках)
S( S( S(S(0)) + 0) ) = S( S( S(S(0)) ) )
(применение аксиомы 3 к выражению в скобках)
S(S(S(0)))) = 4 (по определению).
Эх, дубинушка (ЯR)
Date: 2002-07-17 02:16 am (UTC)"Любая система тривиальным образом является таковой."
Сомневаюсь. Не верю. Давайте так.
Конечно ли число возможных утверждений в любой системе?
Существуют ли системы с конечным числом возможных утверждений?
V4В^Г
/*
Спасибо, что не пользуетесь copy-paste, это заметно по последней строке Вашего доказательства. И зачем было вводить лишние операции и слова?
*/
Будем считать, что принцип математической индукции не затрагивает остальных областей математики (и то, что логика входит в математику).
Что такое x?
Что такое операция?
Что такое следующее?
Что такое символ?
По-моему, достаточно?
Re: Эх, дубинушка (ЯR)
Date: 2002-07-17 02:25 am (UTC)Ну посмотрите сами. Вы спрашиваете нелепицу - существует ли система, утверждения которой все можно доказать в других системах. Утверждения вообще не относятся к системам, они относятся к языку. И для любого утверждения тривиальным образом существует система аксиом, в к-й оно доказуемо. Что непонятно?
Конечно ли число возможных утверждений в любой системе?
Существуют ли системы с конечным числом возможных утверждений?
Нет и нет.
И зачем было вводить лишние операции и слова?
Вы попросили полный список аксиом Пеано.
Будем считать, что принцип математической индукции не затрагивает остальных областей математики (и то, что логика входит в математику).
Как это не затрагивает?? конечно затрагивает. Просто это аксиома в данном случае.
Что такое x?
Переменный символ.
Что такое операция?
Правило, ставящее в соответствие любым двум (например) аргументам некоторое значение.
Что такое следующее?
Не играет значения в формальном контексте.
Что такое символ?
Любой уникальный математический объект.
Вам надо прочесть учебник мат. логики - много тумана сразу рассеется ;)
Будем ждать Мышку...
Date: 2002-07-17 02:39 am (UTC)/* Слово "константа" тоже входит в список аксиом Пеано? (риторический вопрос)*/
Вы подумайте над своими словами. По-моему, Вы опять проваливаетесь в бесконечность. Я же про это всё время и талдычу. Чтож Вы не привели здесь учебник логики? Не влез? А Вы думаете, одной логики будет достаточно? И почему в школах не преподают вначале логику вместо арифметики? // все вопросы риторические
Re: Будем ждать Мышку...
Date: 2002-07-17 02:45 am (UTC)Нет, оно входит в методологический аппарат формальной логики.
По-моему, Вы опять проваливаетесь в бесконечность.
Нет, просто Вы не умеете различать математику и метаматематику.
За всеми дальнейшими разъяснениями предлагаю обратиться к учебнику мат.логики.
Re: Будем ждать Мышку...
Date: 2002-07-18 12:29 am (UTC)Re: Будем ждать Мышку...
Date: 2002-07-20 06:06 pm (UTC)Re: Эй и ухнем (голосом Шаляпина)
Date: 2005-08-02 09:19 am (UTC)