задачки

[avva]

Две математических задачки, попавшиеся мне в последние сутки и понравившиеся.

На любителя!

1. (украдено у ppetya) Может ли непрерывная непостоянная функция на отрезке принимать каждое свое значение несчётное число раз?

2. В каждом узле координатной сетки на плоскости записано положительное число, так, что число в каждом узле является средним значением своих четверых соседей. Доказать, что все числа равны между собой.

Comments

[(Anonymous)]

в такой сумме четыре точки окружающие точку поворота равны (они в центрах сторон квадрата)
и равны той, что получится в центре.
(любые получившиеся и совпадающие при поворотах на 90 равны)
в углах квадрата -- равны между собой и, т.к.
в следующем круге те что по центрам сторон большего
квадрата тоже равны, то равны тем, что в центрах
сторон малого и в центре вращения. Итд для всех.
Т.е. суммы любых четырех точек симметричных относительно 4 поворотов на 90 (вокруг любой точки плоскости) всегда равны.

так?

Re:

[avva.livejournal.com]

в такой сумме четыре точки окружающие точку поворота равны (они в центрах сторон квадрата)
и равны той, что получится в центре.

Да, согласен.

в углах квадрата -- равны между собой и, т.к.
в следующем круге те что по центрам сторон большего
квадрата тоже равны, то равны тем, что в центрах
сторон малого и в центре вращения.

Этот шаг уже не понял, простите. У меня вообще с геом. воображением очень туго. Суммы в углах квадрата равны между собой, но почему равны сумме в центре? Если что, можно дать примеры в координатах и объяснить.

[(Anonymous)]

координаты:
центр (0,0), пусть =х
центры сторон (1,0) (0,1) (0,-1) (-1,0) (тоже х)
в углах квадрата (1,1) (-1,1) (-1,-1) (1,-1), =у
в следующем круге те что по центрам сторон большего
(2,0) (0,2) (0,-2) (-2,0) -- эти равны т.к. симметричны, пусть =а
Для этой картины тоже выполняется правило среднего
и 2у+х+а=4х
но далее понадобятся еще и отражения -- может додумаю и допишу не сейчас...