парадокс спящей красавицы
Nov. 5th, 2002 06:18 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaНе так уж часто в наше время придумывают новые парадоксы, или, по крайней мере, парадоксальные задачи. Вот одна очень интересная, по-моему, задача, которую придумали всего лет пять назад и которую довольно активно обсуждают в последние годы в профессиональной литературе. Впервые она появилась в качестве примера в статье двух статистиков, но популяризовал её и инициировал её философское обсуждение американский философ Адам Эльга.
Итак, у нас есть Спящая Красавица, которую мы назовём, скажем, Леной. Исследователи проводят над Леной следующий эксперимент, который начинается, скажем, в воскресенье. Вначале они кидают честную монетку ("честную" -- значит, вероятность выпадения орлом равна в точности 1/2, и решкой в точности 1/2) и записывают результат, но не говорят его Лене. В воскресенье вечером Лена засыпает. В понедельник утром она просыпается, и сразу после её пробуждения случается одно из двух. Если монета выпала орлом (напомню, что Лена в любом случае этого не знает), то у Лены спрашивают, какова её уверенность в том, что монета выпала орлом ("уверенность" - так я пробую перевести английское credence; это означает здесь субъективную вероятность, т.е. какова с точки зрения Лены вероятность того, что монета выпала орлом). Если монета выпала решкой, то у Лены тоже спрашивают, какова вероятность того, что она выпала орлом, но потом в понедельник вечером ей дают специальный медикамент, действие которого заключается в том, что у неё полностью исчезают воспоминания всех последних 24 часов. Лена засыпает, просыпается во вторник утром, и её опять спрашивают о её уверенности в том, что монета выпала орлом.
Действие медикамента, таким образом, приводит к тому, что Лена, когда она просыпается, не знает, проснулась ли она в понедельник, в первый раз, или во вторник, во второй раз (но это второе пробуждение случится, только если монета выпала решкой). В обоих случаях она помнит только, как она заснула в воскресенье вечером; все её воспоминания и ощущения абсолютно идентичны. Вопрос ей задают сразу после пробуждения -- до того, как она может узнать, какой сегодня день.
Предположим, что Лена рассуждает абсолютно рационально, и что она знает все подробности данного эксперимента, т.е. она знает всё, что будут делать исследователи в обоих случаях (но не знает, как выпала монетка). Лена просыпается в понедельник утром (её первое пробуждение) и её спрашивают о степени её уверенности в том, что монетка выпала орлом. Вопрос: что ей следует ответить?
На этот вопрос есть два возможных ответа:
1. Ей следует ответить, что вероятность выпадения орла - 1/2.
2. Ей следует ответить, что вероятность выпадения орла - 1/3.
Существуют немало аргументов в пользу каждого из этих двух ответов. Вот довольно типичные их примеры:
1. До того, как Лена заснула в воскресенье вечером, она знала, что вероятность выпадения орла - 50%, т.е. 1/2. Когда она просыпается в понедельник утром, то по сравнению с предыдущим вечером она не получила никакой новой информации (и не потеряла никакой информации -- это может случиться только на следующий вечер, когда ей дадут медикамент, в случае выпадения решки). Всё, что она "знает" нового - это то, что она проснулась; но она и предыдущим вечером знала, что проснётся в любом случае, независимо от того, как выпадет монета. Следовательно, раз у неё нет никакой новой информации, её оценка вероятности выпадения орла не может измениться, и она должна ответить 1/2.
2. Предположим, что мы запускаем этот эксперимент очень много раз. Среди всех возможных пробуждений Лены некоторые будут приходиться на понедельники, а некоторые -- на вторники; некоторые будут соответствовать случаям, когда выпадал орёл, некоторые - решке. Но тех, которые будут соответствовать орлу, будет ровно треть от общего числа пробуждений (т.к. при орле Лена просыпается один раз, при решке - дважды). Т.к. Лена никак не может отличить одно пробуждение от другого -- у неё нет никакой информации, позволяющей их различить -- ей следует заключить, что её оценка вероятности выпадения орла равна 1/3.
Оба эти аргумента в каком-то смысле неформальны, но их можно попробовать усилить и уточнить (что разные люди и пытаются сделать).
Те, кто поддерживают ответ 1/2, по-английски в неформальных обсуждениях называют себя halfers, а те, кто считают, что правильный ответ 1/3 - thirders (от "half" и "third", соответственно). Наверное, лучше всего перевести это на русский как "двоечники" и "троечники" (если есть другие предложения, высказывайте). Я, например, пока что считаю себя троечником. А вы как думаете?
Итак, у нас есть Спящая Красавица, которую мы назовём, скажем, Леной. Исследователи проводят над Леной следующий эксперимент, который начинается, скажем, в воскресенье. Вначале они кидают честную монетку ("честную" -- значит, вероятность выпадения орлом равна в точности 1/2, и решкой в точности 1/2) и записывают результат, но не говорят его Лене. В воскресенье вечером Лена засыпает. В понедельник утром она просыпается, и сразу после её пробуждения случается одно из двух. Если монета выпала орлом (напомню, что Лена в любом случае этого не знает), то у Лены спрашивают, какова её уверенность в том, что монета выпала орлом ("уверенность" - так я пробую перевести английское credence; это означает здесь субъективную вероятность, т.е. какова с точки зрения Лены вероятность того, что монета выпала орлом). Если монета выпала решкой, то у Лены тоже спрашивают, какова вероятность того, что она выпала орлом, но потом в понедельник вечером ей дают специальный медикамент, действие которого заключается в том, что у неё полностью исчезают воспоминания всех последних 24 часов. Лена засыпает, просыпается во вторник утром, и её опять спрашивают о её уверенности в том, что монета выпала орлом.
Действие медикамента, таким образом, приводит к тому, что Лена, когда она просыпается, не знает, проснулась ли она в понедельник, в первый раз, или во вторник, во второй раз (но это второе пробуждение случится, только если монета выпала решкой). В обоих случаях она помнит только, как она заснула в воскресенье вечером; все её воспоминания и ощущения абсолютно идентичны. Вопрос ей задают сразу после пробуждения -- до того, как она может узнать, какой сегодня день.
Предположим, что Лена рассуждает абсолютно рационально, и что она знает все подробности данного эксперимента, т.е. она знает всё, что будут делать исследователи в обоих случаях (но не знает, как выпала монетка). Лена просыпается в понедельник утром (её первое пробуждение) и её спрашивают о степени её уверенности в том, что монетка выпала орлом. Вопрос: что ей следует ответить?
На этот вопрос есть два возможных ответа:
1. Ей следует ответить, что вероятность выпадения орла - 1/2.
2. Ей следует ответить, что вероятность выпадения орла - 1/3.
Существуют немало аргументов в пользу каждого из этих двух ответов. Вот довольно типичные их примеры:
1. До того, как Лена заснула в воскресенье вечером, она знала, что вероятность выпадения орла - 50%, т.е. 1/2. Когда она просыпается в понедельник утром, то по сравнению с предыдущим вечером она не получила никакой новой информации (и не потеряла никакой информации -- это может случиться только на следующий вечер, когда ей дадут медикамент, в случае выпадения решки). Всё, что она "знает" нового - это то, что она проснулась; но она и предыдущим вечером знала, что проснётся в любом случае, независимо от того, как выпадет монета. Следовательно, раз у неё нет никакой новой информации, её оценка вероятности выпадения орла не может измениться, и она должна ответить 1/2.
2. Предположим, что мы запускаем этот эксперимент очень много раз. Среди всех возможных пробуждений Лены некоторые будут приходиться на понедельники, а некоторые -- на вторники; некоторые будут соответствовать случаям, когда выпадал орёл, некоторые - решке. Но тех, которые будут соответствовать орлу, будет ровно треть от общего числа пробуждений (т.к. при орле Лена просыпается один раз, при решке - дважды). Т.к. Лена никак не может отличить одно пробуждение от другого -- у неё нет никакой информации, позволяющей их различить -- ей следует заключить, что её оценка вероятности выпадения орла равна 1/3.
Оба эти аргумента в каком-то смысле неформальны, но их можно попробовать усилить и уточнить (что разные люди и пытаются сделать).
Те, кто поддерживают ответ 1/2, по-английски в неформальных обсуждениях называют себя halfers, а те, кто считают, что правильный ответ 1/3 - thirders (от "half" и "third", соответственно). Наверное, лучше всего перевести это на русский как "двоечники" и "троечники" (если есть другие предложения, высказывайте). Я, например, пока что считаю себя троечником. А вы как думаете?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Re: А если попробовать такой зигзуг?
Date: 2002-11-05 04:29 pm (UTC)Это же порочный круг. Если Вы предполагаете изначально, что вероятность решки 1/2, то вероятность орла тоже 1/2 и больше ничего не надо ;)
Re: А если попробовать такой зигзуг?
Date: 2002-11-05 07:25 pm (UTC)http://www.livejournal.com/talkread.bml?journal=avva&itemid=496296&thread=5385384)
Однако, мне кажется, что Вы его на ходу отметаете, не вникнув.
Почему порочный круг-то? Тут ниже, отвечая на следующее сообщение вы хорошиё термин использовали (то, что я описал "для Лены"), "субъективная вероятность".
А про монетку сами пишете "(эта вероятность дана, она равна 1/2)", что в принципе изначально ясно. Так значит, эту первоначальную объективную вероятность можно (и нужно) использовать, что, кстати, и делается в данных 2-х вариантах.
Так это мое/не мое рассуждение, дающее 3/8, по-моему, очень неплохо описывает ситуацию как раз субъективно для Лены, гораздо лучше, чем данные 2 варианта.
Re: А если попробовать такой зигзуг?
Date: 2002-11-05 08:01 pm (UTC)Давайте я приведу тривиальный пример. Предположим, в понедельник Лене говорят, что выпал орёл, и только после этого спрашивают, какова её субъективная вероятность того, что выпал орёл. Понятно тогда, что ответ тривиален - вероятность равна 1. При этом вероятность того, что выпала решка, равна 0, и того, что сегодня вторник, тоже 0. Но объективная вероятность выпадения решки как была, так и осталась 1/2, поэтому Ваши вычисления всё равно покажут вероятность 1/4 для вторника, если предположить, как Вы предлагаете, что они используют объективную вероятность решки.
Вот ещё один возможный способ посмотреть на это. Субъективная вероятность события X для Лены - это всего-навсего объективная кондициональная вероятность X при условии, что известно всё то, что известно Лене. Вначале Лене не известно ничего, кроме того, что монета честная, поэтому её субъективная вероятность была 1/2.
Пытаясь впоследствии вычислить её субъективную вероятность вторника путём перемножения вероятностей (1/4=1/2*1/2), Вы не можете по Вашему желанию "снять" этот груз новых знаний, который уже лежит на Лене в понедельник утром, и использовать объективную вероятность выпадения решки. Конечно, для двоечника этот "груз" фиктивен, никакой новой информации нет, и субъективная вероятность Лены равна объективной вероятности в воскресенье. Но для троечника этот "груз" не фиктивен и он меняет вероятность выпадения решки; вопрос в том, как этот груз определить и уяснить.
Re: А если попробовать такой зигзуг?
Date: 2002-11-05 08:44 pm (UTC)Ну, если я написал "для нее", то имеется в виду только это же:
>> это всего-навсего объективная кондициональная вероятность X при условии, что известно всё то, что известно Лене
Все точно. А с каких позиций еще должна отвечать Лена? Как раз 1/3 - это скорее объективная позиция со стороны (а 1/2, похоже, нас обоих не удовлетворяет)
Что известно Лене, когда она просыпается? Только условия эксперимента и объективная вероятность, что вероятность, что вообще выпал орел - 1/2. Что тогда может оказать влияние на ее субъективную вероятность? Только день, который она не знает. Соответственно, надо искать ответ, оперируя днем и его вероятностью. Дальше согласно вышеизложенному (кажется, эту цепочку вообще легче понять, представляя на месте Лены себя). Распеределение вероятностей
дней, мне кажется, вполне корректно рассчитать, исходя из изначальной объективной вероятности 1/2 (а как по-другому?), и оно будет 3:1. Взгляд с другого угла: при данных условиях вы, как сторонний наблюдатель, которому известно только то, что Лена разбужена, как распределите вероятности дней побудки? По-моему, другого варианта нет. А при условии согласия по этому пункту, дальше умножение этих 3/4 на 1/2 очевидно.
Re: А если попробовать такой зигзуг?
Date: 2002-11-05 09:10 pm (UTC)Конечно, не так, а совсем по-другому! Если повторить эксперимент X раз, то в среднем будет X/2 орлов, все понедельники, и X/2 решек. Побудок будет всего 3X/2. X/2 орлов дают X/2 побудок-понедельников; X/2 решек дают X/2 побудок-понедельников и X/2 побудок-вторников. Всего получаем X побудок-понедельников и X/2 побудок-вторников. Вероятность того, что какая-то случайно выбранная побудка - понедельник, выходит 2/3.
Re: А если попробовать такой зигзуг?
Date: 2002-11-05 11:36 pm (UTC)Мне кажется,ту ключ должен быть в том, что у меня и у вас получается не совсем одна и та же вероятность, но пока сформулировать разницу не могу. Еще подумаю над этим...
no subject
Date: 2002-11-06 04:58 pm (UTC)С другой стороны, бывает такое, что задача имеет больше 1 (скажем, 2) похожих на правду решения, дающих разные результаты. И мне не кажется, что приведение одного решения как контраргумент на 2-е является оповержением этого самого 2-го решения. Опровергнуть какое-то из решений можно, только найдя ошибку непосредственно в нем.
Здесь вот рассуждения в варианте "троечника" не рассматриваются изначально как опровержение варианта "двоечника", а идут отдельно (что, однако, не запрещает искать ошибку в варианте 2-ка "на их опыте").
Совершенно таким же образом вариант 3-ка не опровергает напрямую "моего" варианта. К тому же, имхо в "моем" не меньше по крайней мере здравого смысла, чем в "двоечнике". Учитывая также то, сколько раз этот вариант возникает независимо у разных людей, я думаю, он мог бы занять очень достойное место рядом с имеющимися двумя в числе предлагаемых заранее.