задачка для программистов

[avva]

Придумал задачку. Для программистов и/или математиков. Простую, так, для забавы.

Берём произвольное натуральное число. Записываем его в двоичной системе. Теперь смотрим на эту запись в двоичной системе как на строку в ASCII, и цифра за цифрой переписываем эти ASCII-значения опять в двоичную систему, получая более длинную строку. Ведущие нули нигде не сокращаем. С полученной строкой проделываем то же самое, и так до бесконечности.

Задание: стабилизируется ли процентное отношение нулей и единиц в пределе? Обосновать. Если да, то найти его.

Update: На всякий случай поясню, что под ASCII я в данном случае понимаю 8-битный код, т.е. каждая двоичная цифра заменяется на восемь.

Ещё update: В комментах появились правильные ответы. Я могу в комментах написать подробное элементарное решение, если кому-то надо.

Comments

Две буквоедские поправки

[muchacho.livejournal.com]

Второй корень не комплексный, а отрицательный: z=-1 и поэтому не подходит. (Корни квадратного уравнения с вещественными коэффициентами всегда либо оба комплексные, либо оба вещественные)

Надо показать не то, что x/y увеличивается, если меньше 2.5, и наоборот, т.к. это может быть и расходящаяся последовательность (к примеру, если расстояние между x/y и 2.5 увеличивается), а то, что x/y сходится к 2.5 быстрее, чем члены какой-либо сходящейся геометрической прогрессии.

Re: Две буквоедские поправки

[avva.livejournal.com]

Второй корень не комплексный, а отрицательный: z=-1 и поэтому не подходит.

Да, глюк у меня, спасибо.

Надо показать не то, что x/y увеличивается, если меньше 2.5, и наоборот, т.к. это может быть и расходящаяся последовательность (к примеру, если расстояние между x/y и 2.5 увеличивается), а то, что x/y сходится к 2.5 быстрее, чем члены какой-либо сходящейся геометрической прогрессии.

Хорошо, поправлюсь так: достаточно показать, что x/y увеличивается, если меньше 2.5, и при этом остаётся меньше 2.5. И то же самое в случае больше. Это всё равно тривиально показать рассмотением того же уравнения в виде неравенства, и легче, чем то, что Вы предлагаете.

Этого достаточно, т.к. x/y образует тогда монотонную последовательность с верхним пределом и следовательно сходится к чему-нибудь, а мы уже доказали, что сходиться может только к 2.5.