задачки

[avva]

Две математических задачки, попавшиеся мне в последние сутки и понравившиеся.

На любителя!

1. (украдено у ppetya) Может ли непрерывная непостоянная функция на отрезке принимать каждое свое значение несчётное число раз?

2. В каждом узле координатной сетки на плоскости записано положительное число, так, что число в каждом узле является средним значением своих четверых соседей. Доказать, что все числа равны между собой.

Comments

[averros.livejournal.com]

про №2 (дискретное приближение к лапласиану) уже написали...

N1 тоже решается просто -

возьмём квадрат [0,1]x[0,1] заполненный кривой Пеано (она, очевидно, непрерывна), и рассмотрим функцию g(a), значение которой есть координата Y точки кривой Пеано находящейся на расстоянии a (вдоль кривой) от начала кривой. поскольку диапазон значений а - от 0 до бесконечности, для отрезка [0,1) искомая функция f будет иметь форму f(x) = g(1/(1-x) - 1)

непрерывность f следует из непрерывности кривой Пеано, несчётность множества {y|f(y) = c} следует из заполнения площади.

[ex-ilyavinar899.livejournal.com]

я тоже сегодня ночью (бредя и гриппуя) вспомнил о space-filling curve, но забыл, как она называется.

[malaya-zemlya.livejournal.com]

Вполне возможно, что я упускаю из вида что-то совсем простое, но по-моему понятие "расстояние вдоль кривой Пеано" надо как-то обосновать. Оно вообще существует? Например, каковы координаты точки находящейся на расстоянии 2 от начала? Поскольку длина кривой бесконечна и при этом она самоподобна, то представить отрезок кривой Пеано конечной длины у меня вообще не получается.

[averros.livejournal.com]

здесь, конечно, есть свои тонкости -

прежде всего (как абсолютно верно было замечено) - определение этой функции неконструктивно.

На самом деле, эту функцию можно рассматривать как предел функций f₀, f₁.... образованных 0-й, 1-й, итп итерациями кривой Пеано (эта последовательность известна как последовательность Коши (Cauchy)). Брауэр (Brouwer) доказал, что аналоничная конструкция создаёт однозначное соответствие между всеми точками отрезка и всеми точками квадрата. Ещё один интересный факт - топологическая размернось и размерность Хаусдорфа-Бейсковича у такой кривой - разные :)