![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaДве математических задачки, попавшиеся мне в последние сутки и понравившиеся.
На любителя!
1. (украдено у![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
ppetya) Может ли непрерывная непостоянная функция на отрезке принимать каждое свое значение несчётное число раз?
2. В каждом узле координатной сетки на плоскости записано положительное число, так, что число в каждом узле является средним значением своих четверых соседей. Доказать, что все числа равны между собой.
На любителя!
1. (украдено у
ppetya) Может ли непрерывная непостоянная функция на отрезке принимать каждое свое значение несчётное число раз?2. В каждом узле координатной сетки на плоскости записано положительное число, так, что число в каждом узле является средним значением своих четверых соседей. Доказать, что все числа равны между собой.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2003-02-01 10:46 pm (UTC)Re:
Date: 2003-02-01 10:49 pm (UTC)Re:
Date: 2003-02-01 10:52 pm (UTC)no subject
Date: 2003-02-01 11:59 pm (UTC)no subject
Date: 2003-02-02 12:14 am (UTC)no subject
Date: 2003-02-02 12:16 am (UTC)- --- - --------- - --- -no subject
Date: 2003-02-02 12:24 am (UTC)no subject
Date: 2003-02-02 12:24 am (UTC)Задаччка № 1 - предварительный подход
Date: 2003-02-02 12:55 am (UTC)Re: Задаччка № 1 - предварительный подход
Date: 2003-02-02 01:24 am (UTC)no subject
Date: 2003-02-02 02:53 am (UTC)Будем передвигаться от (x,y) по горизонтали к (X,y), потом по вертикали к (X,Y). И в каждом узле на нашем пути будет а (иначе - упс). И в итоге всё равно окажется, что в соседнем узле с а стоит b. Упс ;-)
no subject
Date: 2003-02-02 03:13 am (UTC)Теперь если фунцкия принимает КАЖДОЕ свое значение бесчетное число раз, то очевидно что любой точке по оси Х соответвтвуют бесконечное число значений по оси Y. а раз так то это не функция.
Re:
Date: 2003-02-02 03:17 am (UTC)Это заключение неверно, поэтому, увы, неверно и всё остальное ;-)
Re:
Date: 2003-02-02 03:23 am (UTC)Нет, это неверно совсем.
тогда объясните, пожалуйста,
Date: 2003-02-02 03:38 am (UTC)Re: тогда объясните, пожалуйста,
Date: 2003-02-02 03:45 am (UTC)no subject
Re:
Date: 2003-02-02 04:26 am (UTC)Типа, функция Кантора?
no subject
Date: 2003-02-02 05:09 am (UTC)u(x + 1,y) + u(x-1,y) + u(x,y+1) + u(x,y-1) - 4 u(x,y) = 0
Если теперь перейти к Фурье-представлению: сдвиг на 1 вдоль x заменим на eikx, и т. д. Получаем
(2 cos kx + 2 cos ky - 4) u(kx, ky) = 0
(при этом kx и ky меняются от -π до π -- физики это называют зоной Бриллюэна). Видно, что решение существует, если u(k) отлично от нуля только при k=0, для всех других k выражение в скобках отлично от нуля.
Из такого решения видно, что никакой двумерной специфики здесь нет, этот факт справедлив в любой размерности.
Уточнение.
Date: 2003-02-02 05:52 am (UTC)no subject
Date: 2003-02-02 07:24 am (UTC)Начинаем с исходного отрезка
Если функция строго убывает на нем или строго возрастает, то прекращаем делить его и помещаем в набор А,
если функция постоянна на отрезке то помещаем его в набор В и тоже прекращаем делить
иначе делим пополам и применяем тот же процесс к каждой из половинок.
Понятно, что таким образом объединение А и В является счетным покрытием всего исходного отрезка.
Понятно, что набор А не может быть пустым. Иначе нарушилась бы непрерывность.
На любом отрезке из набора А функция принимает каждое значение ровно один раз (монотонность). Рассмотрим какое-нибудь из этих значений, принимающееся функцией на исходном отрезке несчетное число раз. На отрезках из А оно принимается лишь счетное число раз (опять же по одному на отрезок). Значит на каком-то из отрезков В функция постоянна и принимает ровно это значение. Но число отрезков в В счетно, а значит счетно и множество значений, принимаемых функцией на вс ех отрезках их В. В тоже время образ отрезка из А - тоже отрезок (непрерывность), т.е. множество несчетное. Противоречие.
Re:
Date: 2003-02-02 07:33 am (UTC)Почему?
no subject
Date: 2003-02-02 07:41 am (UTC)А весь отрезок покрыт по построению.
Re:
Date: 2003-02-02 07:45 am (UTC)