задачка

[avva]

Несложная, но красивая. Комменты скрывать не буду, так что там могут появиться вскорости правильные решения — те, кто хотят сами подумать, учтите это.

Дано бесконечное количество точек на плоскости, так, что расстояние между любыми двумя из этих точек — целое число. Доказать, что все они лежат на одной прямой.

Comments

[bugabuga.livejournal.com]

Возьмём в этом множестве 3 любые несовпадающие точки, приняв расстояние между двумя из них за единицу , и построим треугольник. Для того, чтобы расстояние от третьей точки до первой было целым, косинус угла должен быть целым числом. До второй -- синус должен быть целым числом. Следовательно все углы в этом треугольнике будут кратны 90 градусам :) Поскольку сумма углов треугольника должна быть 180 градусов, мы должны выбрать углы в 0 и 180 градусов. Прямая линия :)

п.с. смухлевал? :)

[angerona.livejournal.com]

Я тоже думaлa про треугольники, но что-то в вaшем обьяснении не тaк. А кaк нaсчет прямоугольного треугольникa со сторонaми: 4, 3, 5?

Тут скорее что-то про множество состоящее из чисел a, b, c, где a^2 + b^2 = c^2 и a, b, c -- integers.

[bugabuga.livejournal.com]

_Расстояние между двумя из них принимаем за единицу_
:)

[angerona.livejournal.com]

da, ya videla, no togda kakoe otnoshenie eto imeet k zadache? To est' snachala dokazhite, chto eto "rasstoyanie berem za edinicu" pokazyvaet chto-to.

[bugabuga.livejournal.com]

Если с единицей то случаи вышеописанного треугольника не пройдут -- расстояния между вершинами должны быть кратные :)

Треугольники

[bouh.livejournal.com]

где a^2 + b^2 = c^2 - это только прямоугольные треугольники. Если брать любой треугольник, то для каждой стороны треугольника должно выполняться условие, что ее длина не больше суммы двух других.
В качестве примера возьмите стороны 2, 3, 4. :)

[amigofriend.livejournal.com]

Смухлевали, потому что треугольник может быть равносторонним. Надо рассмотреть отдельно.

Но вообще, конечно - через треугольник - правильно :)