парадокс спящей красавицы
Nov. 5th, 2002 06:18 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaНе так уж часто в наше время придумывают новые парадоксы, или, по крайней мере, парадоксальные задачи. Вот одна очень интересная, по-моему, задача, которую придумали всего лет пять назад и которую довольно активно обсуждают в последние годы в профессиональной литературе. Впервые она появилась в качестве примера в статье двух статистиков, но популяризовал её и инициировал её философское обсуждение американский философ Адам Эльга.
Итак, у нас есть Спящая Красавица, которую мы назовём, скажем, Леной. Исследователи проводят над Леной следующий эксперимент, который начинается, скажем, в воскресенье. Вначале они кидают честную монетку ("честную" -- значит, вероятность выпадения орлом равна в точности 1/2, и решкой в точности 1/2) и записывают результат, но не говорят его Лене. В воскресенье вечером Лена засыпает. В понедельник утром она просыпается, и сразу после её пробуждения случается одно из двух. Если монета выпала орлом (напомню, что Лена в любом случае этого не знает), то у Лены спрашивают, какова её уверенность в том, что монета выпала орлом ("уверенность" - так я пробую перевести английское credence; это означает здесь субъективную вероятность, т.е. какова с точки зрения Лены вероятность того, что монета выпала орлом). Если монета выпала решкой, то у Лены тоже спрашивают, какова вероятность того, что она выпала орлом, но потом в понедельник вечером ей дают специальный медикамент, действие которого заключается в том, что у неё полностью исчезают воспоминания всех последних 24 часов. Лена засыпает, просыпается во вторник утром, и её опять спрашивают о её уверенности в том, что монета выпала орлом.
Действие медикамента, таким образом, приводит к тому, что Лена, когда она просыпается, не знает, проснулась ли она в понедельник, в первый раз, или во вторник, во второй раз (но это второе пробуждение случится, только если монета выпала решкой). В обоих случаях она помнит только, как она заснула в воскресенье вечером; все её воспоминания и ощущения абсолютно идентичны. Вопрос ей задают сразу после пробуждения -- до того, как она может узнать, какой сегодня день.
Предположим, что Лена рассуждает абсолютно рационально, и что она знает все подробности данного эксперимента, т.е. она знает всё, что будут делать исследователи в обоих случаях (но не знает, как выпала монетка). Лена просыпается в понедельник утром (её первое пробуждение) и её спрашивают о степени её уверенности в том, что монетка выпала орлом. Вопрос: что ей следует ответить?
На этот вопрос есть два возможных ответа:
1. Ей следует ответить, что вероятность выпадения орла - 1/2.
2. Ей следует ответить, что вероятность выпадения орла - 1/3.
Существуют немало аргументов в пользу каждого из этих двух ответов. Вот довольно типичные их примеры:
1. До того, как Лена заснула в воскресенье вечером, она знала, что вероятность выпадения орла - 50%, т.е. 1/2. Когда она просыпается в понедельник утром, то по сравнению с предыдущим вечером она не получила никакой новой информации (и не потеряла никакой информации -- это может случиться только на следующий вечер, когда ей дадут медикамент, в случае выпадения решки). Всё, что она "знает" нового - это то, что она проснулась; но она и предыдущим вечером знала, что проснётся в любом случае, независимо от того, как выпадет монета. Следовательно, раз у неё нет никакой новой информации, её оценка вероятности выпадения орла не может измениться, и она должна ответить 1/2.
2. Предположим, что мы запускаем этот эксперимент очень много раз. Среди всех возможных пробуждений Лены некоторые будут приходиться на понедельники, а некоторые -- на вторники; некоторые будут соответствовать случаям, когда выпадал орёл, некоторые - решке. Но тех, которые будут соответствовать орлу, будет ровно треть от общего числа пробуждений (т.к. при орле Лена просыпается один раз, при решке - дважды). Т.к. Лена никак не может отличить одно пробуждение от другого -- у неё нет никакой информации, позволяющей их различить -- ей следует заключить, что её оценка вероятности выпадения орла равна 1/3.
Оба эти аргумента в каком-то смысле неформальны, но их можно попробовать усилить и уточнить (что разные люди и пытаются сделать).
Те, кто поддерживают ответ 1/2, по-английски в неформальных обсуждениях называют себя halfers, а те, кто считают, что правильный ответ 1/3 - thirders (от "half" и "third", соответственно). Наверное, лучше всего перевести это на русский как "двоечники" и "троечники" (если есть другие предложения, высказывайте). Я, например, пока что считаю себя троечником. А вы как думаете?
Итак, у нас есть Спящая Красавица, которую мы назовём, скажем, Леной. Исследователи проводят над Леной следующий эксперимент, который начинается, скажем, в воскресенье. Вначале они кидают честную монетку ("честную" -- значит, вероятность выпадения орлом равна в точности 1/2, и решкой в точности 1/2) и записывают результат, но не говорят его Лене. В воскресенье вечером Лена засыпает. В понедельник утром она просыпается, и сразу после её пробуждения случается одно из двух. Если монета выпала орлом (напомню, что Лена в любом случае этого не знает), то у Лены спрашивают, какова её уверенность в том, что монета выпала орлом ("уверенность" - так я пробую перевести английское credence; это означает здесь субъективную вероятность, т.е. какова с точки зрения Лены вероятность того, что монета выпала орлом). Если монета выпала решкой, то у Лены тоже спрашивают, какова вероятность того, что она выпала орлом, но потом в понедельник вечером ей дают специальный медикамент, действие которого заключается в том, что у неё полностью исчезают воспоминания всех последних 24 часов. Лена засыпает, просыпается во вторник утром, и её опять спрашивают о её уверенности в том, что монета выпала орлом.
Действие медикамента, таким образом, приводит к тому, что Лена, когда она просыпается, не знает, проснулась ли она в понедельник, в первый раз, или во вторник, во второй раз (но это второе пробуждение случится, только если монета выпала решкой). В обоих случаях она помнит только, как она заснула в воскресенье вечером; все её воспоминания и ощущения абсолютно идентичны. Вопрос ей задают сразу после пробуждения -- до того, как она может узнать, какой сегодня день.
Предположим, что Лена рассуждает абсолютно рационально, и что она знает все подробности данного эксперимента, т.е. она знает всё, что будут делать исследователи в обоих случаях (но не знает, как выпала монетка). Лена просыпается в понедельник утром (её первое пробуждение) и её спрашивают о степени её уверенности в том, что монетка выпала орлом. Вопрос: что ей следует ответить?
На этот вопрос есть два возможных ответа:
1. Ей следует ответить, что вероятность выпадения орла - 1/2.
2. Ей следует ответить, что вероятность выпадения орла - 1/3.
Существуют немало аргументов в пользу каждого из этих двух ответов. Вот довольно типичные их примеры:
1. До того, как Лена заснула в воскресенье вечером, она знала, что вероятность выпадения орла - 50%, т.е. 1/2. Когда она просыпается в понедельник утром, то по сравнению с предыдущим вечером она не получила никакой новой информации (и не потеряла никакой информации -- это может случиться только на следующий вечер, когда ей дадут медикамент, в случае выпадения решки). Всё, что она "знает" нового - это то, что она проснулась; но она и предыдущим вечером знала, что проснётся в любом случае, независимо от того, как выпадет монета. Следовательно, раз у неё нет никакой новой информации, её оценка вероятности выпадения орла не может измениться, и она должна ответить 1/2.
2. Предположим, что мы запускаем этот эксперимент очень много раз. Среди всех возможных пробуждений Лены некоторые будут приходиться на понедельники, а некоторые -- на вторники; некоторые будут соответствовать случаям, когда выпадал орёл, некоторые - решке. Но тех, которые будут соответствовать орлу, будет ровно треть от общего числа пробуждений (т.к. при орле Лена просыпается один раз, при решке - дважды). Т.к. Лена никак не может отличить одно пробуждение от другого -- у неё нет никакой информации, позволяющей их различить -- ей следует заключить, что её оценка вероятности выпадения орла равна 1/3.
Оба эти аргумента в каком-то смысле неформальны, но их можно попробовать усилить и уточнить (что разные люди и пытаются сделать).
Те, кто поддерживают ответ 1/2, по-английски в неформальных обсуждениях называют себя halfers, а те, кто считают, что правильный ответ 1/3 - thirders (от "half" и "third", соответственно). Наверное, лучше всего перевести это на русский как "двоечники" и "троечники" (если есть другие предложения, высказывайте). Я, например, пока что считаю себя троечником. А вы как думаете?
no subject
Date: 2002-11-05 06:20 pm (UTC)Тогда зачем коммент писать?
Совершенно очевидно, что Лена выберет 1/2, ведь тот факт, что монета идеальная - объективная реальность, и Лене об этом известно.
Это бред, конечно. Тот факт, что Лене известно, что монета идеальна, не влечёт за собой того факта, что она должна в любой ситуации согласиться, что её субъективная вероятность выпадения орла - 1/2. Изменение информации, имеющейся у Лены, может заставить её изменить оценку вероятности.
Очевидно, что если она знает, что выпал орёл, то её субъективная вероятность равна 1, а не 1/2.
Далее, очевидно, что субъективная вероятность может меняться и не к 1 или 0. Например, если брошены идеальные игральные кости, вероятность тог, что выпала шестёрка, равна 1/6. Если после этого становится известно, что выпала точно не единица, вероятность выпадения шестёрки меняется на 1/5.
Но обратите внимание, что приведенный довод в пользу вероятности 1/3 также опирается на тот самый факт, что вероятность есть одна вторая (логическая епочка там такая: число выпадений орла равно числу выпадений решки, но на каждое выпадение решки приходится два пробуждения, итого на выпадения орлов приходится одна треть всех пробуждений).
Естественно, этот довод опирается на факт, что первоначальная вероятность выпадения орла равна 1/2. Но это не значит, что эта вероятность равна субъективной вероятности выпадения орла для Лены в понедельник утром. Что собственно и пытается продемонстрировать данный парадокс.
А кто сказал, что вероятность выпадения орла есть отношение числа выпадений орла к числу пробуждений*? Нет! Это отношение числа выпадений орла к общему числу подбрасываний монеты**!
Нет, это неверно. Мы спрашиваем не о вероятности того, что монета выпадет орлом (эта вероятность дана, она равна 1/2), а о том, какова должна быть уверенность Лены в данной ситуации в том, что монета выпала орлом.
Частотный подход к вероятности предлагает решить этот вопрос путём повторения данной ситуации Лены много-много раз (путём повторения эксперимента много-много раз) и вычисления, в каком кол-ве из этих раз встречается желаемый исход. В задаче подсчёта вероятности выпадения орла эксперимент - бросание монеты и ответ - кол-во орлов. В задаче подсчёта субъективной вероятности для Лены в момент пробуждения того, что выпал орёл, эксперимент - повторение момента пробуждения и ответ - кол-во орлов, приходящихся на эти моменты. Вычисляя это количество, мы получаем в среднем 1/3.