о лжецах и неуловимых мстителях
Aug. 19th, 2002 10:05 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaПопалась забавная штука, описание парадокса "лжеца-мстителя". Пересказываю вкратце.
Парадокс Лжеца (по-английски в профессиональной литературе его уже давно называют просто The Liar, опуская даже слово "парадокс"), как известно, в самой простой форме состоит из следующего утверждения:
Философы-логики до сих пор работают над парадоксом лжеца (лет пять назад я с изумлением обнаружил в библиотеке свежеизданную книгу, сборник недавних статей, посвящённых Лжецу; она или две из них были даже довольно интересными). Существует несколько стандартных подходов к осмыслению этому парадоксу. Например, можно попытаться запретить self-reference (самоприменение? автореферентность? как??) такого рода.
Одним из таких стандартных подходов является отказ от приписывания какого-либо значения истинности такого рода утверждениям. Иными словами, мы просто постулируем, что утверждения, подобные парадоксу лжеца, не являются ни истинными, ни ложными -- у них нет truth value, значения истинности. Так вот, парадокс Лжеца-Мстителя (по-английски: Revenge Liar) как раз придуман для того, чтобы показать недостаточность такой "отмазки". В профессиональной литературе его сформулировали относительно недавно (если не ошибаюсь, в начале 80-х), но утверждается, что в схожей форме он восходит ещё к Буридану (да-да, тому самому, чей осёл, философу 14-го века).
Парадок Лжеца-Мстителя выглядит так:
Если мы посмотрим на утверждения Платона и Аристотеля, то увидим, что вместе они образуют разновидность парадока Лжеца. Действительно, если утверждение Платона истинно, то Аристотель сказал правду, и тогда утверждение Платона не может быть истинным. Но если оно ложно, то утверждение Аристотеля истинно (т.к. выполняется одно из его дизъюнктов -- постулатов, соединённых "или"), но тогда утверждение Платона опять выходит истинным. Получаем парадокс.
Попробуем, таким образом, использовать лазейку типа "не имеет значения истинности". Эту лазейку нам придётся применить к обоим утверждениям одновременно: и утверждение Платона, и утверждение Аристотеля оба должны быть неопределёнными - ни истинными, ни ложными
(мы не можем объявить неопределённым только утверждение Платона, т.к. тогда утверждение Аристотеля должно будет быть истинным, но именно это и гласит утверждение Платона, поэтому оно опять-таки будет истинным - противоречие). И тут нас настигает Мститель -- Вася Пупкин. Его утверждение не замешано в парадоксе лжеца, опутывающем Платона и Аристотеля. Мы можем оценить его истинность -- оно не участвует ни в каких self-referential (автореферентных? само-указывающих?) циклах. Если мы решили, что утверждение Платона не имеет значения истинности, мы обязаны назвать утверждение Васи Пупкина истинным. Но Вася Пупкин и Аристотель утверждают совершенно одно и то же -- и тем не менее, одно из этих утвержденией мы назвали истинным, а второе лишили права иметь значение истинности. Противоречие.
Естественно, всё это не означает, что Мстителю невозможно в свою очередь Отомстить. Есть несколько возможных возражений и методов обхода парадокса-Мстителя. Но это уже другая тема.
Парадокс Лжеца (по-английски в профессиональной литературе его уже давно называют просто The Liar, опуская даже слово "парадокс"), как известно, в самой простой форме состоит из следующего утверждения:
(*) Это утверждение ложно.Утверждение (*) не может быть ни истинным, ни ложным.
Философы-логики до сих пор работают над парадоксом лжеца (лет пять назад я с изумлением обнаружил в библиотеке свежеизданную книгу, сборник недавних статей, посвящённых Лжецу; она или две из них были даже довольно интересными). Существует несколько стандартных подходов к осмыслению этому парадоксу. Например, можно попытаться запретить self-reference (самоприменение? автореферентность? как??) такого рода.
Одним из таких стандартных подходов является отказ от приписывания какого-либо значения истинности такого рода утверждениям. Иными словами, мы просто постулируем, что утверждения, подобные парадоксу лжеца, не являются ни истинными, ни ложными -- у них нет truth value, значения истинности. Так вот, парадокс Лжеца-Мстителя (по-английски: Revenge Liar) как раз придуман для того, чтобы показать недостаточность такой "отмазки". В профессиональной литературе его сформулировали относительно недавно (если не ошибаюсь, в начале 80-х), но утверждается, что в схожей форме он восходит ещё к Буридану (да-да, тому самому, чей осёл, философу 14-го века).
Парадок Лжеца-Мстителя выглядит так:
- Платон: Аристотель сейчас выскажет истинное утверждение.
- Аристотель: Предыдущее высказывание Платона либо ложно, либо не имеет значения истинности.
- Вася Пупкин: Предыдущее высказывание Платона либо ложно, либо не имеет значения истинности.
Если мы посмотрим на утверждения Платона и Аристотеля, то увидим, что вместе они образуют разновидность парадока Лжеца. Действительно, если утверждение Платона истинно, то Аристотель сказал правду, и тогда утверждение Платона не может быть истинным. Но если оно ложно, то утверждение Аристотеля истинно (т.к. выполняется одно из его дизъюнктов -- постулатов, соединённых "или"), но тогда утверждение Платона опять выходит истинным. Получаем парадокс.
Попробуем, таким образом, использовать лазейку типа "не имеет значения истинности". Эту лазейку нам придётся применить к обоим утверждениям одновременно: и утверждение Платона, и утверждение Аристотеля оба должны быть неопределёнными - ни истинными, ни ложными
(мы не можем объявить неопределённым только утверждение Платона, т.к. тогда утверждение Аристотеля должно будет быть истинным, но именно это и гласит утверждение Платона, поэтому оно опять-таки будет истинным - противоречие). И тут нас настигает Мститель -- Вася Пупкин. Его утверждение не замешано в парадоксе лжеца, опутывающем Платона и Аристотеля. Мы можем оценить его истинность -- оно не участвует ни в каких self-referential (автореферентных? само-указывающих?) циклах. Если мы решили, что утверждение Платона не имеет значения истинности, мы обязаны назвать утверждение Васи Пупкина истинным. Но Вася Пупкин и Аристотель утверждают совершенно одно и то же -- и тем не менее, одно из этих утвержденией мы назвали истинным, а второе лишили права иметь значение истинности. Противоречие.
Естественно, всё это не означает, что Мстителю невозможно в свою очередь Отомстить. Есть несколько возможных возражений и методов обхода парадокса-Мстителя. Но это уже другая тема.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2002-08-19 07:08 am (UTC)Хoрoшиe лoгики пoступали с Лжeцoм нeскoлькo иначe: oни гoвoрили", чтo "я гoвoрю лoжь" - НE EСТь ВыСКАЗыВАНИE ( или "утвeрждeниe" в твoeй фoрмулирoвкe) - пo oпрeдeлeнию высказывания в мат. лoгикe. Этo прoстo фраза, а нe высказываниe, истиннoсть кoтoрoгo нeизвeстна или пeрeмeнна. Здeсь oб истиннoсти ( нe в чeлoвeчeскoм смыслe, а в стрoгoм, мат-лoгичeскoм ) нe мoжeт быть и рeчи :)
Ты жe, oписывая парадoкс мститeля, имeннo этo и дeлаeшь: рассматриваeшь истиннoсть или лoжнoсть утвeрждeния Платoна.
В принципe, этo тo жe самoe, чтo заниматся трисeкциeй угла, пoлагая "пи" рациoнальным числoм.
Всe парадoксы типа Лжeца или Мститeля oснoваны на тoм, чтo мат. лoгика как систeма намнoгo мeньшe чeлoвeчeскoгo языка как систeмы. Нe думаю, чтo тут нужнo ссылаться на Гeдeлeвскую нeпoлнoту. Вoпрoс o лжeцe нe eсть гeдeлeвский ( вeрнee, Рассeлoвский)
вoпрoс: oн пoставлeн нe внутри систeмы, а с нарушeниeм ee аксиoм.
Re:
Date: 2002-08-19 10:16 am (UTC)Математическая логика довольствуется тем, что определяет некий формальный язык, и рассматривает только утверждения, формализуемые в рамках этого языка; утверждения типа парадокса Лжеца в рамках этого языка формализовать невозможно, и на этом его рассмотрение заканчивается.
Но описываемые мной рассуждения принадлежат философской логике, и она как раз поступает по-другому, поскольку имеет другие цели. Философ-логик ставит своей целью изучение логики как абстрактизации нашего повседневного логического мышления и манипуляции логическими реалиями в нашей речи -- для него формализация может являыться средством, но никак не целью. Невозможность формализовать парадокс Лжеца только показывает философу-логику, что данная конкретная формальная система неадекватна для описания логики в её человеческом смысле -- ведь мы-то вполне можем высказать парадокс Лжеца в нашем естественном языке, можем обсуждать его, можем вывести его противоречивость и т.п. Поэтому логичным видом активности для философа-логика являются попытки найти такие точные (rigorous) способы обсуждать утверждения, которые позволят пролить свет на парадоксальные утверждения, а не игнорировать их. При этом формализация, конечно, обширно используется в качестве подручного средства.
no subject
Date: 2002-08-19 10:54 am (UTC)Я бы замeтил, правда, чтo с "филoсoфскoй лoгикoй" пoлучаeтся бoльшая путаница: пытаясь рассуждать в тeрминах чeлoвeчeскoй лжи и правды мы всe-таки сбиваeмся на язык и пoнятия фoрмальнoй лoгики - пoдoбнo тoму как чeлoвeк, впeрвыe прoбующий считать в умe в
16-ичнoй систeмe сбиваeтся на привычную дeсятичную.
Парадoксы типа Лжeца, как ни крути, eсть слeдствиe признания за чeлoвeчeскoм высказываниeм фoрмальнoгo булинeвскoгo атрибута - истина или лoжь.
В филoсoфскoй жe "лoгикe" нeoбхoдимo ввeсти другую "базу". Напримeр, сказать, чтo в нeй вooбщe нeт абсoлютнo истинных и лoжных высказoваний. Или прeдпoлoжить, чтo в нeй из истины мoжeт слeдoвать лoжь ( прeдикат истина - лoжь мoжeт oказаться истинным ).
Или ввeсти дoпoлнитeльнoe значeниe в пoмoщь Булиню - True, False, Indef. Oпрeдeли всe oпeрации на типe Индeф - и вoт тeбe инструмeнт для бoлee тoчнoгo oписания слoв и пoступкoв homo sapiens ....
Re:
Date: 2002-08-19 11:02 am (UTC)Да, ну вот это и есть как раз тот подход, к-й я описал в записи - Indef соответствует "отсутствию значения истинности". Операции на нём можно определять по-разному, и есть вполне формальные системы для работы с этим делом (так называемые weak Kleeney predicates, например).
Т.е. всё так и выходит в итоге - философы-логики придумывают всякие кунштюки, чтобы поближе приблизиться к человеческому мышлению. Другие философы-логики придумывают более изощрённые версии парадоксов (вроде Лжеца-Мстителя), чтобы эти кунштюки опровергнуть. Математики-логики же на всё это плюют и считают это совершенно бессмысленным занятием.
no subject
Date: 2002-08-19 11:36 am (UTC)А eсли вeрнуться к нашим баранам...
Нe вдаваясь в дeтали: в "Мститeлe" припишeм всeм высказываниям статус "индeф" .
Скажeм, чтo статус "индeф" даeтся всeм утвeрждeниям, oб истиннoсти кoтoрых ничeгo нeльзя сказать, а такжe всeм утвeрждeниям,
лишeниe кoтoрых статуса "индeф" привeдeт к тoму, чтo пo крайнeй мeрe oднo другoe утвeрждeниe в систeмe пoлучит этoт статус.
Всe, никакoгo парадoкса нeт.
этo нe сoвсeм тo жe, чтo у тeбя, кстати.
no subject
Date: 2002-08-22 07:18 pm (UTC)no subject
Date: 2002-08-21 02:11 am (UTC)Мы ведь можем записать его в терминах функции истинности f на множестве предикатов:
предикат A определяется следующим образом: A есть (f(A) = false)
далее показывается, что f(A) нельзя приписать ни true, ни false.
Что это значит ? Только то, что не существует так определенной функции истинности. Или, если мы определяем эту функцию через множество точек, в которых она true, то мы можем сказать, что требуемое отношение не является "коллективизирующим" (термин из Бурбаков), т.е. не определяет множество.
Ровно также решается проблема и с парадоксом "Множества всех множеств, не являющихся элементами самих себя" - а если вдуматься, то это и есть формулировка парадокса лжеца на языке множеств.
По-моему, и парадокс с камнем, который не может поднять всемогущий, переформулируется так же.
В общем, есть у меня подозрение, что в мире существует только один парадокс, а все остальные - только его перефразировки ;-).
О самопринадлежности
Date: 2008-01-31 01:47 pm (UTC)Чечулин В. Л.
Re: О самопринадлежности
Date: 2009-06-19 11:41 am (UTC)http://www.iam.khv.ru/zschool/files/Thesis.pdf
статью на стр. 60 о самоссылочности