Ни о какой безапелляционности в моих высказываниях не может быть и речи!

Вы неправильно поняли условие. Прочтите внимательнее.

From:

Да. Обосновал. 1/2.

From:

Поскольку кодироваться бинарным кодом будут всё время две цифры: 0 и 1, то, думаю в пределе отношение нулей и единиц будет стремиться к сумме нулей и едениц в их представлении. В '0' - 2 единицы и 6 нулей, в '1' - 3 единицы и 5 нулей. Суммируем. Получаем 5:11.

From:

Не сходится. Подавайте сюда свои обоснования и вычисления.

From:

Интересная прикидка. Но неверная.

From:

Поправка. При каждой итерации это соотношение будет возводиться в квадрат. В итоге будем иметь одни нули в пределе.

From:

ASCII '0' = 00110000
ASCII '1' = 00110001

Let x be the fraction of '1' in the original number; y is the fraction of '0' (y=1-x).

We have a transformation (x,y) => (3/8*x + 2/8*y, 5/8*x + 6/8*y).

I am too lazy, but one can find its eigenvalues, and solve the problem.

From:

gera2.livejournal.com

Update: На всякий случай поясню, что под ASCII я в данном случае понимаю 8-битный код, т.е. каждая двоичная цифра заменяется на восемь.

Так вы с этого бы и начинали :).

Каждая двоичная цифра заменяется на восемь
Что в вашем понимании двоичная цифра ?

From:

Что в вашем понимании двоичная цифра?

Это гениальный вопрос. В анналы ;)

Ну, 0 или 1 естественно.

From:

I am getting two eigenvalues: 1/8 and 1. I forgot how to calculate eigenvectors, but I can imagine that there is an unstable solution to the problem that is associated with the eigenvalue 1/8, and a stable one that is associated with the eigenvalue 1.

From:

gera2.livejournal.com

:))) Да я не про это.
Это-то ясно.
Как-то ход ваших мыслей мне не ясен.
Возьму я например цифру 3.
В бинарном виде 3 выражается как 11
Теперь 11 в виде ASCII это 31 31 ...
Теперь 31 31 можно представить как бинарное выражение от 3131, но я так понимаю вы не это хотите.
Можно бинарное от 31 и 31 в отдельности, записав каждое из них в виде восьми бит. А можно 3 отдельно и 1 отдельно. Выделив каждому по восемь бит.

From:

tsetsefly.livejournal.com

1:2.5

From:

Ага. Я с самого начала бинарный код ASCII символов '0' и '1' перепутал. И даже не обратил внимания, что 0 > 1 получается... Так-с...
Отвлекли, позже пересчитаю.

From:

Тогда 2/5.
Если T - соотношение единиц и нулей, довольно просто получить T(k+1) как функцию от T(k). Далее ищем точки, куда может сойтись. И показываем, что сходится. Самое сложное было: решить квадратное уравнение - забыл, как это делается.

From:

Да, вот это правильно.
А как показывать будем?

From:

11 в виде ASCII это не 31 31. Это строка "11".
А при переводе её обратно в двоичный вид получается
0011000100110001.

From:

Неправильные у тебя, кажется, айгенвальзы. Где-то ты перемудрил.

From:

Да, это верно.

From:

ait.livejournal.com

Тогда уж (x,1-x) => (3/8*x + 2/8*(1-x),...) == ( (3/8-2/8)*x + 2/8, ... ) == ( 1/8 * x + 2/8, ... )

Итого Xlim = 2/8 = 1/4

From:

Точнее так: если отношение нулей к единицам в исходном числе было у:x, то предел будет 2.5*y/x

From:

Получил в эксперименте.

From:

Кстати, а самым удивительным, возможно, оказалось, что у этого уравнения есть рациональные решения. Я этого совсем не ожидал.

From:

Извините, но это не точнее, а неверно ;)
Отношение стабилизируется к 1:2.5 (примерно 28.5% единиц и 71.5% нулей) независимо от начального числа.

From:

ОК!
А как вы получили результат? Тоже экспериментально?

From:

Нет, так же, как

muchacho выше описывает.

From:

Ну, показав, что |T(k+1) - T(inf)|/|T(k) - T(inf)| <= g < 1

From:

Да, всегда радуют сокращающиеся дроби, многочлены и целочисленные корни.

From:

(2,5) - это один eigenvector (т.е. в пределе единички и ноли будут соотноситься в пропорции 2:5). нужно найти еще один.

From:

Другого нет (точнее, он комплексный).

From:

А что такое айгенвальз?

From:

Это я намеренно исковеркал eigenvalues. На самом деле это "собственные значения".

From:

eigenvalue ему соответствующее - действительно 1.

From:

Я так и подумал. Вот они где вылезли... Никогда не понимал их смысла. ;-(

From:

Ну, здесь можно и без них обойтись, одним квадратным уравнением.

From:

Если не трудно, напишите, пожалуйста, каким. И как оно получено.

From:

Ближе к вечеру напишу, комментом к этой же записи. Сейчас убегаю.

From:

Вот как можно более элементарное решение задачи.

Предположим, мы начинаем с числа, в котором x нулей и y единиц. При преобразовании каждый ноль заменяется на восемь цифр, представляющих код нуля в ASCII, а каждая единица - на восемь цифр, представляющих её код в ASCII. Код нуля - 00110000 (48), код единицы - 00110001 (49).

Таким образом, каждый 0 в исходном числе даёт две единиц и шесть нулей в новом, а каждая 1 в исходном числе - три единицы и пять нулей в новом. Если мы начали с x нулей и y единиц, то после преобразования мы получим 6x+5y нулей и 2x+3y единиц.

Если предположить, что в пределе отношение кол-ва нулей к кол-ву единиц стабилизируется, то отношения x/y с одной стороны и (6x+5y)/(2x+3y) с другой должны стремиться к одному и тому же числу. В пределе они будут равны; поэтому если мы приравняем эти две дроби и решим уравнение, найдя возможные значения x/y, это и будут возможные значения предела.

Таким образом, у нас есть уравнение

x/y = (6x+5y)/(2x+3y). Перемножая числитель одной стороны со знаменателем другой и наоборот, получаем

2x^2+3xy = 6xy+5y^2

2x^2-3xy-5y^2 = 0.

Делим обе части на x*y и получаем

2*(x/y) - 3 - 5(y/x) = 0.

Обозначим теперь z=x/y, тогда y/x = 1/z. z это и есть то, что мы стремимся найти.

2*z - 3 - 5(1/z) = 0.

приводим к общему знаменателю:

2z^2 - 3z - 5 = 0.

Решаем это уравнение и получаем один ответ: z=2.5 (два с половиной; второй ответ выходит комплексным и нам не подходит, т.к. отношение x/y должно быть вещественным числом). Значит, в пределе x/y = 2.5, или в переводе на проценты единиц будет примерно 28.5%, а нулей - 71.5%.

Для того, чтобы показать, что этот предел действительно существует, т.е. что отношение нулей и единиц стабилизируется в пределе, достаточно посмотреть на это уравнение как на неравенство и показать, что если начальное отношение x/y меньше 2.5, то в результате итерации оно увеличится, а если больше - уменьшится.

From:

rydel23.livejournal.com

Very nice!

From:

Спасибо большое!

From:

Второй корень не комплексный, а отрицательный: z=-1 и поэтому не подходит. (Корни квадратного уравнения с вещественными коэффициентами всегда либо оба комплексные, либо оба вещественные)

Надо показать не то, что x/y увеличивается, если меньше 2.5, и наоборот, т.к. это может быть и расходящаяся последовательность (к примеру, если расстояние между x/y и 2.5 увеличивается), а то, что x/y сходится к 2.5 быстрее, чем члены какой-либо сходящейся геометрической прогрессии.

From: