задачка для программистов

[avva]

Придумал задачку. Для программистов и/или математиков. Простую, так, для забавы.

Берём произвольное натуральное число. Записываем его в двоичной системе. Теперь смотрим на эту запись в двоичной системе как на строку в ASCII, и цифра за цифрой переписываем эти ASCII-значения опять в двоичную систему, получая более длинную строку. Ведущие нули нигде не сокращаем. С полученной строкой проделываем то же самое, и так до бесконечности.

Задание: стабилизируется ли процентное отношение нулей и единиц в пределе? Обосновать. Если да, то найти его.

Update: На всякий случай поясню, что под ASCII я в данном случае понимаю 8-битный код, т.е. каждая двоичная цифра заменяется на восемь.

Ещё update: В комментах появились правильные ответы. Я могу в комментах написать подробное элементарное решение, если кому-то надо.

Comments

[muchacho.livejournal.com]

Тогда 2/5.
Если T - соотношение единиц и нулей, довольно просто получить T(k+1) как функцию от T(k). Далее ищем точки, куда может сойтись. И показываем, что сходится. Самое сложное было: решить квадратное уравнение - забыл, как это делается.

[avva.livejournal.com]

Да, вот это правильно.
А как показывать будем?

[muchacho.livejournal.com]

Ну, показав, что |T(k+1) - T(inf)|/|T(k) - T(inf)| <= g < 1

[avva.livejournal.com]

Кстати, а самым удивительным, возможно, оказалось, что у этого уравнения есть рациональные решения. Я этого совсем не ожидал.

[muchacho.livejournal.com]

Да, всегда радуют сокращающиеся дроби, многочлены и целочисленные корни.