о лжецах и неуловимых мстителях

[avva]

Попалась забавная штука, описание парадокса "лжеца-мстителя". Пересказываю вкратце.

Парадокс Лжеца (по-английски в профессиональной литературе его уже давно называют просто The Liar, опуская даже слово "парадокс"), как известно, в самой простой форме состоит из следующего утверждения:

(*) Это утверждение ложно.

Утверждение (*) не может быть ни истинным, ни ложным.
Философы-логики до сих пор работают над парадоксом лжеца (лет пять назад я с изумлением обнаружил в библиотеке свежеизданную книгу, сборник недавних статей, посвящённых Лжецу; она или две из них были даже довольно интересными). Существует несколько стандартных подходов к осмыслению этому парадоксу. Например, можно попытаться запретить self-reference (самоприменение? автореферентность? как??) такого рода.

Одним из таких стандартных подходов является отказ от приписывания какого-либо значения истинности такого рода утверждениям. Иными словами, мы просто постулируем, что утверждения, подобные парадоксу лжеца, не являются ни истинными, ни ложными -- у них нет truth value, значения истинности. Так вот, парадокс Лжеца-Мстителя (по-английски: Revenge Liar) как раз придуман для того, чтобы показать недостаточность такой "отмазки". В профессиональной литературе его сформулировали относительно недавно (если не ошибаюсь, в начале 80-х), но утверждается, что в схожей форме он восходит ещё к Буридану (да-да, тому самому, чей осёл, философу 14-го века).

Парадок Лжеца-Мстителя выглядит так:

• Платон: Аристотель сейчас выскажет истинное утверждение.
  
• Аристотель: Предыдущее высказывание Платона либо ложно, либо не имеет значения истинности.
  
• Вася Пупкин: Предыдущее высказывание Платона либо ложно, либо не имеет значения истинности.

Если мы посмотрим на утверждения Платона и Аристотеля, то увидим, что вместе они образуют разновидность парадока Лжеца. Действительно, если утверждение Платона истинно, то Аристотель сказал правду, и тогда утверждение Платона не может быть истинным. Но если оно ложно, то утверждение Аристотеля истинно (т.к. выполняется одно из его дизъюнктов -- постулатов, соединённых "или"), но тогда утверждение Платона опять выходит истинным. Получаем парадокс.

Попробуем, таким образом, использовать лазейку типа "не имеет значения истинности". Эту лазейку нам придётся применить к обоим утверждениям одновременно: и утверждение Платона, и утверждение Аристотеля оба должны быть неопределёнными - ни истинными, ни ложными
(мы не можем объявить неопределённым только утверждение Платона, т.к. тогда утверждение Аристотеля должно будет быть истинным, но именно это и гласит утверждение Платона, поэтому оно опять-таки будет истинным - противоречие). И тут нас настигает Мститель -- Вася Пупкин. Его утверждение не замешано в парадоксе лжеца, опутывающем Платона и Аристотеля. Мы можем оценить его истинность -- оно не участвует ни в каких self-referential (автореферентных? само-указывающих?) циклах. Если мы решили, что утверждение Платона не имеет значения истинности, мы обязаны назвать утверждение Васи Пупкина истинным. Но Вася Пупкин и Аристотель утверждают совершенно одно и то же -- и тем не менее, одно из этих утвержденией мы назвали истинным, а второе лишили права иметь значение истинности. Противоречие.

Естественно, всё это не означает, что Мстителю невозможно в свою очередь Отомстить. Есть несколько возможных возражений и методов обхода парадокса-Мстителя. Но это уже другая тема.

Comments

?

[theredone.livejournal.com]

self-reference - самоотношение, рекурсия, на худой-то конец, хотя - тоже нерусское слово.

Re: ?

[avva.livejournal.com]

Не, рекурсия совсем не подходит, это слово с другим (хоть и родственным) значением.

"Самоотношение" звучит коряво, особенно в прилагательной форме: "самоотносительный"??

Re: ?

[snaked.livejournal.com]

Да ну, полноте, сколько себя помню, такого рода высказывания назывались "рекурсивными утверждениями" по аналогии с "рекурсивными определениями". Зачем же славянофильством терминологию путать...

[oxfv.livejournal.com]

self reference = самоописание?

Re:

[avva.livejournal.com]

Прилагательная форма -- "самоописательный"? Коряво. "самоописывающий"? Слишком длинно. "самоописующий"? Вызывает во мне неприятные физиологические ощущения ;)

[oxfv.livejournal.com]

Спешу заметить, что в словах "self-referential" и "самоописывающий" абсолютно одинаковое количество букв, по 15.

[ait.livejournal.com]

А в чем, собственно говоря, состоит парадокс? Если я не ошибаюсь, существует понятие порядка логики, которое все объясняет.

В логике первого порядка мы имеем утверждения(высказывания). Они либо истинны, либо ложны. Над ними определяются предикаты(фактически формулы), значения которых однозначно определяются из значений, входящих в них утверждений.

В логике второго порядка, истинность или ложность относится уже к собственно предикату, и можно строить предикаты над предикатами. Высшие порядки определяются по индукции.

Т.о. имея некое утверждение кажется нетрудным проверить, может ли оно быть записано в виде предиката конечного порядка. (Интересно как? В частности, непонятно, что такое формальная запись выражения типа парадокса Лжеца. Вероятно, невозможность его записать и означает, что к выражению не применимо понятие истинности/ложности)

"Парадокс Лжеца" очевидно не может иметь конечный порядок (судить об истинности утверждений порядка n можно только из логики порядка n+1)

Тоже самое имеется и в примере с Мстителем. Пусть высказывание Платона порядка n, тогда и Аристотель, высказывает утверждения порядка n+1, но Платон-то, высказывается о высказывании Аристотеля, т.е. выходит за рамки своего порядка n. Т.о. и высказывание Пупкина не может иметь конечный порядок (высказывается об утверждении, не имеющем формального порядка логики).

Итого Лжец, Платон и Аристотель находятся за пределами формальной логики. А Пупкин просто отдыхает.

Чушь?

[lom.livejournal.com]

На мoй взгляд, нe чушь, а сoвeршeннo правильнoe рассуждeниe.

Re:

[avva.livejournal.com]

Всё, что Вы говорите, верно, и является одним из стандартных способов игнорировать парадоксы такого рода в математической логике. Однако целью философской логики является как раз не игнорирование, а пристальное изучение таких парадоксов, и попытка как можно более убедительно построить логические системы, позволяющие справляться с такими утверждениями с той же лёгкостью, с какой мы с ними справяемся в нашей повседневной речи и мышлении.

Чтобы не повторяться, прошу Вас прочесть также вот этот мой коммент ниже: http://www.livejournal.com/talkpost.bml?journal=avva&replyto=4023655 , там ещё подробнее развита та же мысль.

[dyak.livejournal.com]

Я 100% безграмотен в формальной логике, но хочу сказать... может об этом просто не говорить, другими словами:
Если для высказываний у нас есть Истина, Ложь и Х (don't go there), то может лучше, чтобы любое высказывание об Х высказывании тоже есть Х.
"это высказывание = Л" = Х
"предыдущее высказывание = И" = Х
"предыдущее высказывание = Л" = Х
"предыдущее высказывание = Х" = Х (!)

Иначе всегда можно делить на И и не И, чем и занимаются П, А и ВП.
А так все три наших героя сказали Х... То есть, у нас возникает всепоглощающая (или нет?) Х вселенная высказываний. Плохо это или хорошо, спросонья понять не могу...

Re:

[avva.livejournal.com]

Да, Вы всё правильно говорите. Это один из способов справиться с Лжецом-Мстителем: расширить критерии, позволяющие объявить что-то утверждением вида X.

Очевидный недостаток этого заключается в том, что слишком о многом наша логика оказывается бессильна что-нибудь сказать. Т.е. мы обезопасили себя от парадоксов, но сильно ограничили себя в том, о чём мы можем говорить и что мы можем изучать. Это тоже можно пытаться решать другими способами; например, некоторые вводят предикат "слабой истины" (weak truth), отличающийся тем, что он автоматически переводит в класс X утверждения об истинности или ложности утверждений из класса X, но не все возможные утверждения о X. Таким образом в системе слабой истины если утверждение A принадлежит X, то утверждение "A ложно" тоже принадлежит X, но утверждение "A не имеет значения истинности" не принадлежит X (и верно). Это позволяет несколько ограничить X в размерах, и избежать Лжеца-Мстителя.

как в DB

[stas]

NULL, NULL != NULL и IS NULL.

[keen.livejournal.com]

вы меня, конечно, извините, скрипач, но вот это:
Вася Пупкин: Предыдущее высказывание Платона либо ложно, либо не имеет значения истинности.
мне сильно напомнило вот это - http://petrenko.ru/lib/story.php?x=3&t=226
;)

[denniska.livejournal.com]

Два соображения:
1. мы не можем объявить неопределённым только утверждение Платона, т.к. тогда утверждение Аристотеля должно будет быть истинным, но именно это и гласит утверждение Платона, поэтому оно опять-таки будет истинным - противоречие
Гипотеза: Очевидно, что говорящий не может дать предсказание будущего со 100%-вероятностью - исходя из особенностей нашей реальности. Это предполагает, что любое высказывание, нацеленное не на прошедшие события, исходно не истинно и не ложно, а вероятностно или, иначе говоря, не имеет значения истинности. Тогда и утверждение Платона, и утверждение Аристотеля - истинны.

2. Если мы решили, что утверждение Платона не имеет значения истинности, мы обязаны назвать утверждение Васи Пупкина истинным. Но Вася Пупкин и Аристотель утверждают совершенно одно и то же -- и тем не менее, одно из этих утвержденией мы назвали истинным, а второе лишили права иметь значение истинности.
Гипотеза: все-таки, надо учитывать субъект высказывания. Так, напр., ср. два высказывания:
Маша: Мой пол - женский.
Вася: Мой пол - женский.
Два идентичных высказывания. Но одно - истино, другое ложно.

В общем-то, об этом речь и идет. Второй случай очень на автокорреляцию похож. Первый можно расценивать как частный случай той же автокорреляции. Можно назвать "автообоснованием".

[gianthare.livejournal.com]

1. Время тут абсолютно не при чём - присвойте высказываниям именя А,Б,В, сформулируйте всё в настоящем времени и будет точно такой-же парадокс.
2. Пример не походит, у Вас там просто анафора ("мой") раскрывается по-разному. А в парадоксе никакой анафоры нет.

[denniska.livejournal.com]

1.Согласен, не прав.
Хотя вот какая идея пришла в голову:
Судя по тому, что пишет авва, высказывание (*) как раз и определяется, как не имеющее значения истинности. Парадокс лжеца-мстителя как бы должен опровергать эту "отмазку". Но, если принять, что фраза Платона не имеет значения истинности, то парадокса не возникает. Так?
2. Как нет?
"Предыдущее высказывание" - это разве не анафора?
"АНАФОРА ж.

1. Стилистический прием в стихосложении, заключающийся в повторении одних и тех же звуков, слов, словосочетаний, предложений и т.п. в начале смежных или близко расположенных строк, строф или фраз. (http://www.rubricon.ru/qe.asp?qtype=4&qall=0&aid={237BEEE1-A305-4BCC-BA00-D79F60F45D2A}&ii=121&id=121&fstring1=%u0430%u043D%u0430%u0444%u043E%u0440%u0430&rq=1&onlyname=checked&newwind=&psize=10&pn=1)"
Я это к тому, что смысл содержится не только в самой фразе, но и вне ее: в частности, в том, кто говорит.

[ifyr.livejournal.com]

Гипотеза: все-таки, надо учитывать субъект высказывания. Так, напр., ср. два высказывания:
Маша: Мой пол - женский.
Вася: Мой пол - женский.
Два идентичных высказывания. Но одно - истино, другое ложно.

В приведенном Вами примере неидентичны не только субъекты, но и объекты высказывания ("Мой" в них относятся к разным объектам), так что и высказывания не идентичны, тогда как в примере avva объект один, и высказывания идентичны, разные только субъекты.

[denniska.livejournal.com]

Это, скорее, иллюстративно-спекулятивный пример. Речь идет о том, что парадокс вроде бы заключается в том, что есть несколько абсолютных высказываний. Некоторые из них входят в противоречие друг с другом. (Утверждается, что высказывания А. и В.П. - идентичны.) Выводится парадокс. На самом деле, высказывания не абсолютные, они не идентичны, автор высказывания - это свойство высказывания, а авторы отличаются. Высказывания привязаны к субъекту. Т.е. они личные и относительные. Вполне нормально, что личные и относительные высказывания могут противоречить друг другу: для человека на перроне ваза в окошке поезда находится в движении, для пассажира в купе - стоит на месте. Оба высказывания: "Ваза движется. Ваза стоит" - идентичны, объект - один. Но есть заданы условия вне системы. Поэтому как бы парадокс.
Думаю, что и здесь также: такое св-во высказывания, как автор, не входит в систему формальной логики - отсюда и парадокс.

А если переформулировать?

[khatul.livejournal.com]

"Данное высказывание говорится лицом мужского пола".
"Данное высказывание говорится лицом женского пола".

?

[lom.livejournal.com]

Нoвый парадoкс ( Мститeля) рoждeн плoхим oпрeдeлeниeм.
Хoрoшиe лoгики пoступали с Лжeцoм нeскoлькo иначe: oни гoвoрили", чтo "я гoвoрю лoжь" - НE EСТь ВыСКАЗыВАНИE ( или "утвeрждeниe" в твoeй фoрмулирoвкe) - пo oпрeдeлeнию высказывания в мат. лoгикe. Этo прoстo фраза, а нe высказываниe, истиннoсть кoтoрoгo нeизвeстна или пeрeмeнна. Здeсь oб истиннoсти ( нe в чeлoвeчeскoм смыслe, а в стрoгoм, мат-лoгичeскoм ) нe мoжeт быть и рeчи :)
Ты жe, oписывая парадoкс мститeля, имeннo этo и дeлаeшь: рассматриваeшь истиннoсть или лoжнoсть утвeрждeния Платoна.
В принципe, этo тo жe самoe, чтo заниматся трисeкциeй угла, пoлагая "пи" рациoнальным числoм.

Всe парадoксы типа Лжeца или Мститeля oснoваны на тoм, чтo мат. лoгика как систeма намнoгo мeньшe чeлoвeчeскoгo языка как систeмы. Нe думаю, чтo тут нужнo ссылаться на Гeдeлeвскую нeпoлнoту. Вoпрoс o лжeцe нe eсть гeдeлeвский ( вeрнee, Рассeлoвский)
вoпрoс: oн пoставлeн нe внутри систeмы, а с нарушeниeм ee аксиoм.

Re:

[avva.livejournal.com]

Все Ваши возражение верны в рамках математической логики.
Математическая логика довольствуется тем, что определяет некий формальный язык, и рассматривает только утверждения, формализуемые в рамках этого языка; утверждения типа парадокса Лжеца в рамках этого языка формализовать невозможно, и на этом его рассмотрение заканчивается.

Но описываемые мной рассуждения принадлежат философской логике, и она как раз поступает по-другому, поскольку имеет другие цели. Философ-логик ставит своей целью изучение логики как абстрактизации нашего повседневного логического мышления и манипуляции логическими реалиями в нашей речи -- для него формализация может являыться средством, но никак не целью. Невозможность формализовать парадокс Лжеца только показывает философу-логику, что данная конкретная формальная система неадекватна для описания логики в её человеческом смысле -- ведь мы-то вполне можем высказать парадокс Лжеца в нашем естественном языке, можем обсуждать его, можем вывести его противоречивость и т.п. Поэтому логичным видом активности для философа-логика являются попытки найти такие точные (rigorous) способы обсуждать утверждения, которые позволят пролить свет на парадоксальные утверждения, а не игнорировать их. При этом формализация, конечно, обширно используется в качестве подручного средства.

[lom.livejournal.com]

Сoгласeн.
Я бы замeтил, правда, чтo с "филoсoфскoй лoгикoй" пoлучаeтся бoльшая путаница: пытаясь рассуждать в тeрминах чeлoвeчeскoй лжи и правды мы всe-таки сбиваeмся на язык и пoнятия фoрмальнoй лoгики - пoдoбнo тoму как чeлoвeк, впeрвыe прoбующий считать в умe в
16-ичнoй систeмe сбиваeтся на привычную дeсятичную.
Парадoксы типа Лжeца, как ни крути, eсть слeдствиe признания за чeлoвeчeскoм высказываниeм фoрмальнoгo булинeвскoгo атрибута - истина или лoжь.

В филoсoфскoй жe "лoгикe" нeoбхoдимo ввeсти другую "базу". Напримeр, сказать, чтo в нeй вooбщe нeт абсoлютнo истинных и лoжных высказoваний. Или прeдпoлoжить, чтo в нeй из истины мoжeт слeдoвать лoжь ( прeдикат истина - лoжь мoжeт oказаться истинным ).
Или ввeсти дoпoлнитeльнoe значeниe в пoмoщь Булиню - True, False, Indef. Oпрeдeли всe oпeрации на типe Индeф - и вoт тeбe инструмeнт для бoлee тoчнoгo oписания слoв и пoступкoв homo sapiens ....

prove anything!

[wildernesscat.livejournal.com]

Self-reference is a very dangerous thing. Using self-reference you can prove anything! For example, you can prove that the moon is made of cheese using the following schema:

1. There are 3 statements written here.
2. Only one statement (or less) is true.
3. The moon is made of cheese.

Let's check the statements.
Stat. 1 is definitely TRUE, because there are indeed 3 statements written down here.
Stat. 2 may be TRUE, but then stat. 2 is the only stat. that is TRUE. This contradicts our previous conclusion. Therefore stat. 2 must be FALSE.
From this we can deduce, that there are 2 TRUE statements here, which must be 1 and 3.
Therefore, the moon is made of cheese, quod erat demonstrandum.

The moon is made of cheese, QED.

[khatul.livejournal.com]

Circumstantial evidence by Neil Armstrong corroborates this.

Anyhow, the proof is very elegant, I'll use it henceforward.

Re: РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ:

[huseyn qurbanov (from livejournal.com)]

РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ:
1. «Что было раньше: яйцо или курица?»

Даются два понятия «ЯЙЦО» и «КУРИЦА» и в РЯДУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАЗВЁРТЫВАЕМЫХ ПОНЯТИЙ (РПРП) требуется найти понятия предшествующие к каждому из них.

В РПРП для "ЯЙЦА" предшествующим является "КУРИЦА", ибо понятием «эмбрион» (или другими ) не интересующим нас по постановке вопроса мы можем пренебречь.

В РПРП для "КУРИЦА" пренебрегаемым понятием является «цыплёнок», но не «треснувшееся яйцо (из которого старается вылупиться цыплёнок)», ведь в постановке вопроса не акцентировано внимание на обязательности рассмотрения лишь яйца целостного состояния, т. е. для "КУРИЦА" предшествующим является не то понятие на котором акцентирован вопрос, а его разновидность.
ВЫВОД: "КУРИЦА"

2. Даётся понятие "Недвижущегося (Ахиллес)" , который не состоит в РПРП и отсутствие динамического состояния у которого завуалировано перемещениями, которую следуя Зенону производим и мы переставляя это понятие на предыдущие позиции в РПРП понятия "Движущегося (черепаха)" - вот в этом и вся загадка этого апория Зенона. В такой постановке вопроса даже Усейну Болта не тягаться с черепахой...