задачки

[avva]

Две математических задачки, попавшиеся мне в последние сутки и понравившиеся.

На любителя!

1. (украдено у ppetya) Может ли непрерывная непостоянная функция на отрезке принимать каждое свое значение несчётное число раз?

2. В каждом узле координатной сетки на плоскости записано положительное число, так, что число в каждом узле является средним значением своих четверых соседей. Доказать, что все числа равны между собой.

Comments

[ex-ilyavinar899.livejournal.com]

я уже вижу, что решение неправильное.

Функция f(x): [0,1)->[0,1)

представим x в троичной системе: x = (0.a₁a₂a₃...)₃, 0<=a_i<=2

Если в троичной записи x где-либо встречается единица, то "отрежем" троичную запись x до первой единицы: для всех 1<=i<=k, a_i=0 или a_i=2.

Пусть b_i=0 если a_i=0; b_i=1 если a_i=2, 1<=i<=k.

f возвращает (0.b₁b₂b₃...1000...)₂

Если же в троичной записи x нигде не встречается единица, то возьмем b_i=0 если a_i=0; b_i=1 если a_i=2, 1<=i, и возвратим (0.b₁b₂b₃...)₂

(по-моему, всё правильно)

Эта функция отвечает на другой вопрос: найти непрерывную функцию, которая для всех аргументов, кроме множества меры 0, принимает такое значение, которое она принимает для несчетного множества аргументов.