задачки

[avva]

Две математических задачки, попавшиеся мне в последние сутки и понравившиеся.

На любителя!

1. (украдено у ppetya) Может ли непрерывная непостоянная функция на отрезке принимать каждое свое значение несчётное число раз?

2. В каждом узле координатной сетки на плоскости записано положительное число, так, что число в каждом узле является средним значением своих четверых соседей. Доказать, что все числа равны между собой.

Comments

[diam.livejournal.com]

Из-за того, что (0,1) - не отрезок ?

Re:

[avva.livejournal.com]

Из-за того, что пересекает счётное число раз, а не несчётное.

[ppetya.livejournal.com]

Счетное число раз на отрезке (не на интервале) -- тоже интересно.

[ppetya.livejournal.com]

Кстати -- про счетное число раз на отрезке -- тоже очень интересно.

[(Anonymous)]

По-моему, y=sin(1/x) для отрезка [a; b] (a<=0; b>=0; a<>b) всё-таки будет решением задачи #1. При бесконечно малых по модулю величинах x частота колебания синусоиды будет бесконечно большой.

Набросок строгого доказательства: для любого положительного числа c можно найти такое положительное число d<c, что (1/d)-(1/c)=2*pi, т.е. синусоида на интервале [d; c] будет делать полное колебание (каждое значение функции будет встречаться по два раза, кроме макс. (y=1) и мин. (y=-1) значений, которые по одному разу). Далее переменной c присваивается значение d и снова ищется ещё меньшее число d. Повторять, пока не надоест.

[alekz.livejournal.com]

Это моё было (alekz). Тут ЖЖ сейчас как-то красиво сглючил, но коммент отправил, хоть и анонимно.

Re:

[avva.livejournal.com]

Требуется не просто бесконечное число раз для каждого значения, а бесконечное несчётное. Тут есть существенная разница, к-ю, увы, у меня нет сейчас времени объяснять в том случае, если Вы о ней не знаете ;)