о лжецах и неуловимых мстителях
Aug. 19th, 2002 10:05 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaПопалась забавная штука, описание парадокса "лжеца-мстителя". Пересказываю вкратце.
Парадокс Лжеца (по-английски в профессиональной литературе его уже давно называют просто The Liar, опуская даже слово "парадокс"), как известно, в самой простой форме состоит из следующего утверждения:
Философы-логики до сих пор работают над парадоксом лжеца (лет пять назад я с изумлением обнаружил в библиотеке свежеизданную книгу, сборник недавних статей, посвящённых Лжецу; она или две из них были даже довольно интересными). Существует несколько стандартных подходов к осмыслению этому парадоксу. Например, можно попытаться запретить self-reference (самоприменение? автореферентность? как??) такого рода.
Одним из таких стандартных подходов является отказ от приписывания какого-либо значения истинности такого рода утверждениям. Иными словами, мы просто постулируем, что утверждения, подобные парадоксу лжеца, не являются ни истинными, ни ложными -- у них нет truth value, значения истинности. Так вот, парадокс Лжеца-Мстителя (по-английски: Revenge Liar) как раз придуман для того, чтобы показать недостаточность такой "отмазки". В профессиональной литературе его сформулировали относительно недавно (если не ошибаюсь, в начале 80-х), но утверждается, что в схожей форме он восходит ещё к Буридану (да-да, тому самому, чей осёл, философу 14-го века).
Парадок Лжеца-Мстителя выглядит так:
Если мы посмотрим на утверждения Платона и Аристотеля, то увидим, что вместе они образуют разновидность парадока Лжеца. Действительно, если утверждение Платона истинно, то Аристотель сказал правду, и тогда утверждение Платона не может быть истинным. Но если оно ложно, то утверждение Аристотеля истинно (т.к. выполняется одно из его дизъюнктов -- постулатов, соединённых "или"), но тогда утверждение Платона опять выходит истинным. Получаем парадокс.
Попробуем, таким образом, использовать лазейку типа "не имеет значения истинности". Эту лазейку нам придётся применить к обоим утверждениям одновременно: и утверждение Платона, и утверждение Аристотеля оба должны быть неопределёнными - ни истинными, ни ложными
(мы не можем объявить неопределённым только утверждение Платона, т.к. тогда утверждение Аристотеля должно будет быть истинным, но именно это и гласит утверждение Платона, поэтому оно опять-таки будет истинным - противоречие). И тут нас настигает Мститель -- Вася Пупкин. Его утверждение не замешано в парадоксе лжеца, опутывающем Платона и Аристотеля. Мы можем оценить его истинность -- оно не участвует ни в каких self-referential (автореферентных? само-указывающих?) циклах. Если мы решили, что утверждение Платона не имеет значения истинности, мы обязаны назвать утверждение Васи Пупкина истинным. Но Вася Пупкин и Аристотель утверждают совершенно одно и то же -- и тем не менее, одно из этих утвержденией мы назвали истинным, а второе лишили права иметь значение истинности. Противоречие.
Естественно, всё это не означает, что Мстителю невозможно в свою очередь Отомстить. Есть несколько возможных возражений и методов обхода парадокса-Мстителя. Но это уже другая тема.
Парадокс Лжеца (по-английски в профессиональной литературе его уже давно называют просто The Liar, опуская даже слово "парадокс"), как известно, в самой простой форме состоит из следующего утверждения:
(*) Это утверждение ложно.Утверждение (*) не может быть ни истинным, ни ложным.
Философы-логики до сих пор работают над парадоксом лжеца (лет пять назад я с изумлением обнаружил в библиотеке свежеизданную книгу, сборник недавних статей, посвящённых Лжецу; она или две из них были даже довольно интересными). Существует несколько стандартных подходов к осмыслению этому парадоксу. Например, можно попытаться запретить self-reference (самоприменение? автореферентность? как??) такого рода.
Одним из таких стандартных подходов является отказ от приписывания какого-либо значения истинности такого рода утверждениям. Иными словами, мы просто постулируем, что утверждения, подобные парадоксу лжеца, не являются ни истинными, ни ложными -- у них нет truth value, значения истинности. Так вот, парадокс Лжеца-Мстителя (по-английски: Revenge Liar) как раз придуман для того, чтобы показать недостаточность такой "отмазки". В профессиональной литературе его сформулировали относительно недавно (если не ошибаюсь, в начале 80-х), но утверждается, что в схожей форме он восходит ещё к Буридану (да-да, тому самому, чей осёл, философу 14-го века).
Парадок Лжеца-Мстителя выглядит так:
- Платон: Аристотель сейчас выскажет истинное утверждение.
- Аристотель: Предыдущее высказывание Платона либо ложно, либо не имеет значения истинности.
- Вася Пупкин: Предыдущее высказывание Платона либо ложно, либо не имеет значения истинности.
Если мы посмотрим на утверждения Платона и Аристотеля, то увидим, что вместе они образуют разновидность парадока Лжеца. Действительно, если утверждение Платона истинно, то Аристотель сказал правду, и тогда утверждение Платона не может быть истинным. Но если оно ложно, то утверждение Аристотеля истинно (т.к. выполняется одно из его дизъюнктов -- постулатов, соединённых "или"), но тогда утверждение Платона опять выходит истинным. Получаем парадокс.
Попробуем, таким образом, использовать лазейку типа "не имеет значения истинности". Эту лазейку нам придётся применить к обоим утверждениям одновременно: и утверждение Платона, и утверждение Аристотеля оба должны быть неопределёнными - ни истинными, ни ложными
(мы не можем объявить неопределённым только утверждение Платона, т.к. тогда утверждение Аристотеля должно будет быть истинным, но именно это и гласит утверждение Платона, поэтому оно опять-таки будет истинным - противоречие). И тут нас настигает Мститель -- Вася Пупкин. Его утверждение не замешано в парадоксе лжеца, опутывающем Платона и Аристотеля. Мы можем оценить его истинность -- оно не участвует ни в каких self-referential (автореферентных? само-указывающих?) циклах. Если мы решили, что утверждение Платона не имеет значения истинности, мы обязаны назвать утверждение Васи Пупкина истинным. Но Вася Пупкин и Аристотель утверждают совершенно одно и то же -- и тем не менее, одно из этих утвержденией мы назвали истинным, а второе лишили права иметь значение истинности. Противоречие.
Естественно, всё это не означает, что Мстителю невозможно в свою очередь Отомстить. Есть несколько возможных возражений и методов обхода парадокса-Мстителя. Но это уже другая тема.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Re:
Date: 2002-08-19 10:16 am (UTC)Математическая логика довольствуется тем, что определяет некий формальный язык, и рассматривает только утверждения, формализуемые в рамках этого языка; утверждения типа парадокса Лжеца в рамках этого языка формализовать невозможно, и на этом его рассмотрение заканчивается.
Но описываемые мной рассуждения принадлежат философской логике, и она как раз поступает по-другому, поскольку имеет другие цели. Философ-логик ставит своей целью изучение логики как абстрактизации нашего повседневного логического мышления и манипуляции логическими реалиями в нашей речи -- для него формализация может являыться средством, но никак не целью. Невозможность формализовать парадокс Лжеца только показывает философу-логику, что данная конкретная формальная система неадекватна для описания логики в её человеческом смысле -- ведь мы-то вполне можем высказать парадокс Лжеца в нашем естественном языке, можем обсуждать его, можем вывести его противоречивость и т.п. Поэтому логичным видом активности для философа-логика являются попытки найти такие точные (rigorous) способы обсуждать утверждения, которые позволят пролить свет на парадоксальные утверждения, а не игнорировать их. При этом формализация, конечно, обширно используется в качестве подручного средства.
no subject
Date: 2002-08-19 10:54 am (UTC)Я бы замeтил, правда, чтo с "филoсoфскoй лoгикoй" пoлучаeтся бoльшая путаница: пытаясь рассуждать в тeрминах чeлoвeчeскoй лжи и правды мы всe-таки сбиваeмся на язык и пoнятия фoрмальнoй лoгики - пoдoбнo тoму как чeлoвeк, впeрвыe прoбующий считать в умe в
16-ичнoй систeмe сбиваeтся на привычную дeсятичную.
Парадoксы типа Лжeца, как ни крути, eсть слeдствиe признания за чeлoвeчeскoм высказываниeм фoрмальнoгo булинeвскoгo атрибута - истина или лoжь.
В филoсoфскoй жe "лoгикe" нeoбхoдимo ввeсти другую "базу". Напримeр, сказать, чтo в нeй вooбщe нeт абсoлютнo истинных и лoжных высказoваний. Или прeдпoлoжить, чтo в нeй из истины мoжeт слeдoвать лoжь ( прeдикат истина - лoжь мoжeт oказаться истинным ).
Или ввeсти дoпoлнитeльнoe значeниe в пoмoщь Булиню - True, False, Indef. Oпрeдeли всe oпeрации на типe Индeф - и вoт тeбe инструмeнт для бoлee тoчнoгo oписания слoв и пoступкoв homo sapiens ....
Re:
Date: 2002-08-19 11:02 am (UTC)Да, ну вот это и есть как раз тот подход, к-й я описал в записи - Indef соответствует "отсутствию значения истинности". Операции на нём можно определять по-разному, и есть вполне формальные системы для работы с этим делом (так называемые weak Kleeney predicates, например).
Т.е. всё так и выходит в итоге - философы-логики придумывают всякие кунштюки, чтобы поближе приблизиться к человеческому мышлению. Другие философы-логики придумывают более изощрённые версии парадоксов (вроде Лжеца-Мстителя), чтобы эти кунштюки опровергнуть. Математики-логики же на всё это плюют и считают это совершенно бессмысленным занятием.
no subject
Date: 2002-08-19 11:36 am (UTC)А eсли вeрнуться к нашим баранам...
Нe вдаваясь в дeтали: в "Мститeлe" припишeм всeм высказываниям статус "индeф" .
Скажeм, чтo статус "индeф" даeтся всeм утвeрждeниям, oб истиннoсти кoтoрых ничeгo нeльзя сказать, а такжe всeм утвeрждeниям,
лишeниe кoтoрых статуса "индeф" привeдeт к тoму, чтo пo крайнeй мeрe oднo другoe утвeрждeниe в систeмe пoлучит этoт статус.
Всe, никакoгo парадoкса нeт.
этo нe сoвсeм тo жe, чтo у тeбя, кстати.
no subject
Date: 2002-08-22 07:18 pm (UTC)no subject
Date: 2002-08-21 02:11 am (UTC)Мы ведь можем записать его в терминах функции истинности f на множестве предикатов:
предикат A определяется следующим образом: A есть (f(A) = false)
далее показывается, что f(A) нельзя приписать ни true, ни false.
Что это значит ? Только то, что не существует так определенной функции истинности. Или, если мы определяем эту функцию через множество точек, в которых она true, то мы можем сказать, что требуемое отношение не является "коллективизирующим" (термин из Бурбаков), т.е. не определяет множество.
Ровно также решается проблема и с парадоксом "Множества всех множеств, не являющихся элементами самих себя" - а если вдуматься, то это и есть формулировка парадокса лжеца на языке множеств.
По-моему, и парадокс с камнем, который не может поднять всемогущий, переформулируется так же.
В общем, есть у меня подозрение, что в мире существует только один парадокс, а все остальные - только его перефразировки ;-).
О самопринадлежности
Date: 2008-01-31 01:47 pm (UTC)Чечулин В. Л.
Re: О самопринадлежности
Date: 2009-06-19 11:41 am (UTC)http://www.iam.khv.ru/zschool/files/Thesis.pdf
статью на стр. 60 о самоссылочности